例1．已知数列{an}中，a1?2,an?1?分析：待定系数法构造an?1?解：由an?1?则an?1?1?11an?,求通项an. 22A?c(an?A)构造新的等比数列。
111an?,设an?1?A?(an?A),解出A=-1, 22211(an?1)所以数列{an?1}构成以a1?1?1为首项，以为公比的等比数列
221n?11n?1?1. 所以an?1?(),即 an?()22
练习.若数列{an}中，a1?1,an?1?
22an?1,求通项公式an。答案：an?3?2?()n?1 337.形如an?1?pan?f(n)型（构造新的等比数列）
n(1)若f(n)?q(其中q是常数，且n?0,1)
①若p=1时，即：an?1?an?qn，累加即可
②若p?1时，即：an?1?p?an?qn，后面的待定系数法也用指数形式。 两边同除以qn?1 . 即： 令bn?an?1annq1、已知a1?2，an?2an?1?2n(n?1)，求an。
,则可化为bn?1qn?1p1??bn?.然后转化为类型6来解， qq?pan1?n?, qqqa1?1，2、已知数列?an?中，求通项公式an。答案：an?1?3an?3?2n，an?7?3n?1?3?2n
评注：本题的关键是两边同除以2，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求
一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项问题.
n?18.形如an?1?pan?qan?1(其中p,q为常数)型
（1）当p+q=1时 用转化法
例1.数列{an}中，若a1?8,a2?2,且满足an?2?4an?1?3an?0,求an. 解：把an?2?4an?1?3an?0变形为an?2?an?1?3(an?1?an). 则数列?an?1?an?是以a2?a1??6为首项，3为公比的等比数列，则
an?1?an??6?3n?1 利用类型3的方法可得 an?11?3n.
（2）当p2?4q?0时 用待定系数法.
例2. 已知数列{an}满足an?2?5an?1?6an?0，且a1?1,a2?5,且满足,求an. 解：令an?2?xan?1?y(an?1?xan),即an?2?(x?y)an?1?xyan?0,与已知
an?2?5an?1由??x?2?x?3?x?y?5,故?或? ?6an?0比较，则有?y?3xy?6y?2????x?2来运算，即有an?2?2an?1?3(an?1?2an),
?y?3则数列?an?1?2an?是以a2?2a1?3为首项，3为公比的等比数列，故
an?1?2an?3?3n?1?3n,即an?1?2an?3n ① ?x?3由?来运算，即有an?2?3an?1?2(an?1?3an),
y?2?则数列?an?1?3an?是以a2?3a1?2为首项，2为公比的等比数列，故
an?1?3an?2?2n?1?2n,即an?1?3an?2n ②
由①②可得an?3n?2n.
评注：形如an?2?aan?1?ban的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设方程(x?a)x?b的二根为?,?,设
an?p??n?q??n,再利用a1,a2的值求得p,q的值即可.
r9. 形如an?1?pan(其中p,r为常数)型
（1）p>0，an?0 用对数法. （2）p<0时 用迭代法.
2例1. 设正项数列?an?满足a1?1，an?2anan?的通项公式. ?1（n≥2）.求数列?解：两边取对数得：log2n?1?2log2n?1，log2n?1?2(log2n?1?1)，设bn?log2n?1，则bn?2bn?1
aaaaa?bn?是以2为公比的等比数列，b1?log12?1?1
an?1n，log2n?2n?1?1，∴an?22bn?1?2n?1?2n?1，loga2?1?2n?1?1
练习 数列?an?中，a1?1，an?2an?1（n≥2），求数列?an?的通项公式.答案：
an?22?22?n
例2（江西2005）
已知数列{an}的各项都是正数,且满足:a0?1,an?1?1an(4?an),n?N， 2（1）证明an?an?1?2,n?N; （2）求数列{an}的通项公式an.
11an(4?an)?[?(an?2)2?4],所以 2(an?1?2)??(an?2)2 221211221111?2???222又令bn?an?2,则bn??bn(?bn?2)???()2bnbn?1???1????()22222212n?112n?1,即an?2?bn?2?(). bn=－1，所以bn??()22解：（1）略（2）an?1?2n?1n方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试.
