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第三讲 绝对值
内容概述 绝对值是有理数中非常重要的组成部分，它其中相关的基本思想及数学方法是初中数学学习的基石，希望同学们通过学习、巩固对绝对值的相关知识能够掌握要领。
绝对值的定义及性质 绝对值 简单的绝对值方程
化简绝对值式，分类讨论（零点分段法） 绝对值几何意义的使用
绝对值的定义及性质
绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 绝对值的性质：
（1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性
质；
a （a＞0）
（2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a＜0)
（3） 若|a|=a，则a≥0； 若|a|= -a，则a≤0；
（4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|
≥a， 且|a|≥-a；
（5） 若|a|=|b|，则a=b 或 a= -b；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|
a|a||=（b≠0）； b|b|（7） |a|2=|a2|=a2；
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[例1]
（1） 绝对值大于2.1而小于4.2的整数有多少个？ （2） 若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ）
A.a＜0，b＜0 B.a＞0，b＜0 C.a＜0，b＞0 D.ab＜0
（3） 下列各组判断中，正确的是（ ）
A．若|a|=b，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a＞b C. 若|a|＞b，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b，则一定有a2=(-b) 2
（4） 设a，b是有理数，则|a+b|+9有最小值还是最大值？其值是多少？ 练习
1, 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？ 2,有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ） A.a＞b B.a=b C.a
4,设a，b是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？ 5,若3|x-2|+|y+3|=0，则 [例2]
有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|b+a|+|a+c|+|c-b| 练习
1,数a，b在数轴上对应的点如图所示，是化简|a+b|+|b-a|+|b|-|a-|a||
a 0 b c
b 0
a
y的值是多少？ x2、有理数a，b，c在数轴上对应点如图所示，化简|a-b|-|a+b|+|b-c|-|c|
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a c 0 b 3
例3】求|x-3|+|x-5|+|x-2|+|x+1|+|x+7|的最小值
求|x-a1|+|x-a2|+?+|x-an|的最小值：
当n为奇数时，把a1、a2、?an从小到大排列，x等于最中间的数值时，
该式子的值最小。
当n为偶数时，把a1、a2、?an从小到大排列，x取最中间两个数值之间
的数（包括最中间的数）时，该式子的值最小。
练习
1、设a＜b＜c，求当x取何值时|x-a|+|x-b|+|x-c|的最小值
2,设a 4.若a?0，ab?0， 则|b?a?3|?|a?b?9| 的值为 ( ) A.6 B. -6 C. 12 D. ?2a?2b?12 第 3 页 4 分析： （1） 结合数轴画图分析。绝对值大于2.1而小于4.2的整数有±3，±4，有4个 （2） 答案C不完善，选择D.在此注意复习巩固知识点3。 （3） 选择D。 （4） 根据绝对值的非负性可以知道|a+b|≥0，则|a+b|≥9，有最小值9 [巩固] 绝对值小于3.1的整数有哪些？它们的和为多少？ <分析>：绝对值小于3.1的整数有0，±1，±2，±3，和为0。 [巩固] 有理数a与b满足|a|>|b|，则下面哪个答案正确（ ） A.a＞b B.a=b C.a [巩固] 若|x-3|=3-x，则x的取值范围是____________ 分析：若|x-3|=3-x，则x-3≤0，即x≤3。对知识点3的复习巩固 [巩固] 若a＞b，且|a|<|b|，则下面判断正确的是（ ） A.a＜0 B.a＞0 C.b＜0 D.b＞0 分析：选择C [巩固] 设a，b是有理数，则-8-|a-b|是有最大值还是最小值？其值是多少？ 分析：|a-b|≥0，-8-|a-b|≤-8，所以有最大值-8 [例2] （1）（竞赛题）若3|x-2|+|y+3|=0，则（2）若|x+3|+(y-1)=0，求(2y的值是多少？ x?4n)的值 y?xy3=? x2?4?4==-1 y?x1?3分析：（1）|x-2|=0，|y+3|=0，x=2，y=-3， 2 （2）由|x+3|+（y-1）=0，可得x=-3，y=1。 n为偶数时，原式=1；n为奇数时，原式=-1 小知识点汇总：（本源 |a|≥0 b≥0） 2第 4 页
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