专题复习检测
A卷
1．已知向量a＝(2,6)，b＝(－1，λ)，若a∥b，则λ＝( ) A．3 1C．
3【答案】B
2．已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是( ) 1
A．x＝－
2C．x＝5 【答案】D
→→
3．在四边形ABCD中，AC＝(1,2)，BD＝(－4,2)，则该四边形的面积为( ) A．5 C．5 【答案】C
4．(2019年山东模拟)已知|a|＝1，|b|＝2，且a⊥(a－b)，则向量a在b方向上的投影为( ) A．1 1C．
2【答案】D
【解析】由a⊥(a－b)，可得a·(a－b)＝a2－a·b＝0，所以a·b＝a2＝1.所以向量a在b方向2a·b1
上的投影为|a|cos 〈a，b〉＝＝＝.故选D．
|b|22
→→
5．(2019年湖南怀化模拟)在△ABC中，D为BC上一点，E是AD的中点，若BD＝λDC，→1→→
CE＝AB＋μAC，则λ＋μ＝( )
3
1A．
37C．
6【答案】B
1→λ→→→→→→→→
【解析】如图所示，由BD＝λDC，可得AD－AB＝λ(AC－AD)，则AD＝AB＋AC.
1＋λ1＋λ1→－λ－2→→→→→1→→1→
又E是AD的中点，所以CE＝CA＋AE＝－AC＋AD＝AB＋AC.又CE＝AB＋
232?1＋λ?2?1＋λ?
1
B．－
37D．－
6B．2 D．
2 2B．25 D．10 B．x＝－1 D．x＝0 B．－3 1D．－
3
11－λ－2151→
μAC，AB，AC不共线，所以＝，＝μ，解得λ＝，μ＝－，则λ＋μ＝－.故选
2632?1＋λ?32?1＋λ?B．
6．(2017年新课标Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________. 【答案】23
【解析】|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋4|b|2＝4＋4×2×1×cos 60°＋4＝12，∴|a＋2b|＝12＝23. 7．(2019年新课标Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－5b，则cos 〈a，c〉＝________.
2
【答案】
3
【解析】a·c＝a·(2a－5b)＝2a2－5a·b＝2，c2＝(2a－5b)2＝4a2－45a·b＋5b2＝9，则 a·c2|c|＝3.所以cos 〈a，c〉＝＝. |a||c|3
→→
8．(2018年内蒙古呼和浩特一模)在△ABC中，AB＝3，BC＝2AC＝2，满足|BA－tBC|≤3→
|AC|的实数t的取值范围是________．
30，? 【答案】??2?BA2＋BC2－AC23＋4－13→→→→
【解析】由题意，得AC＝1，cos〈BA，BC〉＝＝＝.由|BA－tBC
2BA·BC23×223→→→→→→→→
|≤3|AC|，得BA2－2t|BA||BC|cos〈BA，BC〉＋t2BC2≤3AC2，即3－2t×23×＋4t2≤3，解
23
得0≤t≤. 2
9．已知|a|＝4，|b|＝8，a与b的夹角是120°. (1)求|a＋b|的值；
(2)当(a＋2b)⊥(ka－b)时，求k的值．
1
－?＝－16， 【解析】(1)由已知，得a·b＝4×8×??2?∵|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝16＋2×(－16)＋64＝48， ∴|a＋b|＝43.
(2)∵(a＋2b)⊥(ka－b)，∴(a＋2b)·(ka－b)＝0. ∴ka2＋(2k－1)a·b－2b2＝0，
即16k－16(2k－1)－2×64＝0，解得k＝－7.
10．已知向量a＝(cos x,2cos x)，b＝(2cos x，sin x)，函数f(x)＝a·b.
π
(1)把函数f(x)的图象向右平移个单位长度得到函数g(x)的图象，求g(x)的单调递增区间；
6(2)当a≠0，a与b共线时，求f(x)的值． 【解析】(1)∵f(x)＝a·b＝2cos2x＋2sin xcos x π
2x＋?＋1， ＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin?4??ππ
x－?＋?＋1 ∴g(x)＝2sin?2???6?4?π
2x－?＋1. ＝2sin?12??
πππ
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
21225π7π
得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
2424
5π7π
－＋kπ，＋kπ?，k∈Z. ∴g(x)的单调递增区间为?24?24?(2)∵a≠0，a与b共线，∴cos x≠0.
∴sin xcos x－4cos2x＝0.∴sin x＝4cos x，tan x＝4.
