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§1.2 充分条件与必要条件
学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明.
知识点一 充分条件与必要条件
(1)“若p,则q”为真命题,是指由p通过推理可以得出q.这时,我们就说,由p可推出q,记作p?q,并且说p是q的充分条件,q是p的必要条件.
(2)若p?q,但q?p,称p是q的充分不必要条件,若q?p,但p?q,称p是q的必要不充分条件.
知识点二 充要条件
思考 在△ABC中,角A,B,C为它的三个内角,则“A,B,C成等差数列”是“B=60°”的什么条件?
答案 因为A,B,C成等差数列,故2B=A+C,又因为A+B+C=180°,故B=60°,反之,亦成立,故“A,B,C成等差数列”是“B=60°”的充要条件.
梳理 (1)一般地,如果既有p?q,又有q?p,就记作p?q,此时,我们说,p是q的充分必要条件,简称充要条件.
(2)充要条件的实质是原命题“若p,则q”和其逆命题“若q,则p”均为真命题,如果p是q的充要条件,那么q也是p的充要条件,即如果p?q,那么p与q互为充要条件. (3)从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件.
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文档从互联网中收集,已重新修正排版,word格式支持编辑,如有帮助欢迎下载支持。 若A?B,则p是q的充分条件,若AB,则p是q的充分不必要条件 若B?A,则p是q的必要条件,若BA,则p是q的必要不充分条件 若A=B,则p,q互为充要条件 若A?B且B?A,则p既不是q的充分条件,也不是q的必要条件
其中p:A={x|p(x)成立},q:B={x|q(x)成立}.
(1)q是p的必要条件时,p是q的充分条件.(√)
(2)若p是q的充要条件,则p和q是两个相互等价的命题.(√) (3)q不是p的必要条件时,“p?q”成立.(√)
类型一 充分条件、必要条件、充要条件的判定 例1 下列各题中,试分别指出p是q的什么条件. (1)p:两个三角形相似,q:两个三角形全等; (2)p:一个四边形是矩形,q:四边形的对角线相等; (3)p:A?B,q:A∩B=A; (4)p:a>b,q:ac>bc. 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断
解 (1)∵两个三角形相似?两个三角形全等,但两个三角形全等?两个三角形相似, ∴p是q的必要不充分条件. (2)∵矩形的对角线相等,∴p?q, 而对角线相等的四边形不一定是矩形, ∴q?p,∴p是q的充分不必要条件.
(3)∵p?q,且q?p,∴p既是q的充分条件,又是q的必要条件. (4)∵p?q,且q?p,∴p是q的既不充分也不必要条件.
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文档从互联网中收集,已重新修正排版,word格式支持编辑,如有帮助欢迎下载支持。 反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法 (1)定义法:
①确定谁是条件,谁是结论;
②尝试从条件推结论,若条件能推出结论,则条件为充分条件,否则就不是充分条件; ③尝试从结论推条件,若结论能推出条件,则条件为必要条件,否则就不是必要条件. (2)命题判断法:
①如果命题:“若p,则q”为真命题,那么p是q的充分条件,同时q是p的必要条件; ②如果命题:“若p,则q”为假命题,那么p不是q的充分条件,同时q也不是p的必要条件.
跟踪训练1 指出下列各题中,p是q的什么条件? (1)p:ax+ax+1>0的解集是R,q:0 6 <-1; x-5 2 (3)p:A∪B=A,q:A∩B=B; ??α>2,(4)p:? ?β>2,? ??α+β>4, q:? ?αβ>4.? 考点 充分条件、必要条件的判断 题点 充分、必要条件的判断 解 (1)当a=0时,1>0满足题意; ??Δ=a-4a<0, 当a≠0时,由? ?a>0,? 2
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