习题解答
第二章
2.1计算：(1)?pi?iq?qj?jk，(2)epqieijkAjk，(3)eijpeklpBkiBlj。 解：(1)?pi?iq?qj?jk(2)epqieijkAjk
2.2证明：若aij(3)eijpeklpBkiBlj??pq?qj?jk??pj?jk??pk;
?(?ik?jl??il?jk)BkiBlj?BiiBjj?BjiBij。
?(?pj?qk??pk?qj)Ajk?Apq?Aqp;
?aji，则eijkajk?0。
证：2eijkajk?eijkajk?eikjakj?eijkajk?eijkakj?eijkajk?eijkajk?0。
2.3设a、b和c是三个矢量，试证明：
a?aa?ba?cb?ab?bb?c?[a,b,c]2 c?ac?bc?ca?aa?ba?caiaiaibiaicia1a2a3a1b1c12证：b?ab?bb?c?biaibibibici?b1b2b3a2b2c2?[a,b,c]。
c?ac?bc?cciaicibicicic1c2c3a3b3c3
2.4设a、b、c和d是四个矢量，证明：
(a?b)?(c?d)?(a?c)(b?d)?(a?d)(b?c)
证：(a?b)?(c?d)?aibjeijkek?cldmelmnen?aibjcldmeijkelmk ?aibjcldm(?il?jm??im?jl)?(aici)(bjdj)?(aidi)(bjcj) ?(a?c)(b?d)?(a?d)(b?c)。
zz'2.5设有矢量u?uiei。原坐标系绕z轴转动?角度，得到新坐标系，如图2.4所示。试求矢量u在新坐标系中的分量。 解：?1?1?cos?，?1?2?sin?，?1?3?0， ?2?1??sin?，?2?2?cos?，?2?3?0， ?3?1?0，?3?2?0，?3?3?1。 u1???1?iui?u1cos??u2sin?，
y'ox?x'图2.4?y1
u2???2?iui??u1sin??u2cos?，
u3???3?iui?u3。
2.6设有二阶张量T?Tijei?ej。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量T在新坐标系
中的分量T1?1?、T1?2?、T1?3?和T3?3?。 解：变换系数同上题。
T1?1???1?i?1?jTij?T11?T222?T11?T222cos2??T12?T212sin2?， T1?2??T12?T21?T12?T21T?T22cos2??22112sin2?，
T1?3??T13cos??T23sin?， T3?3??T33。
2.7设有3n个数Ai1i2???in，对任意m阶张量Bj1j2???jm，定义
Ci1i2???inj1j2???jm?Ai1i2???inBj1j2???jm
若Ci1i2???inj1j2???jm为n?m阶张量，试证明
Ai1i2???in是n阶张量。
证：为书写简单起见，取n?2，m?2，则 Cijkl?AijBkl，
在新坐标系中，有
Ci?j?k?l??Ai?j?Bk?l? (a)
因为Cijkl和Bkl是张量，所以有
Ci?j?k?l???i?i?j?j?k?k?l?lCijkl??i?i?j?jAij?k?k?l?lBkl??i?i?j?jAijBk?l?
比较上式和式(a)，得
(Ai?j???i?i?j?jAij)Bk?l??0
由于B是任意张量，故上式成立的充要条件是 Ai?j???i?i?j?jAij
即Aij是张量。 2.8设
A为二阶张量，试证明I??A?trA。
证：I??A?ei?ei??Ajkej?ek=Ajk(ei?ej)(ei?ek)=Ajk?ij?ik=Aii=trA。
2.9设a为矢量，A为二阶张量，试证明：
2
(1)a?A??(AT?a)T，(2)A?a??(a?AT)T 证：(1) ?(AT?a)T??(Ajiei?ej?akek)T??(Ajiei?akejknen)T
??Ajnakejkiei?en
??(Ajiakejknei?en)T (2) ?(a?AT)T ?akek?Ajnej?en?a?A。
??(aiei?Akjej?ek)T??(Akjaieijnen?ek)T
??(Anjaieijken?ek)?Anjen?aiejikek
?Anjen?ej?aiei?A?a
2.10已知张量T具有矩阵
?123? [T]??456?
?789??? 求T的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。
解：T的对称部分具有矩阵
?135?1 ([T]?[T]T)??357?， 2?579??? T的反对称部分具有矩阵
?0?1?2?1 ([T]?[T]T)??10?1?。 2?210??? 和反对称部分对应的轴向矢量为 ω?e1?2e2?e3。
2.11已知二阶张量T的矩阵为
?3?10?[T]???130?
?001???求T的特征值和特征矢量。
3???10解：?13??0?(1??)[(3??)2?1]?0
001??由上式解得三个特征值为?1?4，?2?2，?3?1。
将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45)，可以求出三个特征矢量为
3
a1?11(e1?e2)，a?(e1+e2)，a3?e3。 22
2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：
A??I??m?m，B?m?n?n?m
其中，?和?是实数，m和n是两个相互垂直的单位矢量。 解：因为
A?m?(?I??m?m)?m?(???)m，
所以m是A的特征矢量，??? 是和其对应的特征值。设a是和m垂直的任意单
位矢量，则有
A?a?(?I??m?m)?a??a
所以和m垂直的任意单位矢量都是征方程的重根。 令 e2?则有
A的特征矢量，相应的特征值为?，显然?是特
11(m?n)，e3?(m?n)，e1=e2?e3 2222(e2+e3)，n?(?e2+e3) 22上面定义的ei是相互垂直的单位矢量。张量B可以表示成 B?0e1?e1?e2?e2+e3?e3
所以，三个特征值是1、0和－1，对应的特征矢量是e3、e1和e2。
m?
2.13设a和b是矢量，证明：
(1)??(??a)??(??a)??2a
(2)??(a?b)?b?(?a)?a?(?b)?a(??b)?b(??a)
证：(1) 这一等式的证明过程和书中证明式(2.14)的过程相同，在此略。 (2) ??(a?b)?ei???(ajej?bkek)?ei?(ajbkejkmem) ?xi?xi ?(aj,ibk?ajbk,i)ejkmeimnen?(aj,ibk?ajbk,i)(?jn?ki??ji?kn)en ?aj,ibiej?ajbi,iej?aj,jbkek?aibk,iek ?b?(?a)?a?(?b)?a(??b)?b(??a)
2.14设a?x2yze1?2xz3e2?xz2e3，求w?1(a???a)及其轴向矢量。 24
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