2ma2E2ma2E cos??cos(??2?)
??2ma2E2ma2Esin??sin(??2?)
??2ma2E为满足上述两式，2??n2?, n?0, 1, 2, ?
?2ma2E即：?n
?n2?2 E?
2ma2波函数可以写作：??ein?, (n??1,?2,?)
1in?e, (n??1,?2,?) 将波函数归一化：??2?1.35求被束缚在半径为a的圆周上运动的粒子处于状态?(?)?cos?时角度?的平均值。（状态?(?)?cos?未归一化） 解：??cos?d????
?cos?d?积分公式 ??cos?d??cos???sin?
02202?2
?2?0?(cos2?)d??12??(1?cos2?)d? ?022??1??21 ???(cos2??2?sin2?)?
2?24?0 ??2
2?12?112? ?cos2?d???(1?cos2?)d??(??sin2?)0
02022 ??
?2?? ????1.36将一维箱中粒子的波函数归一化时，得B2?何只取B?答：取B??22，取B?? 可不可以，为aa22，而不取B??？ aa22 也可以，但通常为简便只取B?. 这是因为波函数是几率波，aa2粒子在空间某点出现的几率密度与?成正比，将波函数乘以一个常数因子，不改变粒子的运动状态。
1.37在讨论一维箱中粒子的边界条件时，由Bsin112mEa?0，2mEa?n?得??满足上式的n可取0，?1，?2，……,为何只取正值而不取负值和零？
13
答：若n＝0，得到的是零解，即?(x)?0，我们所要求的是非零解；若n取负值，
只是波函数改变符号，其所描述的粒子的运动状态不变。 1.38处于状态为?1(x)?a2?x的一维箱中的粒子，出现在x?处的几率是sin2aa?12()?(2?a2sin.)2?，这种说法对吗？ aa2aaa2答：不对。正确的说法是?12()表示粒子在x?处出现的几率密度是.
22a1.39求处于基态的一维箱中的粒子出现在0.25a?x?0.75a内的几率。a是一维箱的长。
a2解：基态波函数为：?1(x)?0.75a2?x sinaa0.75a 几率：p?22?2sinxdx??aa?aa0.250.25a0.75a0.75a1?cos22?xadx
2112?x?dx?cosdx ??a0.25a2a0.25aa21a?2?x? ?(0.75?0.25)a??sin??aa2??a?0.25a13???0.5?(sin?sin)
2?221?0.5?
??0.818
1.40一质量为m的粒子，在长为a的一维箱中运动，若将箱长平均分为3段，求该粒子处于第一激发态时出现在各段的几率。
2?x解： ?1(x)? sinaa1a30.75a p1?22?13sinxdx???0.4022 ?aa38?0p2?22?13sinxdx???0.1955 ?a34?1a3a2a3 p3?22?13sinxdx???0.4022 ?aa38?23aa1.41一电子在长为0.6 nm的一维箱中运动，由能级n=5跃迁到n=4所发出的光
子的波长是多少？
n2h2解：E?
8mea2
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25h216h29h2 ?E5?4???2228mea8mea8meahc?E5?4?h??
?hc6.626?10?34?3?108 ????1.320?10?7 m?132.0 nm ?3429?(6.626?10)?E5?48?9.110?10?31?(0.6?10?9)21.42一维箱中的电子的最低跃迁频率为2.0?1014s?1，求箱长。 解： ?E2?1?h?
4h2h23h2 ?E2?1???8mea28mea28mea23h3?6.626?10?34a???1.168?10?9 m?1.168 nm ?31148me?8?9.110?10?2.0?101.43求处于状态?(x)?4?x2?xsincos的一维箱中的粒子的能量。若无确定
aaa值，求其平均值。
4?x2?x4?x112?xsincos=sin(?cos) 解： ?(x)?aaa22aaa2?x2?x?sin(1?cos)
aaa2?x2?x2?x?sin?sincos
aaaaa2?x213?x?x?sin??（sin?sin）
aaaaa21?x13?x?sin?sin
aaaa21?(?1??3) （波函数是归一化的）
2是粒子的一个可能状态。?1,?3具有不同的能量本征值，所以处于状态?的粒子其能量无确定值。
123h212h25h2能量平均值为：E?()? ?()??2228ma8ma8ma222?x22?x是否一维箱中粒子的一个可能状态？sin?3sinaaaa如果是，其能量有没有确定值？如果有，其值是多少？如果没有，其平均值是多少？
2?x22?x解：?(x)?2 sin?3sinaaaa?2?1?3?2 1.44函数?(x)?2
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?1(2?x23?xsin?sin) aaaa
根据状态叠加原理，?(x)是粒子的一个可能状态，但处于该状态的电子其能量没有确定值。
22h2324h25h2)??()?能量平均值：E?22?(
2?38ma222?328ma213ma2
1.45验证一维箱中粒子的波函数?1和?2正交。 解： ?1?2?x22?x sin，?2?sinaaaaa2?x22?x(sin)(sin)dx ?aaaa02?x2?x??sinsindx a0aaa21?x3?x???(cos?cos)dx a20aa1?x13?x??cosdx??cosdx a0aa0aaaa1a??x?1a?3?x? ???sin????sin?a??a?0a??a?0=0
即?1和?2正交。
1.46一粒子在长为a的一维箱中运动，若将a分为相等的4段。粒子出现在各段的几率依次记为p1，p2，p3，p4，试比较当粒子处于?3时，出现在各段的大小。
解：?3的波函数图像为
aa从波函数图像可以看出p1?p4?p2?p3.
1.47求一维箱中粒子坐标x的平均值x。（积分公式?xcosxdx?cosx?xsinx）。解： ?n?2n?x sinaaa2n?xx??xsin2dx
a0a1a2n?x)dx ??x(1?cosa0a1a1a2n?xdx ??xdx??xcosx00aaa 16
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