P(D|C)?2mP(CD)P(D) ??P(C)P(C)M?m?11.31 n个人用摸彩的方式决定谁得一张电影票，他们依次摸彩，求： (1)已知前k?1(k?n)个人都没摸到，求第k个人摸到的概率； (2)第k(k?n)个人摸到的概率。
解 设Ai表示“第i个人摸到”， i?1,2,?,n。 (1) P(Ak|A1?Ak?1)?11 ?n?(k?1)n?k?1n?1n?211????? nn?1n?k?1n(2) P(Ak)?P(A1?Ak?1Ak)?1.32 已知一个母鸡生k个蛋的概率为
?kk!e??(??0)，而每一个蛋能孵化成小
(?p)r??pe。鸡的概率为p，证明：一个母鸡恰有r个下一代（即小鸡）的概率为 r!解 用Ak表示“母鸡生k个蛋”， B表示“母鸡恰有r个下一代”，则
P(B)??P(Ak)P(B|Ak)??k?r???ke???k?k?rrk?r? ???p(1?p)??k!?r?(?p)r???[?(1?p)]k?r(?p)r???(1?p)?e?e ?e?r!r!(k?r)!k?r(?p)r??p?e
r! 1.33 某射击小组共有20名射手，其中一级射手4人，二级射手8人，三级射手7人，四级射手一人，一、二、三、四级射手能通过选拔进入决赛的概率分别是0.9、0.7、0.5、0.2，求在一组内任选一名射手，该射手能通过选拔进入决赛的概率。
解 用Ak表示“任选一名射手为k级”， k?1,2,3,4，B表示“任选一名射手能
4进入
20决
20赛
2020”，则
P(B)??P(Ak)P(B|Ak)?4?0.9?8?0.7?7?0.5?1?0.2?0.645
k?11.34 在某工厂里有甲、乙、丙三台机器生产螺丝钉，它们的产量各占25%，35%，40%，并在各自的产品里，不合格品各占有5%，4%，2%。现在从产品中任
取一只恰是不合格品，问此不合格品是机器甲、乙、丙生产的概率分别等于多少？
解 用A1表示“任取一只产品是甲台机器生产”
A2表示“任取一只产品是乙台机器生产”
A3表示“任取一只产品是丙台机器生产”
B表示“任取一只产品恰是不合格品”。 则由贝叶斯公式：
P(A|B)?P(A1)P(B|A1)?25 P(A|B)?P(A2)P(B|A2)?28
1233?P(A)P(B|A)kkk?169?P(Ak?1k)P(B|Ak)69P(A3|B)?P(A3)P(B|A3)?P(Ak?13?k)P(B|Ak)16
691.35 某工厂的车床、钻床、磨床、刨床的台数之比为9:3:2:1，它们在一定时间内需要修理的概率之比为1:2:3:1。当有一台机床需要修理时，问这台机床是车床的概率是多少？
9321解 则 P(A1)?， P(A2)? ，P(A3)?，P(A4)?
151515151231P(B|A1)?，P(B|A2)?，P(B|A3)?，P(B|A4)?
