第2课时 三角函数的图象与性质(二)
三角函数的周期性与奇偶性(师生共研)
π?2? (1)函数f(x)＝2cos?x－?－1是( ) 4??A．最小正周期为π的奇函数 B．最小正周期为π的偶函数 π
C．最小正周期为的奇函数
2π
D．最小正周期为的偶函数
2
(2)(2020·湖北宜昌联考)已知函数y＝2sin(ωx＋θ)(0＜θ＜π)为偶函数，其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，则( )
π
A．ω＝2，θ＝
21π
C．ω＝，θ＝
24
1π
B．ω＝，θ＝
22π
D．ω＝2，θ＝
4
π?2?【解析】 (1)因为f(x)＝2cos?x－?－1 4??π???π???＝cos?2?x－??＝cos?2x－?＝sin 2x.
4??2????2π
所以T＝＝π，f(x)＝sin 2x是奇函数．
2故函数f(x)是最小正周期为π的奇函数．
(2)因为函数y＝2sin(ωx＋θ)的最大值为2，且其图象与直线y＝2的某两个交点的横坐标分别为x1，x2，|x2－x1|的最小值为π，所以函数y＝2sin(ωx＋θ)的最小正周期是π.
由
2π
＝π得ω＝2.
ωπ
因为函数y＝2sin(ωx＋θ)为偶函数，所以θ＝＋kπ，k∈Z.
2π
又0＜θ＜π，所以θ＝，故选A.
2【答案】 (1)A (2)A
(1)奇偶性的判断方法：三角函数中奇函数一般可化为y＝Asin ωx或y＝Atan ωx的
1
形式，而偶函数一般可化为y＝Acos ωx＋b的形式．
(2)周期的计算方法：利用函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω>0)，y＝Acos(ωx＋φ)(ω＞0)2ππ
的最小正周期为，函数y＝Atan(ωx＋φ)(ω＞0)的最小正周期为求解．
ωω
1．下列函数中，最小正周期为π的奇函数是( ) π??A．y＝sin?2x＋? 2??C．y＝sin 2x＋cos 2x
π??B．y＝cos?2x＋?
2??D．y＝sin x＋cos x
π?π???解析：选B.y＝sin?2x＋?＝cos 2x是偶函数，不符合题意；y＝cos?2x＋?＝－sin
2?2???2x是T＝π的奇函数，符合题意；同理C，D均不是奇函数．
π??2．(2020·石家庄市质量检测)设函数f(x)＝sin?ωx＋φ－?
4??
?ω＞0，|φ|＜π?的最小正周期为π，且f(－x)＝f(x)，则( )
?2????π?A．f(x)在?0，?上单调递增
2???ππ?B．f(x)在?－，?上单调递减 ?22??π?C．f(x)在?0，?上单调递减
2???ππ?D．f(x)在?－，?上单调递增 ?22?
π??解析：选A.f(x)＝sin?ωx＋φ－?，因为f(x)的最小正周期为π，所以ω＝2，所4??π?ππ?以f(x)＝sin?2x＋φ－?.f(－x)＝f(x)，即f(x)为偶函数，所以φ－＝kπ＋(k∈Z)，
4?42?3πππ
所以φ＝kπ＋(k∈Z)．因为|φ|＜，所以φ＝－，所以f(x)＝－cos 2x，所以f(x)
424
?π??π?在?0，?上单调递增，在?－，0?上单调递减，故选A.
2???2?
三角函数的对称性(师生共研)
π?π? 函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)?A＞0，ω＞0，|φ|＜?的图象关于直线x＝对
2?3?
称，它的最小正周期为π，则函数f(x)图象的一个对称中心是( )
2
A.?C.?
?π，1?
??3??5π，0?
??12?
ωB.?
?π，0?
??12?
?π?D．?－，0? ?12?
2π
【解析】 由题意可得＝π，所以ω＝2， 可得f(x)＝Asin(2x＋φ)， 再由函数图象关于直线x＝
π
对称， 3
π?π??2π?故f??＝Asin?＋φ?＝±A，故可取φ＝－. 6?3??3?π?π?故函数f(x)＝Asin?2x－?，令2x－＝kπ，k∈Z，
6?6?可得x＝
kππ
2＋
?kππ?，k∈Z，故函数的对称中心为?＋，0?，k∈Z.
12?212?
?π，0?.
??12?
所以函数f(x)图象的一个对称中心是?【答案】 B
三角函数图象的对称轴和 对称中心的求解思路和方法
(1)思路：函数y＝Asin(ωx＋φ)图象的对称轴和对称中心可结合y＝sin x图象的对称轴和对称中心求解．
(2)方法：利用整体代换的方法求解，令ωx＋φ＝kπ＋
π
，k∈Z，解得x＝2
（2k＋1）π－2φkπ－φ，k∈Z，即对称轴方程；令ωx＋φ＝kπ，k∈Z，解得x＝，k2ωω∈Z，即对称中心的横坐标(纵坐标为0)．对于y＝Acos(ωx＋φ)，y＝Atan(ωx＋φ)，可以利用类似方法求解(注意y＝Atan(ωx＋φ)的图象无对称轴)．
π3π
1．(2019·高考全国卷Ⅱ)若x1＝，x2＝是函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)两个相邻的
44极值点，则ω＝( )
A．2 C．1
3
B. 21D． 2
3
2π3ππ
解析：选A.依题意得函数f(x)的最小正周期T＝＝2×(－)＝π，解得ω＝2，
ω44选A.
2．已知函数f(x)＝|sin x||cos x|，则下列说法错误的是( ) A．f(x)的图象关于直线x＝π
B．f(x)的周期为
2
C．(π，0)是f(x)的一个对称中心
π
对称 2
?ππ?D．f(x)在区间?，?上单调递减 ?42?
1?π?1
解析：选A.f(x)＝|sin x||cos x|＝|sin xcos x|＝·|sin 2x|，则f??＝|sin π|
2?2?2π12ππ
＝0，则f(x)的图象不关于直线x＝对称，故A错误；函数周期T＝×＝，故B正
2222ππ?1?确；f(π)＝|sin 2π|＝0，则(π，0)是f(x)的一个对称中心，故C正确；当x∈?，?
2?42?
?π?时，2x∈?，π?，此时sin 2x＞0，且sin 2x为减函数，故D正确． ?2?
三角函数的图象与性质的综合问题(师生共研)
已知函数f(x)＝sin(2π－x)·sin?
?3π－x?－3cos2x＋3.
?
?2?
(1)求f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程；
?7π?(2)当x∈?0，?时，求f(x)的最小值和最大值．
12??
【解】 (1)由题意，得f(x)＝(－sin x)(－cos x)－3cosx＋3＝sin xcos x－3π?131333?2x－cosx＋3＝sin 2x－(cos 2x＋1)＋3＝sin 2x－cos 2x＋＝sin?＋， ?3?222222?
2
2
所以f(x)的最小正周期T＝
2π
＝π； 2
ππkπ5π
令2x－＝kπ＋(k∈Z)，则x＝＋(k∈Z)，
32212故所求图象的对称轴方程为x＝
kπ5π
2＋12
(k∈Z)．
7πππ5π
(2)当0≤x≤时，－≤2x－≤，
12336
4
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