概率论与数理统计作业及解答

(3) 由二维变量(X,Y)的联合分布列关于两坐标轴对称得E(XY)??xi?yjpi,j?0,

ijCov(X,Y)?0.

DXDY5. 设随机变量X服从参数为2的泊松分布P(2)?随机变量Y服从区间(0,6)上的均匀分

1.记Z?X?2Y,求EZ,DZ. 布U(0,6),且X,Y的相关系数?X,Y?60?6(1) EX?2,EY??3,EZ?E(X?2Y)?EX?2EY?2?2?3??4.

2(6?0)2Cov(X,Y)1?,得Cov(X,Y)?1, ?3.由?X,Y?(2) DX?2,DY?12DXDY6由随机变量和的方差公式D(X?Y)?DX?DY?2Cov(X,Y)得

Cov(X,Y)?E(XY)?EXEY?0,因此?X,Y?DZ?D(X?2Y)?DX?D(?2Y)?2Cov(X,?2Y)?DX?(?2)2DY?4Cov(X,Y)?10.

第十一次作业

★1. 试用切比雪夫不等式估计下一事件概率至少有多大? 掷1000次均匀硬币? 出现正面的次数在400到600次之间?

出现正面的次数X~B(n?1000,p?0.5), EX?np?1000?0.5?500,DX?npq?1000?0.5?0.5?250,

应用切比雪夫不等式?有

DX39P(400?X?600)?P(|X?500|?100)?1??. 2100402. 若每次射击目标命中的概率为? 不断地对靶进行射击? 求在500次射击中? 击中目标的次数在区间(49? 55)内的概率?

击中目标的次数X~B(n?500,p?0.1),

EX?np?500?0.1?50,DX?npq?500?0.1?0.9?45.

根据中心极限定理,X近似服从正态分布N(EX?50,DX?45).

?49?50X?5055?50?P(49?X?55)?P????

4545??45?5??5??55?50??49?50???????????1 ????????????45??45??3??15???(0.74)??(0.15)?1?0.7704?0.5596?1?0.33.

★3. 计算器在进行加法时? 将每个加数舍入最靠近它的整数.设所有舍入误差是独立的且在(?? 上服从均匀分布? (1)若将1500个数相加? 问误差总和的绝对值超过15的概率是多少？(2)最多可有几个数相加使得误差总和的绝对值小于10的概率不小于?

1(1) 误差变量Xi,i?1,2,???.独立同均匀分布X:U(?0.5,0.5),EX?0,DX?.由独立变

121500?1500?1500量方差的可加性D??Xi???125,?Xi近似:N(0,125).

i?1?i?1?12?1535??1500??11500?X|??P?|?Xi|?15??P?|? ?i5125???i?1??125i?1??35??2?2???5???2?2?(1.34)?2?2?0.9099?0.1802.

????3?123??n??12n?(2) P?|?Xi|?10??P?|Xi|??2??2??2?1?0.90, ????nnnni?1???i?1??????3?3122?1.645,n???2?0.95,?4.4345. ?2?n?n1.645??因此?最多可有4个数相加?误差总和的绝对值小于10的概率不小于?

★4. 一个系统由n个相互独立的部件所组成? 每个部件的可靠性(即部件正常工作的概率)为? 至少有80%的部件正常工作才能使整个系统正常运行? 问n至少为多大才能使系统正常运行的可靠性不低于?

正常工作的部件数X~B(n,p),其中p?0.9.EX?np?0.9n,DX?npq?0.09n.

?X?EX0.8n?EX?n?0.8n?0.9nn????????0.95, P(X?0.8n)?P?????DX???3?DXn?0.9?0.1??3?n?1.645,n?24.354.因此n至少取25. 3

★5. 有一大批电子元件装箱运往外地? 正品率为? 为保证以的概率使箱内正品数多于1000只? 问箱内至少要装多少只元件？

正品数X~B(n,p),其中p?0.8.EX?np?0.8n,DX?npq?0.16n.

0.8n?1000??X?EX1000?EX?0.8n?1000?P(X?1000)?P??????????0.95,

DX0.4n??DX?0.4n?0.8n?1000?1.645,0.8n?0.658n?1000?0. 0.4n解得n?1637.65,因此n至少取1638.

★.贝努利分布的正态近似.投掷一枚均匀硬币40次出现正面次数X?20的概率. 正面次数X:B(n?40,p?1/2),EX?np?40?0.5?20,DX?npq?40?0.5?0.5?10. 离散值X?20近似为连续分组区间19.5?X?20.5,

??P(X?20)BP(19.5?X?20.5)?P?X?20?0.5?0.16?

10?10??2(?(0.16)?0.5)?2?(0.5636?0.5)?0.1272. 第十二次作业

★1. 设X1? X2? ???? X10为来自N(0? 0?3)的一个样本? 求概率P{?Xi2?1.44}?

2

i?110X1标准化变量i:N(0,1),i?1,2,...,10.由卡方分布的定义??2?0.30.32?Xi?1102i~?2(10).

11021.44?102??2?P??Xi?1.44??P??(10)?X??16??0.1, 2?i20.3i?10.3?i?1???2(10)?15.9872. 略大?卡方分布上侧分位数?0.1★2. 设X1? X2? X3? X4? X5是来自正态总体X~(0? 1)容量为5的样本? 试求常数c? 使得统计量 c(X1?X2)X?X?X232425服从t分布? 并求其自由度?

X1?X2:N(0,1),由卡方2由独立正态分布的可加性?X1?X2:N(0,2),标准化变量U?222分布的定义??2?X3?X4?X5~?2(3),U与?2独立?

由t分布的定义?T?U?(3)/32??62222(X3?X4?X5)/3(X1?X2)/2X1?X22X3?2X4?2X5:t(3),

因此c?6,自由度为3.

