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题型专项(十一) 几何图形综合题 题型1 与三角形、四边形有关的几何综合题

类型1 操作探究题

1．(2020·资阳)在Rt△ABC中，∠C＝90°，Rt△ABC绕点A顺时针旋转到Rt△ADE的位置，点E在斜边AB上，连接BD，过点D作DF⊥AC于点F.

(1)如图1，若点F与点A重合，求证：AC＝BC； (2)若∠DAF＝∠DBA.

①如图2，当点F在线段CA的延长线上时，判断线段AF与线段BE的数量关系，并说明理由；

②当点F在线段CA上时，设BE＝x，请用含x的代数式表示线段AF. 解：(1)证明：由旋转得，∠BAC＝∠BAD， ∵DF⊥AC， ∴∠CAD＝90°.

∴∠BAC＝∠BAD＝45°. ∵∠ACB＝90°， ∴∠ABC＝45°. ∴AC＝BC. (2)①AF＝BE.理由：

由旋转得AD＝AB，∴∠ABD＝∠ADB. ∵∠DAF＝∠ABD，∴∠DAF＝∠ADB.

∴AF∥BD.∴∠BAC＝∠ABD.

∵∠ABD＝∠FAD，由旋转得∠BAC＝∠BAD. 1

∴∠FAD＝∠BAC＝∠BAD＝3×180°＝60°. 由旋转得，AB＝AD. ∴△ABD是等边三角形． ∴AD＝BD.

∠F＝∠BED＝90°，??

在△AFD和△BED中，?∠FAD＝∠EBD，

??AD＝BD，∴△AFD≌△BED(AAS)． ∴AF＝BE.

②如图，由旋转得∠BAC＝∠BAD.

∵∠ABD＝∠FAD＝∠BAC＋∠BAD＝2∠BAD， 由旋转得AD＝AB， ∴∠ABD＝∠ADB＝2∠BAD. ∵∠BAD＋∠ABD＋∠ADB＝180°， ∴∠BAD＋2∠BAD＋2∠BAD＝180°. ∴∠BAD＝36°.

设BD＝a，作BG平分∠ABD， ∴∠BAD＝∠GBD＝36°.

∴AG＝BG＝BD＝a.

∴DG＝AD－AG＝AD－BG＝AD－BD. ∵∠BDG＝∠ADB，∴△BDG∽△ADB. BDDG∴AD＝DB.

BDAD－BDAD1＋5∴AD＝BD.∴BD＝2. ∵∠FAD＝∠EBD，∠AFD＝∠BED， ∴△AFD∽△BED. ADAF∴BD＝BE.

1＋5AD

∴AF＝BD·BE＝2x.

2．(2020·南充营山县一诊)如图1，点O是正方形ABCD两对角线的交点，分别延长OD到点G，OC到点E，使OG＝2OD，OE＝2OC，然后以OG，OE为邻边作正方形OEFG，连接AG，DE.

(1)求证：DE⊥AG；

(2)正方形ABCD固定，将正方形OEFG绕点O逆时针旋转α角(0°＜α＜360°)得到正方形OE′F′G′，如图2.

①在旋转过程中，当∠OAG′是直角时，求α的度数；

②若正方形ABCD的边长为1，在旋转过程中，求AF′长的最大值和此时α的度数，直接写出结果不必说明理由．

解：(1)证明：延长ED交AG于点H， ∵点O是正方形ABCD两对角线的交点， ∴OA＝OD，OA⊥OD. 在△AOG和△DOE中， OA＝OD，??

?∠AOG＝∠DOE＝90°， ??OG＝OE，

∴△AOG≌△DOE.∴∠AGO＝∠DEO.

∵∠AGO＋∠GAO＝90°，∴∠GAO＋∠DEO＝90°. ∴∠AHE＝90°，即DE⊥AG.

(2)①在旋转过程中，∠OAG′成为直角有两种情况： (Ⅰ)α由0°增大到90°过程中，当∠OAG′＝90°时， 11

∵OA＝OD＝2OG＝2OG′，

OA1

∴在Rt△OAG′中，sin∠AG′O＝OG′＝2. ∴∠AG′O＝30°.

∵OA⊥OD，OA⊥AG′，∴OD∥AG′. ∴∠DOG′＝∠AG′O＝30°，即α＝30°.

(Ⅱ)α由90°增大到180°过程中，当∠OAG′＝90°时， 同理可求∠BOG′＝30°，∴α＝180°－30°＝150°. 综上所述，当∠OAG′＝90°时，α＝30°或150°.

2

②AF′的最大值为2＋2，此时α＝315°.

提示：如图3，当旋转到A，O，F′在一条直线上时，AF′的长最大，

图3

∵正方形ABCD的边长为1， 2

∴OA＝OD＝OC＝OB＝2. ∵OG＝2OD，∴OG′＝OG＝2. ∴OF′＝2.

2

∴AF′＝AO＋OF′＝2＋2.

∵∠COE′＝45°，∴此时α＝315°.

3．(2020·福州)如图，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝3，M是边CD上一点，将△ADM沿直线AM对折，得到△ANM.

(1)当AN平分∠MAB时，求DM的长； (2)连接BN，当DM＝1时，求△ABN的面积； (3)当射线BN交线段CD于点F时，求DF的最大值．