课后作业(五十) 双曲线
一、选择题 1．(2019·
清
远
调
研
)设双曲线
x2a2
－
y2b2
＝1(a＞0，b＞0)的虚轴长为2，焦距为23，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±2x B．y＝±2x 21C．y＝±2x D．y＝±2x 2．(2019·
湛
江
测
试
)双曲线
x216
－
y29
＝1的右焦点到一条渐近线的距离为( )
4
A．4 B．25C．3 D.5
x2y2
－a2b2
＝1(a＞0，b＞0)的两个焦点，若F1，F2，P(0，2b)是正三角形的三个顶点，则双曲线的离心率为( )
35
A.2B．2 C.2D．3
x2y2
4．(2019·湖南高考)已知双曲线C：－
a2b2
＝1的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为( )
x2y2x2y2A.20－5＝1 B.5－20＝1 x2y2x2y2C.80－20＝1 D.20－80＝1 5．(2019·佛山模
5
拟)设椭圆C1的离心率为13，焦点在x轴上且长轴长为26.若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为( )
x2y2x2y2A.42－32＝1 B.132－52＝1 x2y2x2y2
C.32－42＝1 D.132－122＝1 二、填空题
x2y2
6．(2019·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线m－
m2＋4
3．(2019·
惠
州
模
拟
)设F1和F2为双曲线
＝1的离心率为5，则m的值为________．
1 / 6
x2y2
7．已知双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程是y＝3x，它的一个焦点在抛物线y2＝24x的准线上，则双曲线的方程为________．
bx2y2
8．(2019·重庆高考)设P为直线y＝3ax与双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)左支的交点，F1是左焦点，PF1垂直于x轴，则双曲线的离心率e＝________．
三、解答题
x2y2
9．设双曲线－
a2b2
＝1(b＞a＞0)的半焦距为c，直线l过(a，0)，(0，b)两点，且原点到直线l的距离
3
为c，求双曲线的离心率． 4
10．(2019·广州联考)已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为2，且过点(4，－10)．点M(3，m)在双曲线上．
(1)求双曲线方程； →·→＝0； (2)求证：MF1MF2(3)求△F1MF2面积． 11．设A，B分别为双曲线
x2
a2
－
y2b2
＝1(a＞0，b＞0)的左，右顶点，双曲线的实轴长为4为3.
(1)求双曲线的方程； (2)已知直线y＝
3，焦点到渐近线的距离
33→OM
x－2与双曲线的右支交于M、N两点，且在双曲线的右支上存在点D，使→＝tOD→，求t的值及点D的坐标． ＋ON
解析及答案
一、选择题 1．
【解析】由题意得b＝1，c＝3.∴a＝2， b2
∴双曲线的渐近线方程为y＝±ax，即y＝±2x. 【答案】C
2 / 6
2．
3
【解析】依题意得，双曲线的右焦点坐标是(5，0)，渐近线方程是y＝±4x，3
因此右焦点(5，0)到渐近线y＝±4x的距离等于3.
【答案】C 3．
πc3c2222
【解析】由tan 6＝2b＝3得3c＝4b＝4(c－a)，则e＝a＝2. 【答案】B 4．
x2y2
【解析】∵－＝1的焦距为10，∴c＝5＝a2＋b2.①
a2b2
b
又双曲线渐近线方程为y＝±ax，且P(2，1)在渐近线上， 2b
∴a＝1，即a＝2b.②
由①②解得a＝25，b＝5，故应选A. 【答案】A 5．
【解析】由题意知曲线C2是以椭圆C1的焦点为焦点的双曲线，且2a＝8，即a＝4，
c5
由椭圆的离心率知13＝13，∴c＝5， ∴b2＝c2－a2＝25－16＝9， x2y2
∴曲线C2的标准方程为16－9＝1. 【答案】A 二、填空题
6．【解析】∵c2＝m＋m2＋4， c2m＋m2＋4∴e＝a2＝＝5，
m
2
∴m2－4m＋4＝0，∴m＝2. 【答案】2
b
7．【解析】由题意知a＝3，抛物线的准线方程为x＝－6，
3 / 6
b2＝3a2，????a2＝9，
则c＝6，由?c2＝a2＋b2，得?
??b2＝27，??c2＝36，x2y2
∴双曲线方程为9－27＝1. x2y2
【答案】9－27＝1
bx2y2
8．【解析】∵直线y＝3ax与双曲线a2－b2＝1相交， by＝??3ax，32a由?消去y得x＝4，
x2y2??a2－b2＝1又PF1垂直于x轴， 32ac32∴4＝c，从而e＝a＝4.
32
【答案】4 三、解答题
9．【解】由l过两点(a，0)、(0，b)，得l的方程为bx＋ay－ab＝0. 3
由原点到l的距离为4c，得将b＝
3＝4c. a2＋b2ab
c2－a2代入，平方后整理，得
cc
3(a)4－16(a)2＋16＝0，即3e4－16e2＋16＝0，
23
又e＞1，故e＝3或e＝2. c
又∵0＜a＜b，∴e＝＝a
a2＋b2
＝ a
1＋
b2
＞2， a2
23
∴应舍去e＝3，故所求离心率e＝2. 10．
【解】(1)∵e＝2，则双曲线的实轴、虚轴相等． ∴可设双曲线方程为x2－y2＝λ.
∵过点(4，－10)，∴16－10＝λ，即λ＝6.
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