第五章 定积分及其应用
【内容提要
1.定积分的概念和性质
(1)定积分的定义
设 f(x) 是定义在 [a,b] 上的函数,在区间 [a,b] 内任意插入 n?1 个 分点a?x0?x1?x?2?xn??1xn?b,将其分成 n 个小区间。 记
?xi?xi?xi?1(i?1,2,n,n),??max{?xi},在每个小区间上任取一点 ?i?[xi?1,xi],
存在,且与小区间的划分及 ?i的选取无关,则称函数
下列和式的极限lim??0?f(?)?xii?1if(x) 在 [a,b] 上可积,并称该极限值为 f(x) 在 [a,b] 上的定积分 ,记作
?baf(x) dx,即?f(x) dx?limab??0(f)? d?x?ii?1nix,其中 f(x) 称为被积函数,f(x) dx
称为被积表达式,x 称为积分变量,a 称为积分下限,b 称为积分上限,[a,b] 称为积分区间。
(2)定积分的性质
1)常数因子可以提到积分号外
?bakf(x)dx?k?fx(x)d (k 为常数)。
ab2)函数代数和的积分等于它们积分的代数和。
?[f(x)?g(x)]dx??abbacf(x)dx??g(x)dx
abcb3)对任意单个实数 a,b,c,恒有
?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx。
a4)若在区间 [a,b] 上,被积函数 f(x)?K,那么
?baf(x)dx??Kdx?K?dx?K(b?a)
aabb特别地,当 K?1 时,
?baf(x)dx??Kdx?b?a
ab5)如果在区间 [a,b] 上, f(x)?g(x),则
?baf(x)dx??g(x)dx (a?b)。
ab6)记函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上的最大值和最小值分别为 M 和 m,则
m(b?a)??baf(x)dx?M(b?a)
7)
设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续,则在区间 [a,b] 上至少存在一点 ?,使得
?baf(x)dx?f(?)(b?a)
2.定积分的计算
(1)牛顿-莱布尼兹公式 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续,且F(x)是f(x)的任意一个原函数,那么
?baf(x)dx?F(b)?F(a)。
(2)定积分的换元法
设函数f(x)在区间[a,b]上连续,并且满足下列条件: (1)x??(t),且a??(?),b??(?);
(2)?(t)在区间[?,?]上单调且有连续的导数??(t); (3)当t从?变到?时,?(t)从a单调地变到b。 则有
?(3)定积分的分部积分法
baf(x)dx??f(?(t))??(t)dt
??设函数u?u(x)和v?v(x)在区间[a,b]上有连续的导数,则有
?3.定积分的应用
ba? u(x)v?(x)dx?[u(x)v(x)]ba??v(x)u(x)dxab实际应用时,通常按以下简化步骤来进行:
(1)根据实际情况选取积分变量x,并确定相应的积分区间[a,b]。由于分割的任意性,为简便起见,对?Si?f(?i)?xi省略下标,得?S?f(?)?x,用[x,x?dx]表示[a,b]内的任一小区间,并取小区间的左端点x为?,则?S的近似值就是以dx为底,f(x)为高的小矩形的面积,即?S?f(x)dx。用微分表示,则有微元
dS?f(x)dx
(2)将所有部分量累加起来,便得到所求量S的积分表达式S?计算它的值。
利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法。 1) 定积分在几何上的应用,求平面图形的面积和旋转体的体积。
2) 定积分在物理上的应用,求液体的压力和变力做功。 4.广义积分和?函数
?baf(x)dx,然后
(1)广义积分
1)无穷积分 设函数连续,若极限
b???alim?f(x)dx 存在,则称此极限值为函数f(x)在
b无限区间[a,??)上的无穷积分,记作分
?+?af(x)dx?lim?f(x)dx ,此时称无穷积
b???a??ab???af(x)dx存在或收敛;若极限不存在,就称无穷积分?f(x)dx不存在或发散。
类似地,可以定义
f(x)在无限区间(??,b]上的广义积分
?也可定义
b??f(x)dx?lim?f(x)dx
a???abf(x)在无限区间(??,??)上的广义积分
?2)瑕积分 设函数若极限lim???0+???f(x)dx??k??f(x)dx????kf(x)dx
x?bf(x)在[a,b)内连续,x?b是 f(x)的瑕点,有limf(x)??。 ??b??af(x)dx 存在,则称此极限值为函数f(x)在[a,b)上的瑕积分或无界
函数的广义积分,记作
?baf(x)dx,并称瑕积分?f(x)dx收敛,即
ab?若极限不存在,则称瑕积分(2)? 函数 将含参变量s(s
baf(x)dx?lim????0b??af(x)dx
?baf(x)dx发散。
?0)的广义积分?(s)????0xs?1e?xdx,(s?0) 称为?函数。
【习题解答】
5-1 用定积分表示下列问题中的量纲。 (1)圆x2?y2?4a2的面积;
(2)抛物线y?12x,直线x?2及x轴所围成的图形面积; 2dm?f(t)??0.05t的葡萄糖代谢在t1到t2这段时dt(3)质量m关于时间t的减少率为间内减少的质量m。
解(1)S(2)S?4???202a0a2?x2dx
12xdx 2(3)m??t2t1(?0.05t)dt
5-2 根据定积分的性质比较下列积分的大小。
??0(1)
?40arctanxdx与?4(arctanx)2dx (2)?lnxdx与?(lnx)2dx
3344(3)
?1?1(4)1?xdx与?(1?x)dx ?(1?cosx)dx与?2412??2?10012xdx 22解(1)当0?x????4xn?(arctax)n,从而时,0?arctaxn?1,所以arcta?40arctanxdx??4(arctanx)2dx
02(2)当3?x?4时,lnx?1,所以lnx?(lnx),从而(3)因为1?x?1?x,所以
42?43lnxdx??(lnx)2dx
34?1?11?xdx??(1?x2)dx
?14112(4)当0?x?时,1?cosx?x,从而
225-3 求下列导数。
???20(1?cosx)dx???2012xdx 2dxd2sintdt(1); (2)dx?0dx?2cosxarctanxe?tdt;
?x?tueududy?0?(3)由参数方程?所确定的函数的导数; 02udx?y??2uedut?(4)由方程
?y0tdt??2x20sinttdt?1确定的函数y?y(x)的导数
dy。 dxdx22sintdt?sinx解 (1) ?0dxd(2)
dx?cosxarctanxe?tdt??e?cosx?sinx?e?arctanx?1
1?x2
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