第三章 随机过程作业

第三章 随机过程

A简答题：

3-1 写出一维随机变量函数的均值、二维随机变量函数的联合概率密度（雅克比行列式）的定义式。 3-2 写出广义平稳（即宽平稳）随机过程的判断条件，写出各态历经随机过程的判断条件。

3-3 平稳随机过程的自相关函数有哪些性质？功率谱密度有哪些性质？自相关函数与功率谱密度之间有什么关系？

3-4 高斯过程主要有哪些性质?

3-5 随机过程通过线性系统时，输出与输入功率谱密度之间的关系如何？ 3-6 写出窄带随机过程的两种表达式。

3-7 窄带高斯过程的同相分量和正交分量的统计特性如何？

3-8 窄带高斯过程的包络、正弦波加窄带高斯噪声的合成包络分别服从什么分布？

3-9 写出高斯白噪声的功率谱密度和自相关函数的表达式，并分别解释“高斯”及“白”的含义。 3-10 写出带限高斯白噪声功率的计算式。 B计算题： 一、补充习题

3-1 设y(t)?x(t)?cos(2?fct??)，其中x(t)与?统计独立，x(t)为0均值的平稳随机过程，自相关函数与功率谱密度分别为：Rx(?),Px(?)。

①若?在（0，2π）均匀分布，求y(t)的均值，自相关函数和功率谱密度。 ②若?为常数，求y(t)的均值，自相关函数和功率谱密度。

3-2 已知n(t)是均值为0的白噪声，其双边功率谱密度为：P双(?)?N0，通过下图(a)所示的相干解调2器。图中窄带滤波器（中心频率为?c）和低通滤波器的传递函数H1(?)及H2(?)示于图(b)，图(c)。

信道 n(t) H1(?) ni(t) ?cos?ct 图(a) np(t) H2(?)n0(t) 1

H1(?) A (?m???c) H2(?) A 2?m? ??c0 ?c? ??m0 ?m图(b)窄带滤波器传输函数 试求：①图中ni(t)（窄带噪声）、np(t)及n0(t)的噪声功率谱。 ②给出n0(t)的噪声自相关函数及其噪声功率值。

图(c).低通传输函数 23-3 设ni(t)为窄带高斯平稳随机过程，其均值为0，方差为?n，信号[Acos?ct?ni(t)]经过下图所示电

路后输出为y(t)，y(t)?u(t)?v(t)，其中u(t)是与Acos?ct对应的函数，v(t)是与ni(t)对应的输出。假设nc(t)及ns(t)的带宽等于低通滤波器的通频带。 求u(t)和v(t)的平均功率之比。

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Acos?ct?ni(t)?LPF y(t)?u(t)?v(t)cos?ct

二、课后习题

3-1．设

X是a?0,??1的高斯随机变量，试确定随机变量Y?cX?d的概率密度函数

f(y),

其中c,d均为常数。

3-3．设随机过程Y(t)2?X1cos?0t?X2sin?0t,若X1与X2是彼此独立且均值为0、方差

为?的高斯随机变量，试求：

（1）E[Y(t)]、E[Y2(t)]

f(y)；

（2）Y(t)的一维分布密度函数（3）R(t1,t2)和B(t1,t2)。

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3-7．一个均值为a，自相关函数为RX(?)的平稳随机过程

X(t)通过一个线性系统后的输出过程为

Y(t)?X(t)?X(t?T) (T为延迟时间)

（1）试画出该线性系统的框图；

（2）试求Y(t)的自相关函数和功率谱密度。

3-8. 一个中心频率为

fc、带宽为B的理想带通滤波器如图3-4所示。假设输入是均值为零、功率谱密度

为n02的高斯白噪声，试求：

H(f)BB?fcO图3-4

fc

（1）滤波器输出噪声的自相关函数； （2）滤波器输出噪声的平均功率； （3）输出噪声的一维概率密度函数。 3-14．

X(t)是功率谱密度为Px(f)的平稳随机过程，该过程通过图3-8所示的系统。

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X(t) dY(t) 相加 dt 延时T

图3-8

（1）输出过程Y(t)是否平稳？ （2）求Y(t)的功率谱密度。

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