2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题17简单的线性规划
考点命题分析
近三年的高考对简单线性规划的考查主要表现在要求学生会从实际问题中抽象出二元一次不等式，在了解二元一次不等式的几何意义的基础上会画出二元一次不等式组表示的平面区域并求出最优解等方面.体现了基础性、融合性、思想性的特点.提高本专题的复习效率，要求教师在认真研究近几年高考试题的基础上，把握简单线性规划的命题特点，从多元视角切入，帮助学生理解线性规划知识的本质. 1试题特点
简单线性规划是近几年高考的热点之一，试题一般为一道小题，在选择题与填空题部分出现，保持相对的稳定性.分析近几年高考试题，对简单线性规划问题的考查体现出以下的几个特点.
基础性:命题注重对学生线性规划的基本知识、基本技能的考查，关注学生的共同基础，侧重知识与方法的应用.要求学生会运用所学知识将二元一次不等式组表示成平面区域，并求出线性目标函数z=ax+by的相关问题.试题难度一般不大，面向全体，强调有效检测学生对简单线性规划知识的理解与运用
融合性:近几年高考在重视基础的同时，注重从学科整体意义来考查学生思维能力，强调在知识网络交汇点处命制简单线性规划考题.如将直线、斜率、距离等作为目标函数，考查线性规划与解析几何的融合的斜率型、距离型等目标函数的最优解；与三角函数融合考查可行域的面积；绝对值不等式中符号的选取等，这些对学生的思维能力有较高的要求.
思想性:高考对简单线性规划问题，重视对学生数学思想与方法的考查.命题时注重以思想价值立意，考查学生对数学思想与方法的掌握程度.要求学生活用数形结合思想，理解二元一次不等式组表示的几何区域；运用转化与化归思想及函数与方程思想理解目标函数的几何解释，运用分类讨论及特殊与一般思想研究含参问题，确立最优解；要求学生会将实际问题抽象成线性规划模型求解，引导学生学会用数学的眼光看世界.
2复习建议
2.1理解知识本质，掌握通性通法
把握知识本质是教与学成功的关键.求解线性规划问题的关键有两点:其一是将二元一次不等式组转化为可行域；其二是理解目标函数的几何意义，数形结合求解.高考对线性规划的考查较多以常规题的形式出现，这一类问题一般是可行域较为常规，但目标函数有变化.常出现的形式有:①直线型，转化成斜截式比较截距；
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②分式型，几何意义是已知点与在可行域内运动的动点连线的斜率；③平方型，其几何意义是动点与已知点之间的距离，需要注意的是最终结果应该是距离的平方；④绝对值型，转化后其几何意义是点到直线的距离.因此在复习时应使学生准确理解二元一次不等式组的几何意义，准确画出二元一次不等式组所表示的平面区域，利用直线的性质求出目标函数的最优解 例1设x，y满足约束条件
，则z=3x－2y的最小值为
.
思路探求:本题是一道考查基础知识的常规题，在线性规划考题涉及的两个要素中，二元一次不等式组所表示的可行域是确定的，目标函数也是常规的线性目标函数，是一道面向全体学生的基础题，考查的是学生对线性规划本质的理解.主要的解题思路有两个.
解法1:通过求出不等式组所表示的平面区域及其边界交点坐标，判断最优解.
题中可行域所对应的边界直线分别为l1:x+2y=1，由由由
解得l1与l2的交点A(－1，1). ，解得l3与l2的交点解得l1与l3交点
.
.
，如图所示.
可行域为△ABC内部及其边界.
当目标函数过点A时，z取得最小值为3×
.
解法2:作出可行域，将目标函数转化为动直线方程，运用z与动直线截距关系求解.
不等式组表示的可行域如图所示，由z=3x－2y得
在y轴上的截距越大，z就越小.
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当直线z=3x－2y过点A时，z取得最小值.由
.
得与交点A(－1，1)，所以z取得最小值为
方法点睛:复习时应注意要求学生不管采用以上两种思路中的哪一种，都应准确画出可行域.思路1一般称之为顶点代入法，因为最值点常常在可行域的顶点处出现，很多学生容易运用不完全归纳法的思想得出结论“最值点会在顶点处出现”，因而在实际解题过程中回避相对较为复杂的画可行域的过程，直接通过解二元一次方程组求出顶点坐标，分别代入目标函数，将最大(或最小)的值作为答案.在复习的时候要向学生强调顶点代法所得到的结论是由不完全归纳法得出的，它不一定正确.正确的解题方法仍然需要像解法1一样画出可行域求解.
用思路2解题时要注意培养学生的转化与化归能力，将目标函数转化为动直线求解.教学时要关注的是z与截距的符号关系，特别是当z的系数为负时，因为截距与z的符号相反，截距越大，z值越小. 例2若x，y满足约束条件
，则的最大值为
.
思路探求:本题是一道较常规的线性规划问题，要求更为灵活.它的可行域是传统形式，但目标函数是非线性的分式型.将分式型目标函数转化为定点与可行域内动点连线的斜率是求解此题的关键.
作出可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内动点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1，3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.
方法点睛:要向学生强调的是斜率型线性规划问题是高考出现频率较高的一类题型.复习时斜率与倾斜角的关系问题是学生容易出错的地方.可结合正切函数的图像向学生强调倾斜角a为锐角时斜率k大于0，a越大，斜率k越大；倾斜角a为钝角时斜率k小于0，但仍然满足a越大，斜率k越大. 2.2关注知识融合，提升思维能力
线性规划问题是数学工具性知识之一.以线性规划为背景，从知识融合的视角强化对解析几何、三角函数、绝对值不等式等相关知识的理解，有利于使学生在夯实数学基础知识和基本技能的基础上，提升解题能力.这类问题涉及知识点相对较多，设问灵活，能更好地体现高考选拔性考试的特点，要引起重视
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例3若不等式组表示的平面区域为三角形，且其面积等于，则m的值为( )
A. B.1 C. D.3
思路探求:如图，由于不等式组，表示的平面区域为△ABC，且其面积等于，再注意到直
线AB:x+y－2=0与直线BC:x－y+2m=0互相垂直，所以△ABC是直角三角形，易知，A(2，0)，B(1－m，1+m)，
，
从
，
而
化简得(m+1)2=4，解得m=－3或m=1，检验知当m=－3时，已知不等式组不能表示一个三角形区域，故舍去，所以m=1，选B
方法点睛:本题考查线性规划问题中的含参可行域的面积问题，利用已知条件将三角形的面积用含m的代数式表示，从而得到关于m的方程来求解.本题属于中档题，应注意运算的准确性及对结果的检验. 例4设p:实数x，y满足A.必要不充分条件 C.充要条件
B.充分不必要条件 D.既不充分也不必要条件
为半径的圆内区域(含边界)；
，q:实数x，y满足
，则p是q的( )
思路探求:易知(x－1)2+(y－1)2≤2所确定的范围为以(1，1)圆心，以
满足
的可行域为图中的阴影部分.由图可知，p是q的必要不充分条件.
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