《统计学原理》第五章补充练习题
（附参考解答）
1. 写出下列随机试验的样本空间：
（1）同时掷两颗骰子，记录两颗骰子的点数之和； （2）在单位圆内任意一点，记录它的坐标；
（3）10件产品中有三件是次品，每次从其中取一件，取后不放回，直到三件次品都取出为止，记录抽取的次数； （4）测量一辆汽车通过给定点的速度. 解 所求的样本空间如下
（1）?= {2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12} （2）?= {(x, y)| x2+y2<1}
（3）?= {3，4，5，6，7，8，9，10} （4）?= {v |v>0}
2. 设A、B、C为三个事件，用A、B、C的运算关系表示下列事件： （1）A发生，B和C不发生； （2）A与B都发生，而C不发生； （3）A、B、C都发生； （4）A、B、C都不发生； （5）A、B、C不都发生； （6）A、B、C至少有一个发生； （7）A、B、C不多于一个发生； （8）A、B、C至少有两个发生. 解 所求的事件表示如下
(1)ABC;(2)ABC;(3)ABC;(4)ABC;(5)ABC;
(6)A?B?C;(7)AB?BC?AC;(8)AB?BC?CA3．设P(A)＝0.7，P(A－B)＝0.3，试求P(AB)
解 由于 A?B = A– AB, P(A)=0.7 所以
P(A?B) = P(A?AB) = P(A)??P(AB) = 0.3, 所以 P(AB)=0.4, 故 P(AB) = 1?0.4 = 0.6.
14. 对事件A、B和C，已知P(A) = P(B)＝P(C)＝ ，P(AB) = P(CB) = 0, P(AC)=
41 求A、B、C中至少有一个发生的概率. 8解 由于ABC?AB,P(AB)?0,故P(ABC) = 0
则P(A+B+C) = P(A)+P(B)+P(C) –P(AB) –P(BC) –P(AC)+P(ABC)
11115????0?0??0? 444885. 设盒中有a只红球和b只白球，现从中随机地取出两只球，试求下列事件的概率：
A＝{两球颜色相同}； B＝{两球颜色不同}.
222解 由题意，基本事件总数为Aa有利于A的事件数为Aa，有利于B的事?Ab?b，111111件数为AaAb?AbAa?2AaAb,
2Aa?Ab2则 P(A)?2Aa?b112AaAP(B)?2b
Aa?b6. 若10件产品中有件正品，3件次品,
（1）不放回地每次从中任取一件，共取三次，求取到三件次品的概率； （2）每次从中任取一件，有放回地取三次，求取到三次次品的概率. 解 （1）设A={取得三件次品} 则
33C3A316. P(A)?3?或者P(A)?3?C10120A10720（2）设B={取到三个次品}, 则
3327P(A)?3?.
1010007. （1）500人中，至少有一个的生日是7月1日的概率是多少(1年按365日计算)？
（2）6个人中，恰好有个人的生日在同一个月的概率是多少？
解
(1) 设A = {至少有一个人生日在7月1日}, 则
364500P(A)?1?P(A)?1??0.746
365500 (2)设所求的概率为P(B)
41C6?C12?112P(B)??0.0073
1268.一实习生用一台机器接连独立地制造三只同种零件，第i只零件是不合格的概率为pi?1 ，i=1，2，3，若以x表示零件中合格品的个数，则P(x=2)为多少？ 1?i1 1?i解 设Ai = {第i个零件不合格}，i=1,2,3, 则P(Ai)?pi?所以 P(Ai)?1?pi?i 1?iP(x?2)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3)?P(A1A2A3) 由于零件制造相互独立，有：
P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)，P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3) P(A1A2A3)?P(A1)P(A2)P(A3)
11112111311所以,P(x?2)??????????
234234234249.假设目标出现在射程之内的概率为0.7，这时射击命中目标的概率为0.6，试求两次独立射击至少有一次命中目标的概率p.
解 设A={目标出现在射程内}，B={射击击中目标}，Bi ={第i次击中目标}, i=1,2.
则 P(A)=0.7, P(Bi|A)=0.6 另外 B=B1+B2，由全概率公式
P(B)?P(AB)?P(AB)?P(AB)?P(A)P(B|A)
?P(A)P((B1?B2)|A)另外, 由于两次射击是独立的, 故
P(B1B2|A)= P(B1|A) P(B2|A) = 0.36 由加法公式
P((B1+B2)|A)= P(B1|A)+ P(B2|A)－P(B1B2|A)=0.6+0.6-0.36=0.84
因此
P(B)= P(A)P((B1+B2)|A)=0.7×0.84 = 0.588
10.设某种产品50件为一批，如果每批产品中没有次品的概率为0.35，有1，2，3，4件次品的概率分别为0.25, 0.2, 0.18, 0.02，今从某批产品中抽取10件，检查出一件次品，求该批产品中次品不超过两件的概率.
解 设Ai ={一批产品中有i件次品}，i=0, 1, 2, 3, 4, B={任取10件检查出一件次品},
C={产品中次品不超两件}, 由题意
P(B|A0)?019C1C491P(B|A1)??10C505
19C2C4816P(B|A2)??10C504919C3C4739P(B|A3)??10C509819C4C46988P(B|A1)??10C502303
由于 A0, A1, A2, A3, A4构成了一个完备的事件组, 由全概率公式
P(B)??P(Ai)P(B|Ai)?0.196
i?04由Bayes公式
P(A0)P(B|A0)?0P(B) P(A1)P(B|A1)P(A1|B)??0.255P(B)P(A2)P(B|A2)P(A2|B)??0.333P(B)P(A0|B)?故
P(C)??P(Ai|B)?0.588
i?0211.由以往记录的数据分析，某船只运输某种物品损坏2%，10%和90%的概率分别为0.8，0.15，0.05，现在从中随机地取三件，发现三件全是好的，试分析这批物品的损坏率是多少（这里设物品件数很多，取出一件后不影响下一件的概率）.
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