第五章 定积分及其应用习题

第五章 定积分及其应用

【内容提要

1．定积分的概念和性质

（1）定积分的定义

设 f(x) 是定义在 [a,b] 上的函数，在区间 [a,b] 内任意插入 n?1 个 分点a?x0?x1?x?2?xn??1xn?b,将其分成 n 个小区间。 记

?xi?xi?xi?1(i?1,2,n,n)，??max{?xi}，在每个小区间上任取一点 ?i?[xi?1,xi]，

存在，且与小区间的划分及 ?i的选取无关，则称函数

下列和式的极限lim??0?f(?)?xii?1if(x) 在 [a,b] 上可积，并称该极限值为 f(x) 在 [a,b] 上的定积分 ，记作

?baf(x) dx，即?f(x) dx?limab??0(f)? d?x?ii?1nix，其中 f(x) 称为被积函数，f(x) dx

称为被积表达式，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限，[a,b] 称为积分区间。

（2）定积分的性质

1）常数因子可以提到积分号外

?bakf(x)dx?k?fx(x)d （k 为常数）。

ab2）函数代数和的积分等于它们积分的代数和。

?[f(x)?g(x)]dx??abbacf(x)dx??g(x)dx

abcb3）对任意单个实数 a,b,c,恒有

?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx。

a4）若在区间 [a,b] 上，被积函数 f(x)?K，那么

?baf(x)dx??Kdx?K?dx?K(b?a)

aabb特别地，当 K?1 时，

?baf(x)dx??Kdx?b?a

ab5）如果在区间 [a,b] 上， f(x)?g(x)，则

?baf(x)dx??g(x)dx (a?b)。

ab6）记函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上的最大值和最小值分别为 M 和 m，则

m(b?a)??baf(x)dx?M(b?a)

7）

设函数 f(x) 在闭区间 [a,b] 上连续，则在区间 [a,b] 上至少存在一点 ?，使得

?baf(x)dx?f(?)(b?a)

2.定积分的计算

（1）牛顿-莱布尼兹公式 如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，且F(x)是f(x)的任意一个原函数，那么

?baf(x)dx?F(b)?F(a)。

（2）定积分的换元法

设函数f(x)在区间[a,b]上连续，并且满足下列条件： （1）x??(t)，且a??(?)，b??(?)；

（2）?(t)在区间[?,?]上单调且有连续的导数??(t)； （3）当t从?变到?时，?(t)从a单调地变到b。 则有

?（3）定积分的分部积分法

baf(x)dx??f(?(t))??(t)dt

??设函数u?u(x)和v?v(x)在区间[a,b]上有连续的导数，则有

?3.定积分的应用

ba? u(x)v?(x)dx?[u(x)v(x)]ba??v(x)u(x)dxab实际应用时，通常按以下简化步骤来进行：

（1）根据实际情况选取积分变量x，并确定相应的积分区间[a,b]。由于分割的任意性，为简便起见，对?Si?f(?i)?xi省略下标，得?S?f(?)?x，用[x,x?dx]表示[a,b]内的任一小区间，并取小区间的左端点x为?，则?S的近似值就是以dx为底，f(x)为高的小矩形的面积，即?S?f(x)dx。用微分表示，则有微元

dS?f(x)dx

（2）将所有部分量累加起来，便得到所求量S的积分表达式S?计算它的值。

利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法。 1） 定积分在几何上的应用，求平面图形的面积和旋转体的体积。

2） 定积分在物理上的应用，求液体的压力和变力做功。 4.广义积分和?函数

?baf(x)dx，然后

（1）广义积分

1）无穷积分 设函数连续，若极限

b???alim?f(x)dx 存在，则称此极限值为函数f(x)在

b无限区间[a,??)上的无穷积分，记作分

?+?af(x)dx?lim?f(x)dx ，此时称无穷积

b???a??ab???af(x)dx存在或收敛；若极限不存在，就称无穷积分?f(x)dx不存在或发散。

类似地，可以定义

f(x)在无限区间(??,b]上的广义积分

?也可定义

b??f(x)dx?lim?f(x)dx

a???abf(x)在无限区间(??,??)上的广义积分

?2）瑕积分 设函数若极限lim???0+???f(x)dx??k??f(x)dx????kf(x)dx

x?bf(x)在[a,b)内连续，x?b是 f(x)的瑕点，有limf(x)??。 ??b??af(x)dx 存在，则称此极限值为函数f(x)在[a,b)上的瑕积分或无界

函数的广义积分，记作

?baf(x)dx，并称瑕积分?f(x)dx收敛，即

ab?若极限不存在，则称瑕积分（2）? 函数 将含参变量s(s

baf(x)dx?lim????0b??af(x)dx

?baf(x)dx发散。

?0)的广义积分?(s)????0xs?1e?xdx,(s?0) 称为?函数。

【习题解答】

5-1 用定积分表示下列问题中的量纲。 （1）圆x2?y2?4a2的面积；

（2）抛物线y?12x，直线x?2及x轴所围成的图形面积； 2dm?f(t)??0.05t的葡萄糖代谢在t1到t2这段时dt（3）质量m关于时间t的减少率为间内减少的质量m。

解（1）S（2）S?4???202a0a2?x2dx

12xdx 2（3）m??t2t1(?0.05t)dt

5-2 根据定积分的性质比较下列积分的大小。

??0（1）

?40arctanxdx与?4(arctanx)2dx （2）?lnxdx与?(lnx)2dx

3344（3）

?1?1（4）1?xdx与?(1?x)dx ?(1?cosx)dx与?2412??2?10012xdx 22解（1）当0?x????4xn?(arctax)n，从而时，0?arctaxn?1，所以arcta?40arctanxdx??4(arctanx)2dx

02（2）当3?x?4时，lnx?1，所以lnx?(lnx)，从而（3）因为1?x?1?x，所以

42?43lnxdx??(lnx)2dx

34?1?11?xdx??(1?x2)dx

?14112（4）当0?x?时，1?cosx?x，从而

225-3 求下列导数。

???20(1?cosx)dx???2012xdx 2dxd2sintdt（1）； （2）dx?0dx?2cosxarctanxe?tdt；

?x?tueududy?0?（3）由参数方程?所确定的函数的导数； 02udx?y??2uedut?（4）由方程

?y0tdt??2x20sinttdt?1确定的函数y?y(x)的导数

dy。 dxdx22sintdt?sinx解 （1） ?0dxd（2）

dx?cosxarctanxe?tdt??e?cosx?sinx?e?arctanx?1

1?x2