专题一 分类讨论思想
专题一 分类讨论思想
一：概述：
根据研究对象的本质属性的差异，将所研究的问题分为不同种类的思想叫做分类思想．将事物进行分类，然后对划分的每一类分别进行研究和求解的方法叫做分类讨论．
通常分类讨论的题型有：
1、问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的.如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况.，一元二次方程的二次项系数不等于0等，这种分类讨论题型可以称为概念型 2、问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的.如讨论一次函数ｙ＝ｋｘ＋ｂ（k≠0）的增减性，要分k＜0和k＞0两种情况.这种分类讨论题型可以称为性质型.
3、解含有字母系数（参数）的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论.如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论.这称为含参型.
4.某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性，在这种题目中，有三角形中的位置问题，四边形中的位置问题，圆中的位置问题，相似图形中的对应边的问题，我们称之为图形的分类讨论问题。
分类思想是我们数学中一种非常重要,也是很常见的思想, 在中考中，命题者经常利用分类讨论题来加大试卷的区分度.解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论.
分类的原则：（1）分类中的每一部分是相互独立的；（2）一次分类按一个标准；（3）分类讨论应逐级进行． 二：【例题与练习】
第一课时
考点1. 概念型分类 例1． 例如：已知x?3,y?2,且x?y＜0，则x?y? 解：?x?3?x??3
?y?2?y??2
?xy＜0
?x?3?x??3??或? ?y??2?y?2
?x?y?1或x?y??1
22
例2、已知关于x的方程(k－1)x－2(k＋1)x＋1＝0有实数根，求k的取值范围
（本题是是一元二次方程和一元一次方程两种情况讨论，答案:k＞－1）
1
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【变式训练】
1、 已知|x|?3,|y|?2,且xy?0,则x?y?
ab?(b?c)m?m2=______. 2、若a、b在互为倒数，b、c互为相反数，m的绝对值为 1，则m3、一组数据2，3，4，x中，若中位数与平均数相等，则数x不可能是 ( )
A、1 B、2 C、3 D、5
?x?x＋?4、若函数y＝
?2xx＞?
2
2
，，
则当函数值y＝8时，自变量x的值是 .
5、已知函数y＝(k－3)x＋2x＋1的图象与x轴有交点，则k的取值范围是( )
A、k＜4 B、k≤4 C、k＜4且k≠3 D、k≤4且k≠3 考点2. 性质型
例1、已知一次函数y=kx+b，当－3≤ｘ≤1时，对应y的值为1≤y≤9.求ｋ2ｂ的值.
?1??3k?b?k?2
解：当k＞0时，??? ?9?k?b?b?7 ?k?b?14 ?1?k?b当k＜0时,? ?9??3k?b ?k??2???k?b??6 b?3?【变式训练】
1、在同一坐标系中，正比例函数y?-3x与反比例函数y?k的图象的交点的个数是（ ） x A、0个或2个 B、l个 C、2个 D、3个
2、若直线y??4x?b与两坐标轴围成的三角形的面积是5，则b的值为（ ） A.?25 B.?210 C.210 D.?210
3、当a≠0时，函数y＝ax＋1与函数y＝在同一坐标系中的图象可能是( )
ax
2
4、函数y=ax-ax+3x+1与x轴只有一个交点，求a的值与交点坐标。 考点3. 含参型.
2 2
例题1、已知A＝a ＋2，B＝a－a＋5，C＝a＋5a－19，其中a＞2．求证：B－A＞0，
并指出A与B的大小关系； 指出A与C哪个大？说明理由．
2
解: (1) ∵ B－A＝（a－1）+2 ＞0 ∴ B＞A
2
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（2）C－A＝（a＋7）(a－3)
∵ a＞2， ∴ a＋7＞0 ∴当2＜a＜3时， A＞C 当a＝3时， A＝C 当a＞3时， A＜C 【变式训练】
1、 解方程 （a-2）x=4 2、解不等式 （a-3）x>5
变式练习：
1、反比例函数y1＝和正比例函数y2＝k2x 的图象交于
k1xk1
A(－1，－3)， B(1,3)两点，若＞k2x，则x的取值范围是( )
xA、－1＜x＜0 B、－1＜x＜1 C、x＜－1或0＜x＜1 D、－1＜x＜0或x＞1 2、若x+4(m-2)x+16是完全平方式，则m等于（ ）A、6 B、 4 C、 0 D、 4或0 3、过反比例函数y＝(k≠0)图象上的一点A，分别作x轴、y轴的垂线， 垂足分别为B，
2
kxC、若△ABC的面积为3，则k的值为________．
?x?x＋?4、若函数y＝
?2xx＞?
22
，，
则当函数值y＝8时，自变量x的值是 .
5、已知（2005-x）=1，则x=＿＿＿＿
22
6、已知抛物线y=x-2（m+1）x+m与x轴的两个交点的横坐标均为整数，且m＜5，则整数m的值为 .
1122
7、已知实数a，b分别满足a＋2a＝2，b＋2b＝2，求＋的值．
ab
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8、一次函数y＝7x?7的图象分别与x轴、y轴交于A、B两点，点C(a，0)(a<0)使△
3ABC为等腰三角形，求经过B、C两点的一次函数解析式．
9、已知 y=kx＋3与两坐标轴围成的三角形的面积为 24，求其函数解析式．
10、抛物线 y?ax2?c与y轴交点到原点的距离为3，且过点（1，5）,求这个函数的解析式．
第二课时
考点4.三角形中的位置不确定性
例1．在Rt△ABC中,AB=6,BC=8,则这个三角形的外接圆直径是（ ） A 5 B 10 C 5或4 D 10或8 解析：本题对谁是斜边进行讨论，答案：D 例2、等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为45°，则这个等腰三角形的顶角 ° 解析：本题分腰上的高在三角形形内和腰上的高在三角形形外两种情况，答案 45°和135°；
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