匠心文档，专属精品。
第八节 函数与方程
[全盘巩固]
2
1．函数f(x)＝ln(x＋1)－的一个零点所在的区间是( )
xA．(0,1) B．(1,2) C．(2,3) D．(3,4)
2
解析：选B 由题意知，函数f(x)＝ln(x＋1)－的定义域为(－1,0)∪(0，＋∞)，结合四
x2
个选项可知，f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(1)<0，f(2)>0，所以函数f(x)＝ln(x＋1)－的x一个零点所在的区间是(1,2)．
1?x1
2．若x0是方程??2?＝x3的解，则x0属于区间( ) 2?12111
，1 B.?，? C.?，? D.?0，? A.??3??23??32??3?1?x1?1?解析：选C 构造函数f(x)＝?－x，则函数f(x)的图象是连续不断的一条曲线，又f?2??3?31?1?1?1?1?＝?1?1－?1?1<0，所以f?1?·?1?<0，故函数的零点所在区间为?1，1?，＝?－>0，ff?2?3?3?3?2??2?2?2?3?3??2??32?1?x1?11?即方程?＝x的解x0属于区间，. ?2??32?3
3．(2014·金华模拟)若函数f(x)＝(m－2)x2＋mx＋(2m＋1)的两个零点分别在区间(－1,0)和区间(1,2)内，则m的取值范围是( )
11111111－，? B.?－，? C.?，? D.?，? A.??24??42??42??42?
m≠2，??
解析：选C 依题意，结合函数f(x)的图象分析可知m需满足?f?－1?f?0?<0，
??f?1?f?2?<0，m≠2，??11
即?[m－2－m＋?2m＋1?]?2m＋1?<0，解得 42 ??[m－2＋m＋?2m＋1?][4?m－2?＋2m＋?2m＋1?]<0， 1?x1?1?x4．(2014·济南模拟)设函数f1(x)＝log2x－?，f(x)＝logx－的零点分别为x1，x2，?2?22?2?则( ) A．0 匠心教育系列 1 匠心文档，专属精品。 1?1?1?x2＝0，则log2x1－?1?解析：选A 依题意知x1>x2>0，且log2x1－?x1＝0，logx2－?2??2??2?21?1?1?x2，所以log2x1＋log2x2＝log2x1x2＝?1?x1－?1?x2<0＝log21，x1＝logx2－?x2＝－log2x2－?2??2??2??2?2所以0 5．已知函数f(x)＝ax＋x－b的零点x0∈(n，n＋1)(n∈Z)，其中常数a，b满足2a＝3,3b ＝2，则n的值为( ) A．－1 B．－2 C．1 D．2 解析：选A a＝log23>1，b＝log32<1，令f(x)＝0，得ax＝－x＋b.在同一平面直角坐标系中画出函数y＝ax和y＝－x＋b的图象，由图可知，两函数的图象在区间(－1,0)内有交点，所以函数f(x)在区间(－1,0)内有零点，所以n＝－1. 6．(2014·开封模拟)偶函数f(x)满足f(x－1)＝f(x＋1)，且当x∈[0,1]时，f(x)＝－x＋1，则关于x的方程f(x)＝lg(x＋1)在x∈[0,9]上解的个数是( ) A．7 B．8 C．9 D．10 解析：选C 依题意得f(x＋2)＝f(x)，所以函数f(x)是以2为周期的函数．在平面直角坐标系中画出函数y＝f(x)的图象与y＝lg(x＋1)的图象(如图所示)，观察图象可知，这两个函数的图像在区间[0,9]上的公共点共有9个，因此，当x∈[0,9]时，方程f(x)＝lg(x＋1)的解的个数是9. 2??x＋2x－3，x≤0， 7．函数f(x)＝?的零点个数为________． ?－2＋ln x，x>0? ?x≤0，?x>0，?? 解析：法一：令f(x)＝0，得?2或?解得x＝－3或x＝e2，所以 ???x＋2x－3＝0?ln x＝2， 函数f(x)有两个零点． 法二：画出函数f(x)的图象(图略)可得，图象与x轴有两个交点，则函数f(x)有两个零点． 答案：2 匠心教育系列 2 匠心文档，专属精品。 ??x， x≤0， 8.(2014·杭州模拟)已知函数f(x)＝?2若函数g(x)＝f(x)－m有三个不同的 ?x－x，x>0，? 零点，则实数m的取值范围为__________． 