7777由贝时叶斯公式得 P(A|B)?P(A1)P(B|A1)?9
1?P(Ak?14k)P(B|Ak)221.36 有朋友自远方来访，他乘火车、轮船、汽车、飞机来的概率分别是0.3、
110.2、0.1、0.4。如果他乘火车、轮船、汽车来的话，迟到的概率分别是、、
431，而乘飞机不会迟到。结果他迟到了，试问他是乘火车来的概率是多少？ 12解 用A1表示“朋友乘火车来”，A2表示“朋友乘轮船来”，A3表示“朋友乘汽车来”，A4表示“朋友乘飞机来”，B表示“朋友迟到了”。 则 P(A|B)?P(A1)P(B|A1)?1
14?P(Ak)P(B|Ak)k?121.37 证明：若三个事件A、B、C独立，则A?B、AB及A?B都与C独
立。
证明 （1）P((A?B)C)?P(AC)?P(BC)?P(ABC)
=P(A?B)P(C)
（2）PABC)?P(A)P(B)P(C)?P(AB)P(C)
（3）P((A?B)C)?P((A?AB)C)?P(AC?ABC)=P(A?B)P(C)
1.38 试举例说明由P(ABC)?P(A)P(B)P(C)不能推出P(AB)?P(A)P(B)一定成立。
解 设??{?1,?2,?3,?4,?5}，P({?1})?118，P({?5})?， 646415，A?{?1,?2}，A?{?1,?3}，A?{?1,?4} 641151则 P(A)?P(B)?P(C)???，
646441 P(ABC)?P({?1})??P(A)P(B)P(C)
641?P(A)P(B) 但是P(AB)?P({?1})?64P({?2})? P({?3})?P({?4})?1.39 设A1,A2,?,An为n个相互独立的事件，且P(Ak)?pk(1?k?n)，求下列事件的概率：
(1) n个事件全不发生；
(2) n个事件中至少发生一件； (3) n个事件中恰好发生一件。
解 (1) P(?Ak)??P(Ak)??(1?pk)
k?1k?1k?1nnn(2) P(?Ak)?1?P(?Ak)?1??(1?pk)
k?1k?1k?1nnn(3) P[?(Ak?Aj)]??(Ak?Aj)??[pk?(1?pj)].
k?1j?1j?kk?1j?1j?kk?1j?1j?knnnnnn1.40 已知事件A,B相互独立且互不相容，求min(P(A),P(B))（注：min(x,y)表示x,y中小的一个数）。
解 一方面P(A),P(B)?0，另一方面P(A)P(B)?P(AB)?0，即P(A),P(B)中至少有一个等于0，所以min(P(A),P(B))?0.
1.41 一个人的血型为O,A,B,AB型的概率分别为0.46、0.40、0.11、0.03，现在任意挑选五个人，求下列事件的概率
(1)两个人为O型，其它三个人分别为其它三种血型； (2)三个人为O型，两个人为A型； (3)没有一人为AB。
?5?解 (1)从5个人任选2人为O型，共有??2??种可能，在其余3人中任选一人
??为A型，共有三种可能，在余下的2人中任选一人为B型，共有2种可能，另一
?5?2?人为AB型，顺此所求概率为：??3?2?0.46?0.40?0.11?0.13?0.0168 ?2????5?22?(2) ??0.46?0.40?0.1557 ?3???(3) (1?0.03)5?0.8587
1.42 设有两门高射炮，每一门击中目标的概率都是0.6，求同时发射一发炮弹而击中飞机的概率是多少？又若有一架敌机入侵领空，欲以99%以上的概率击中它，问至少需要多少门高射炮。
解 用Ak表示“第k门高射炮发射一发炮弹而击中飞机”， k?1,2,?，B表示“击中飞机”。则P(Ak)?0.6，k?1,2,?。
(1) P(A1?A2)?1?P(A1A2)?1?0.42?0.84 (2) P(A1??An)?1?P(?Ak)?1?0.4n?0.99 , n?k?1nlg0.01?5.026 lg0.4取n?6。至少需要6门高射炮，同时发射一发炮弹，可保证99%的概率击中飞机。
1.43 做一系列独立的试验，每次试验中成功的概率为p，求在成功n次之前已失败了m次的概率。
解 用A表示“在成功n次之前已失败了m次”， B表示“在前n?m?1次试验中失败了m次”， C表示“第n?m次试验成功”
?n?m?1?n?1m?则 P(A)?P(BC)?P(B)P(C)???m?p(1?p)?p
???n?m?1?nm? ??p(1?p)?m???1.45 某数学家有两盒火柴，每盒都有n根火柴，每次用火柴时他在两盒中任取一盒并从中抽出一根。求他用完一盒时另一盒中还有r根火柴（1?r?n）的概率。
解 用Ai表示“甲盒中尚余i根火柴”， 用Bj表示“乙盒中尚余j根火柴”，
C,D分别表示“第2n?r次在甲盒取”，“第2n?r次在乙盒取”， A0BrC表示取
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