解法3：设cn??bn，则cn?
12cn?1,转化为上面类型（1）来解. 2练习：
1.（2014全国大纲卷.文17）数列{an}满足a1?1，a2?2，an?2?2an?1?an?2. （Ⅰ）设bn?an?1?an，证明{bn}是等差数列； （Ⅱ）求{an}的通项公式；
2．（全国II）设等比数列?an?的前n项和为Sn，S4?1,S8?17,求通项公式an.
a1(q4?1)?1?① 解：设{an}的公比为q，由S4?1,S8?17知q?1，所以得
q?1a1(q8?1)q8?1?17??②由①、②式得整理得4?17解得q4?16所以 q＝2或q＝－2
q?1q?1112n?1将q＝2代入①式得a1?，所以a?将q＝－2代入①式得a1??，所以
15155(?1)n?2n?1an?
5203．（全国卷I）已知?an?为等比数列，a3?2,a2?a4?，求?an?的通项式。
3a32220
解: 设等比数列{an}的公比为q, 则q≠0, a2= = , a4=a3q=2q所以 + 2q= , 解得
qqq31
q1= , q2= 3, 3
11n－118223－n
当q1=, a1=18.所以 an=18×()=n－1 = 2×3. 当q=3时, a1= , 所以an= ×3n－
333991=2×3
n－3
.
4．（安徽卷）在等差数列?an?中，a1?1，前n项和Sn满足条件
求数列?an?的通项公式； 解：设等差数列?an?的公差为d,由
S2n4n?2?,n?1,2,Snn?1，
S2n4n?2a?a2得：1??3，所以a2?2，即
a1Snn?1
an?nd?a1?2n2(a?nd?a)2(a?n?1)4n?2S2nnn12＝，???d?a2?a1?1，又
a?aan?1n?1Snan?a1n1?n2所以an?n。
5．（辽宁卷）已知等差数列?an?的前n项和为Sn?pn2?2a?q(p,q?R),n?N求q的值； 解法一：当n?1时，a1?S1?p?2?q,
当n?2时,an?Sn?Sn?1?pn2?2n?q?p(n?1)2?2(n?1)?q?2pn?p?2.
?an?是等差数列,?p?2?q?2p?p?2,?q?0············4分
解法二：当n?1时,a1?S1?p?2?q,
当n?2时,an?Sn?Sn?1?pn2?2n?q?p(n?1)2?2(n?1)?q?2pm?p?2. 当n?3时,a1?an?1?2pn?p?2?[2p(n?1)?p?2]?2p.
a2?p?2?q?2p?3p?2?q.又a2?2p?2?p?2?3p?2,所以3p?2?q?3p?2,
得q?0··4分
6．（全国卷I）设数列?an?的前n项的和Sn?通项an；
41412n+12
解: 由 Sn=an－×2+, n=1,2,3，? , ① 得 a1=S1= a1－×4+ 所以a1=2.
3333334141n2
再由①有 Sn－1=an－1－×2+, n=2,3，4,?将①和②相减得: an=Sn－Sn－1= (an－an－1)－×33333(2－2),n=2,3, ?整理得: an+2=4(an－1+2
n
n+1
n
n
n－1
412an??2n?1?，n?1,2,3,333求首项a1与
),n=2,3, ? , 因而数列{ an+2}是首项为
n－1
n
a1+2=4,公比为4的等比数列,即 : an+2=4×4n=1,2,3, ?,
= 4, n=1,2,3, ?, 因而an=4－2,
nnn
7.（福建卷）已知数列｛an｝满足a1=1,an?1=2an+1(n∈N)求数列｛an｝的通项公式； 解析：本小题主要考查数列、不等式等基本知识，考查化归的数学思想方法，考查综合解题能力。 解：
?an?1?2an?1(n?N*),?an?1?1?2(an?1),??an?1?是以a1?1?2为首项，2为
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