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§1.2 充分条件与必要条件
学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明．
知识点一 充分条件与必要条件
(1)“若p，则q”为真命题，是指由p通过推理可以得出q.这时，我们就说，由p可推出q，记作p?q，并且说p是q的充分条件，q是p的必要条件．
(2)若p?q，但q?p，称p是q的充分不必要条件，若q?p，但p?q，称p是q的必要不充分条件．
知识点二 充要条件
思考 在△ABC中，角A，B，C为它的三个内角，则“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的什么条件？
答案 因为A，B，C成等差数列，故2B＝A＋C，又因为A＋B＋C＝180°，故B＝60°，反之，亦成立，故“A，B，C成等差数列”是“B＝60°”的充要条件．
梳理 (1)一般地，如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q，此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件．
(2)充要条件的实质是原命题“若p，则q”和其逆命题“若q，则p”均为真命题，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件，即如果p?q，那么p与q互为充要条件． (3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.
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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 若A?B，则p是q的充分条件，若AB，则p是q的充分不必要条件 若B?A，则p是q的必要条件，若BA，则p是q的必要不充分条件 若A＝B，则p，q互为充要条件 若A?B且B?A，则p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件
其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．
(1)q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(√)
(2)若p是q的充要条件，则p和q是两个相互等价的命题．(√) (3)q不是p的必要条件时，“p?q”成立．(√)
类型一 充分条件、必要条件、充要条件的判定 例1 下列各题中，试分别指出p是q的什么条件． (1)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (2)p：一个四边形是矩形，q：四边形的对角线相等； (3)p：A?B，q：A∩B＝A； (4)p：a＞b，q：ac＞bc. 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断
解 (1)∵两个三角形相似?两个三角形全等，但两个三角形全等?两个三角形相似， ∴p是q的必要不充分条件． (2)∵矩形的对角线相等，∴p?q， 而对角线相等的四边形不一定是矩形， ∴q?p，∴p是q的充分不必要条件．
(3)∵p?q，且q?p，∴p既是q的充分条件，又是q的必要条件． (4)∵p?q，且q?p，∴p是q的既不充分也不必要条件．
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文档从互联网中收集，已重新修正排版，word格式支持编辑，如有帮助欢迎下载支持。 反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法：
①确定谁是条件，谁是结论；
②尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件； ③尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件． (2)命题判断法：
①如果命题：“若p，则q”为真命题，那么p是q的充分条件，同时q是p的必要条件； ②如果命题：“若p，则q”为假命题，那么p不是q的充分条件，同时q也不是p的必要条件．
跟踪训练1 指出下列各题中，p是q的什么条件？ (1)p：ax＋ax＋1>0的解集是R，q：0 6 <－1； x－5 2 (3)p：A∪B＝A，q：A∩B＝B； ??α>2，(4)p：? ?β>2，? ??α＋β>4， q：? ?αβ>4.? 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 解 (1)当a＝0时，1>0满足题意； ??Δ＝a－4a<0， 当a≠0时，由? ?a>0，? 2 可得0 故p是q的必要不充分条件． (2)易知p：－1 (3)因为A∪B＝A?A∩B＝B，所以p是q的充要条件． (4)由? ?α>2，? ??β>2， ??α＋β>4， 有???αβ>4， 根据同向不等式相加、相乘的性质， ??α＋β>4， 即p?q.但? ??αβ>4 ??α＋β＝6>4， 比如，当α＝1，β＝5时，? ??αβ＝5>4， ??α>2，????β>2， 而α<2， 所以q?p，所以p是q的充分不必要条件． 类型二 充要条件的探求与证明 命题角度1 充要条件的探求 3如有帮助欢迎下载支持
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