2020年全国数学联赛（四川预赛）试题 

2020年全国数学联赛(四川预赛)试题及详答

一、填空题：本题共8小题，每题8分，共64分。

1.设△ABC的外接圆的圆心为O. 且3OA?4OB?5OC?0， 则∠C的大小是 。

2正四面体的4个表面上分别写有数字1，2，3, 4,将4个这样的密度均匀的正四面体同时投掷于桌面上，与桌面接触的4个面上的4个数的和能被4整除的概率是 。

8.设函数f?x??2x2?2x?41?2x2?2x?4(x∈ R)，则f(x)的最大值λμ是 。

4.在平面直角坐标系中，A(1，2). B(3，0)， 点P为圆(x-3)2+(y-2)2=1上任意一点，设OP??OA??OB(λ,μ∈R)，则11λ +9μ的最小值是____.

5.数列{an}满足: a0=6,an?1??an??1(其中[an]和{an}分别表示实数?an?a.的整数部分与小数部分)。则a2020 = 。 6.已知正实数xy满足:是 。

7.设复数:z=a+bi(a,b∈Z), 满足:z3=2+11i.则a+b= 。 8.用[x]表示不超过实数x的最大整数，若数列{an}满足:

an?(2?3)2(n∈N*)，则a2020的末尾两位数字是 。

n11??1，则x+y的最小值x?3y2x?y??

二、解答题: 本大题共3小题，满分56分，解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤。

9. (本题满分16 分)过点P(0,1)作一直线l, l与抛物线y=x2交于A、B两不同点，过点A、B分别作抛物线y=x2的切线，两切线交于点Q.求点Q到直线AB的距离的最小值。

10. (本题满分20分)设λ为正实数，对任意两两不等的正实数a、b、c.都有:

a3?b?c?2?b3?c?a?2?c3?a?b?2???a?b?c?, 求λ的最大值。

11 (本题满分20分)设m是给定的正整数.求证:对任意给定的正整数n(n≥2),都存在集合A={a1,a2,…,an }?N*,使得对任意正整数k（1≤k

P(A)≤n）,都有akm?，其中P（A）表示集合A的元素之积。

ak?