解析：由g(x)＝f(x)－m＝0，得f(x)＝m，作出函数y＝f(x)的图象，当x>0时，f(x)＝x2111 x－?2－≥－，所以要使函数g(x)＝f(x)－m有三个不同的零点，只需直线y＝m与－x＝??2?441 函数y＝f(x)的图象有三个交点即可，如图，只需－ 4 1 －，0? 答案：??4? 9．(2014·南宁模拟)已知函数f(x)＝ln x＋3x－8的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＋b＝________. 解析：∵f(2)＝ln 2＋6－8＝ln 2－2<0，f(3)＝ln 3＋9－8＝ln 3＋1>0， 且函数f(x)＝ln x＋3x－8在(0，＋∞)上为增函数，∴x0∈[2,3]，即a＝2，b＝3. ∴a＋b＝5. 答案：5 10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋b－1(a≠0)． (1)当a＝1，b＝－2时，求函数f(x)的零点； (2)若对任意b∈R，函数f(x)恒有两个不同零点，求实数a的取值范围． 解：(1)当a＝1，b＝－2时，f(x)＝x2－2x－3，令f(x)＝0，得x＝3或x＝－1. ∴函数f(x)的零点为3或－1. (2)依题意，f(x)＝ax2＋bx＋b－1＝0有两个不同实根，∴b2－4a(b－1)>0恒成立， 即对于任意b∈R，b2－4ab＋4a>0恒成立，所以有(－4a)2－4×(4a)<0?a2－a<0，解得0 11．已知函数 f(x)＝－x2＋2ex＋m－1，g(x)＝x＋ e2 (x>0)． x (1)若g(x)＝m有实数根，求m的取值范围； (2)确定m的取值范围，使得g(x)－f(x)＝0有两个相异实根． e2 解：(1)法一：∵g(x)＝x＋≥2e2＝2e，等号成立的条件是x＝e，故g(x)的值域是[2e， x＋∞)，因此，只需m≥2e，g(x)＝m就有实数根． 匠心教育系列 3 匠心文档，专属精品。 e2 法二：作出g(x)＝x＋(x>0)的大致图象如图： x 可知若使g(x)＝m有实数根，则只需m≥2e. (2)若g(x)－f(x)＝0有两个相异的实根，即g(x)与f(x)的图象有两个不同的交点，作出g(x)e2 ＝x＋(x>0)的大致图象．∵f(x)＝－x2＋2ex＋m－1＝－(x－e)2＋m－1＋e2， x ∴f(x)的图象的对称轴为x＝e，开口向下，最大值为m－1＋e2.故当m－1＋e2>2e，即m>－e2＋2e＋1时，g(x)与f(x)有两个交点，即g(x)－f(x)＝0有两个相异实根．∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)． 12．是否存在这样的实数a，使函数f(x)＝x2＋(3a－2)x＋a－1在区间[－1,3]上与x轴有且只有一个交点．若存在，求出a的范围；若不存在，说明理由． 88 a－?2＋>0，∴若存在实数a满足条件， 解：∵Δ＝(3a－2)2－4(a－1)＝9??9?9 则只需f(－1)·f(3)≤0即可．f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－1 a)(5a＋1)≤0，所以a≤－或a≥1.检验：①当f(－1)＝0时，a＝1.所以f(x)＝x2＋x. 5 令f(x)＝0，即x2＋x＝0，得x＝0或x＝－1.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠1. 1136136 ②当f(3)＝0时，a＝－，此时f(x)＝x2－x－.令f(x)＝0，即x2－x－＝0， 5555521 解得x＝－或x＝3.方程在[－1,3]上有两根，不合题意，故a≠－. 551 －∞，－?∪(1，＋∞)． 综上所述，a的取值范围是?5?? [冲击名校] 1．已知函数f(x)满足f(x)＋1＝ 1 ，当x∈[0,1]时，f(x)＝x，若在区间(－1,1]内，函f?x＋1? 数g(x)＝f(x)－mx－m有两个零点，则实数m的取值范围是( ) 11 0，? B.?，＋∞? A.??2??2?110，? D.?0，? C.??3??2? 匠心教育系列 4
相关推荐：
loading