2cos2x＋2sin xcos x2＋2tan x10
则f(x)＝2cos2x＋2sin xcos x＝＝2＝.
sin2x＋cos2xtanx＋117
B卷
11．(2017年新课标Ⅱ)已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则→→→
PA·(PB＋PC)的最小值是( )
A．－2 4
C．－
3【答案】B
【解析】如图，以BC所在直线为x轴，BC的垂直平分线DA所在直线为y轴，D为坐→
标原点建立平面直角坐标系，则A(0，3)，B(－1,0)，C(1,0)．设P(x，y)，则PA＝(－x，3－→→→→→→→y)，PB＝(－1－x，－y)，PC＝(1－x，－y)，∴PB＋PC＝(－2x，－2y)，PA·(PB＋PC)＝2x2－
3
B．－
2D．－1
2y(3－y)＝2x2＋2?y－
?
333?233→→→
－≥－，当x＝0，y＝，即P?0，?时，PA·(PB＋PC)有最小
222?22??
3
值－.
2
→→5
12．(2018年四川成都模拟)已知A，B是圆O：x2＋y2＝4上的两个动点，|AB|＝2，OC＝
3→2→→→OA－OB.若M是线段AB的中点，则OC·OM的值为( )
3
A．3 C．－23 【答案】A
→→→?x1＋x2y1＋y2?
【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则OA＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)，OM＝??，
?2，2?5252→→5→2→→
x1－x2，y1－y2?.由|AB|＝2，得(x2－x1)2＋(y2AB＝(x2－x1，y2－y1)．∴OC＝OA－OB＝?333??333→→22－y1)2＝4.① 又A，B在圆O上，∴x2x2∴OC·OM1＋y1＝4，2＋y2＝4.② 联立①②得x1x2＋y1y2＝2，5252?x1＋x2y1＋y2?522122151
x1－x2，y1－y2?·＝?，化简得(x??1＋y1)－(x2＋y2)＋(x1x2＋y1y2)＝×4－，333??2?3632632?1
×4＋×2＝3.
2
→
13．(2019年浙江)已知正方形ABCD的边长为1，当每个λi(i＝1,2,3,4,5,6)取遍±1时，|λ1AB→→→→→
＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD|的最小值是________，最大值是________．
【答案】0 25
→→→→→→→→
【解析】由正方形ABCD的边长为1，可得AB＋AD＝AC，BD＝AD－AB，AB·AD＝0， →→→→→→→→→→→→∴|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋λ5AC＋λ6BD|＝|λ1AB＋λ2AD－λ3AB－λ4AD＋λ5AB＋λ5AD＋→→→→→→→→λ6AD－λ6AB|＝|(λ1－λ3＋λ5－λ6)·AB＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)AD|.要使|λ1AB＋λ2BC＋λ3CD＋λ4DA＋→→
λ5AC＋λ6BD|最小，只需要|λ1－λ3＋λ5－λ6|＝|λ2－λ4＋λ5＋λ6|＝0，此时只需取λ1＝1，λ2＝－1，→→
λ3＝1，λ4＝1，λ5＝1，λ6＝1，此时所求最小值为0.又|(λ1－λ3＋λ5－λ6)AB＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)·AD|2＝(λ1－λ3＋λ5－λ6)2＋(λ2－λ4＋λ5＋λ6)2≤(|λ1|＋|λ3|＋|λ5－λ6|)2＋(|λ2|＋|λ4|＋|λ5＋λ6|)2＝(2＋|λ5－
B．23 D．－3
λ6|)2＋(2＋|λ5＋λ6|)2＝8＋4(|λ5－λ6|＋|λ5＋λ6|)＋(λ5－λ6)2＋(λ5＋λ6)2＝8＋4
2
＋2(λ25＋λ6)＝12＋4
?|λ5－λ6|＋|λ5＋λ6|?2
222
2?λ25＋λ6?＋2|λ5－λ6|＝20，当且仅当λ1－λ3，λ5－λ6均非负或均非正，并且
λ2－λ4，λ5＋λ6均非负或均非正，可取λ1＝1，λ2＝1，λ3＝－1，λ4＝－1，λ5＝1，λ6＝1，则所求最大值为20＝25.
14．(2019年四川眉山模拟)已知△ABC的角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，p＝(b－2，a－2)．
(1)若m∥n，求证：△ABC为等腰三角形；
π
(2)若m⊥p，边长c＝2，角C＝，求△ABC的面积．
3
【解析】(1)证明：因为m＝(a，b)，n＝(sin B，sin A)，m∥n， 所以asin A＝bsin B.
结合正弦定理，可得a2＝b2，即a＝b， 所以△ABC为等腰三角形．
(2)因为m＝(a，b)，p＝(b－2，a－2)，m⊥p， 所以m·p＝a(b－2)＋b(a－2)＝0，则a＋b＝ab.
π由余弦定理得c2＝a2＋b2－2abcos C，其中c＝2，C＝，
3所以a2＋b2－ab＝4，则(a＋b)2－3ab－4＝0. 所以(ab)2－3ab－4＝0，解得ab＝4(ab＝－1舍去)． 11π
所以S△ABC＝absin C＝×4×sin＝3. 223
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