2★3? 设X1,X2,L,Xn为来自N(?1? ?2)的样本?

1Y1,Y2,L,Yn2为来自N(?2? ?2)的样本? 且两样本

? 试证明E(Sp2)??2.

相互独立? 证 由

S,S2122分别为两个样本方差?

2(n1?1)S12?(n2?1)S2S?n1?n2?22p(n1?1)S12?2?(n1?1)S12?222E??E?(n?1)?n?1,ES??. ?1112???~?2(n1?1),及E?2(n1?1)?n1?1得

????2类似地ES2??2.

2?(n1?1)S12?(n2?1)S2?(n1?1)(n2?1)22?ES?ES2??2. ?E??1n1?n2?2n1?n2?2??n1?n2?2★4? 设X1,...,Xn为总体N(?,?2)的简单样本?样本均值和样本方差依次为X,S2.求满足

2ESp下式的k值?P(X???kS)?0.95.

X??:t(n?1), S/n??X??S??P?T???t0.05(n?1)??P?X???t0.05(n?1)??0.95.

S/nn????t(n?1). 因此k??0.05n☆.设正态总体N(?,?2)的容量为n?12的简单样本为X1,...,X12?样本均值和样本方差

统计量T?依次为X,S2.求满足下式的k值?P(X???kS)?0.95. 正态总体样本方差未知?统计量T?X??:t(n?1),n?12. S/n

??X??S??P?T???t0.05(n?1)??P?X???t0.05(n?1)??0.95.

S/nn????t(n?1)t(11)1.796k??0.05??0.05????0.519.

n1212

★5? 设X1? X2? ???? Xn? Xn?1为来自N(?? ?)的样本?

2

1n记X??Xini?1?

1nS?(Xi?X)2? ?n?1i?12

证明?

T?nXn?1?X?~t(n?1)? n?1S

n2??2?1n证 由独立正态分布的可加性??Xi:N(n?,n?),X??Xi:N??,?,Xn?1及S2相

ni?1n?i?1?nXn?1?X:N(0,1), 互独立?Xn?1?X:N0,n?1?2和S2独立?标准化变量U?n?1?n????2(n?1)S2?2~?2(n?1),?2(n?1)/n?1?S/?,由t分布的定义?

nXn?1?X(n?1)?nXn?1?X:t(n?1). ?S/?(n?1)ST?U?(n?1)/n?12?

第十三次作业

?2(??x),0?x??,?★1? 设总体的密度函数为f(x;?)???2?求参数?的矩估计?

??0,其他，?x22x3?2(??x)?dx???,??3EX, 总体期望EX??xf(x;?)dx??x???2200???3??03??X,得?矩估计为???3X. 用样本均值X估计（或替换）总体期望EX即EX?????(??1)x??1(1?x),0?x?1★2? 设总体的密度函数为f(x;?)??? 求参数? 的矩估计?

其他?0,总体期望

EX??xf(x;?)dx??x?(??1)x??1(1?x)dx???(??1)x?(1?x)dx

000111?(??1)??2??????x??1?x??.

??2??2??02EX??X,得? 矩估计为解得??,用样本均值X估计（或替换）总体期望EX即EX1?EX2X???.

1?X1?3? 设总体的密度函数为f(x;?)?e?,???x???? 求参数? 的最大似然估计?

2?|x|1?1n?似然函数L(?)??f(xi;?)?nnexp???|xi|?,

2???i?1?i?11n取对数得对数似然函数lnL(?)??nln2?nln???|xi|,

?i?1?lnL(?)n1n???2?|xi|?0, 令

????i?11n1n?L??|xi|. 解得?的最大似然估计为?ni?1?x?x2??4? 设总体的密度函数为f(x;?)???2e,?0,?n2x?0? 求参数? 的最大似然估计? x?0?1n2?似然函数L(?)??f(xi;?)?exp??2?xi?,

???i?1?i?1n1n2取对数得对数似然函数lnL(?)??lnxi?2nln??2?xi,

?i?1i?1?lnL(?)2n2n2????x?0, 令

????3i?1ii?12n?xni1n2?解得?的最大似然估计为?L??xi.

ni?1★5? 设总体X的均值和方差分别为?与? 2? X 1? X 2? X3是总体的一个样本, 试验证统计量

?1? (1)?111111311?2?X1?X2?X3; (3)??3?X1?X2?X3? X1?X2?X3; (2)?442333882

均为? 的无偏估计量, 并比较其有效性? EX1?EX2?EX3?EX??.

11?111?1?1?E?X1?X2?X3??EX1?EX2?EX3??. (1)E?42?442?411?111?1?1?E?X1?X2?X3??EX1?EX2?EX3??. (2)E?33?333?311?311?3?1?E?X1?X2?X3??EX1?EX2?EX3??. (3)E?82?882?8?1,??2,??3均为?的无偏估计量? 因此?由独立变量方差的可加性

11??111?3?1?1?D?X1?X2?X3???2?2?2?DX?DX, D?42??442?8?411??111?1?1?2?D?X1?X2?X3???2?2?2?DX?DX, D?33??333?3?311??3211?13?3?3?D?X1?X2?X3???2?2?2?DX?DX, D?82??882?32?8?2?D??1?D??3. D??1,??2,??3中??2最有效,??1比??3有效? 因此无偏估计量?

★7. 设??2为? 2的无偏估计, 且D(??)?0, 试证??不是? 的无偏估计? 反之, 若??为? 的无 则??2也不是? 2的无偏估计?

?2??2,D???E??2?E2????2?E2???0,E2????2,E????,得??不是? 的无偏估计证(1) E?偏估计,

?)?0, D(?