基本不等式
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一、选择题
1．(多选题)下列不等式证明过程正确的是( ) ba
A．若a，b∈R，则a＋b≥2
baa·b＝2
B．若x＞1，y＞1，则lg x＋lg y≥2lg x·lg y 4
C．若x＜0，则x＋x≥24x·x＝－4
D．若x＜0，则2x＋2－x＞22x· 2－x＝2
BD [A错误，∵a、b不满足同号，故不能用基本不等式；B正确，∵lg x4
和lg y一定是正实数，故可用基本不等式； C错误，∵x和x不是正实数，故不能直接利用基本不等式；D正确，∵2x和2－x都是正实数，故2x＋2－x＞2＝2成立，当且仅当2x＝2－x相等时(即x＝0时)，等号成立，故选BD.]
2．设0＜x＜2，则函数y＝x（4－2x）的最大值为( ) 2
A．2 B.2 C.3 D.2 D [∵0＜x＜2，∴4－2x＞0，
11?2x＋4－2x?21
?＝×4＝2. ∴x(4－2x)＝2×2x(4－2x)≤2×?
22??当且仅当2x＝4－2x，即x＝1时等号成立． 即函数y＝
x（4－2x）的最大值为2.] 2x·2－x
11
3．若正数m，n满足2m＋n＝1，则m＋n的最小值为( ) A．3＋22
B．3＋2
1
C．2＋22 A [因为2m＋n＝1，
D．3
11?11?n2m
所以m＋n＝?m＋n?·(2m＋n)＝3＋m＋n≥3＋2
??n2m
m＝n，
n2m
当且仅当
m·n＝3＋22，
11
即n＝2m时等号成立，所以m＋n的最小值为3＋22，故选A.] 4．(2019·长沙模拟)若a>0，b>0，a＋b＝ab，则a＋b的最小值为( ) A．2 B．4 C．6 D．8
（a＋b）2B [法一：(直接法)由于a＋b＝ab≤，因此a＋b≥4，当且仅当a
4＝b＝2时取等号，故选B.
11a?11?
法二：(常数代换法)由题意，得a＋b＝1，所以a＋b＝(a＋b)?a＋b?＝2＋b＋
??b
a≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故选B.]
5.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为
无字证明．现有如图所示图形，点F在半圆O上，点C在直径AB上，且OF⊥AB，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的无字证明为( )
a＋b
A.2≥ab(a>0，b>0) B．a2＋b2≥2ab(a>0，b>0) C.
2ab
≤ab(a>0，b>0) a＋b
a2＋b2
2(a>0，b>0)
a＋bD.2≤
a＋ba＋b
D [由AC＝a，BC＝b，可得圆O的半径r＝2，又OC＝OB－BC＝2
2
a－b－b＝2，
（a－b）2（a＋b）2a2＋b2
则FC2＝OC2＋OF2＝＋＝2，
44a＋b
再根据题图知FO≤FC，即2≤选D.]
二、填空题
x
6．若对任意x＞0，2≤a恒成立，则a的取值范围是________．
x＋3x＋1x?1?
?5，＋∞? [∵对任意x＞0，2≤a恒成立， ??x＋3x＋1x??
?∴对x∈(0，＋∞)，a≥?2，
x＋3x＋1max??而对x∈(0，＋∞)，
x1
＝≤21x＋3x＋1x＋＋3
2x
11
x·x＋3
1＝5，
a2＋b2
2，当且仅当a＝b时取等号．故
1
当且仅当x＝x时等号成立， 1∴a≥5.]
7．如图，已知正方形OABC，其中OA＝a(a＞1)，函数y＝3x2交BC于点P，函数
1
－y＝x2交
AB于点Q，当|AQ|＋|CP|最小时，则a的值为________．
?
3 [由题意得：P点坐标为?
?＝a3＋1a≥21， 3
a??
?，Q点坐标为?a，，a3??
1?
?，|AQ|＋|CP|a?
当且仅当a＝3时，取最小值．]
3
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