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湖南师大附中2019届高三月考试卷(四)
数 学(理科)
时量：120分钟 满分：150分
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合A＝{x∈R|x－x－2＜0}，B＝{x∈Z|x＝2t＋1，t∈A}，则A∩B＝(C) A．{－1，0，1} B．{－1，0} C．{0，1} D．{0} 【解析】A＝{x∈R|x－x－2＜0}＝{x|－1＜x＜2}， 则x＝2t＋1∈(－1，5)，所以B＝{0，1，2，3，4}， 所以A∩B＝{0，1}，故选C.
22
2．已知复数z＝，给出下列四个结论：①|z|＝2；② z＝2i；③z的共轭复数z＝－1＋
1－ii；④z的虚部为i.其中正确结论的个数是(B)
A．0 B. 1 C．2 D．3
【解析】由已知z＝1＋i，则|z|＝2，z＝2i，z＝1－i，z的虚部为1.所以仅结论②正确，故选B.
3．若向量a与b满足(a＋b)⊥a，且|a|＝1，|b|＝2，则向量a在b方向上的投影为(B) 13
A.3 B．－ C．－1 D.
23
【解析】利用向量垂直的充要条件有：(a＋b)·a＝a＋a·b＝0，
2
2
2
2
∴a·b＝－1，向量a在b方向上的投影为a·b1
＝－. 2|b|4．五进制是以5为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指. 中国古代的五行学说也是采用的五进制，0代表土，1代表水，2代表火，3代表木，4代表金，依此类推，5又属土，6属水，……，减去5即得. 如图，这是一个把k进制数a(共有N位)化为十进制数b的程序框图，执行该程序框图，若输入的k，a，n分别为5，1 203，4，则输出的b＝ (A)
A．178 B．386 C．890 D．14 303
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【解析】模拟执行程序框图，可得程序框图的功能是计算并输出b＝3·5＋0·5＋2·5＋1·5＝178.故选A.
5．若(1－x)＝a0＋a1x＋a2x＋a3x＋a4x＋a5x，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝(A) A．0 B．1 C．32 D．－1
【解析】由二项展开式的通项公式Tr＋1＝C5(－x)＝C5(－1)x，可知a1，a3，a5都小于0，则|a0|－|a1|＋|a2|－|a3|＋|a4|－|a5|＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5，在原二项展开式中令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝0.故选A.
2x－y≥0，??
6．若实数x，y满足?y≥x，且z＝2x＋y的最小值为3，则实数b的值为(C)
??y≥－x＋b，A．1 B.2 95
C. D. 42
【解析】画出可行域如图阴影部分所示，
r
r
r
rr
5
2
3
4
5
3
012
?y＝－x＋b，?b2b?b2b?当目标函数z＝2x＋y过点B时取得最小值，由?得B?，?，则2×＋＝3，
33?33???2x－y＝0
9
解得b＝.故选C.
4
7．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续5天的日平均温度均不低于22 ℃”．现有甲、乙、丙三地连续5天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)：
①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22； ②乙地：5个数据的中位数为27，总体均值为24；
③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8. 则肯定进入夏季的地区有(B)
A．①②③ B．①③ C．②③ D．①
§§§§§【解析】 由统计知识，①甲地：5个数据的中位数为24，众数为22，可知①符合题意；②乙
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地：5个数据的中位数为27，总体均值为24，有可能某一天的气温低于22 ℃，所以不符合题意；③丙地：5个数据中有一个数据是32，总体均值为26，总体方差为10.8.若某一天的气温低于22 ℃，则总体方差就大于10.8，所以满足题意，故选B.
8．平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，平面α∥平面A1BD，平面α∩平面ABCD＝l，则直线l与直线A1C1所成的角为(D)
A．30° B．45° C．60° D．90°
【解析】如图所示，平面α过正方体ABCD－A1B1C1D1的顶点A，平面α∥平面A1BD，平面α∩平面ABCD＝l＝AF，平面A1BD∩平面ABCD＝BD，∴BD∥AF，又∵A1C1∥AC，则直线l与直线A1C1所成的角即为直线BD与直线AC所成的角，为90°.故选D.
a1＋2a2＋…＋2
9．对于数列{an}，定义Hn＝
n
n－1
an
为{an}的“优值”，现已知某数列的“优值”Hn
S2 019n
＝2，记数列{an}的前n项和为Sn，则＝(B)
2 019
[:]A．2 022 B．1 011 C．2 020 D．1 010 a1＋2a2＋…＋2
【解析】由Hn＝
n得a1＋2a2＋…＋2a1＋2a2＋…＋2①－②得2
n－1
n－2
n－1
n
n－1
ann
＝2，
an＝n·2， ①
n－1
an－1＝(n－1)·2
n
， ② ＝(n＋1)·2
n－1
an＝n·2－(n－1)·2
n－1
n（n＋3）
，即an＝n＋1，Sn＝，
2
S2 019
所以＝1 011.故选B.
2 019
cos Bcos C23sin A
10．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＋＝，cos B
bc3sin C＋3sin B＝2，则a＋c的取值范围是(B)
A.?
?3??3??3??3?
，3? B.?2，3? C.?，3? D.?2，3?
?????2??2?
cos Bcos C23sin A
【解析】由题意＋＝可得：
bc3sin C
..
..
ccos B＋bcos Csin Ccos B＋sin Bcos Csin（B＋C）23sin A
＝＝＝，
bcbsin Cbsin C3sin C∴b＝
3. 2
3?1??π?cos B＋3sin B＝2?cos B＋sin B?＝2sin?B＋?＝2，
6??2?2?πππb
∴B＋＝，B＝，＝1，
623sin B2π∴A＋C＝，
3
2πππππ0 32262a＋c＝sin A＋sin C＝sin A＋sin?ππππ2π∵ 6?2?故答案选B. ?2π－A?＝3sin A＋3cos A＝3sin?A＋π?， ?2??6?2?3?? ?log2(2－x)，0≤x＜k， 11．已知函数f(x)＝?3若存在实数k，使得函数f(x)的值域为[－1， ?x－3x2＋3，k≤x≤a， 1]，则实数a的取值范围是(B) ?3?A.?，1＋3? B.[2，1＋3] C.[1，3] D.[2，3] ?2? 【解析】由于y＝log2(2－x)在[0，k)上是单调递减函数， [:.....]当x＝0时，y＝1, 33当x＝时，y＝－1，所以0＜k≤. 22 令g(x)＝x－3x＋3，则g′(x)＝3x－6x＝0， .. 3 2 2
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