最优增长理论

第四章 最优增理论 104 第四章 最优增长理论

通过上一章对索洛模型的讨论可以看到，实物资本积累说明不了人均产出增长的原因，也说明不了国家之间人均收入差异的原因。然而，索洛把造成实际收入差异的其他潜在因素(比如储蓄率、技术进步增长率、资本的外在性等)都作为外在因素，以常数看待。为了研究经济增长的核心问题，必须超出索洛模型的范围，或者说必须对索洛模型加以改进。

从何处着手进行改进呢？对于这个问题，只要注意一下索洛的基本做法——把储蓄率视为不能由模型本身来决定的外在因素，而储蓄率对经济增长有着重要影响，就可看出应该从储蓄的决定问题出发来对索洛模型加以修正。由于产出不是用于消费，就是用于储蓄以增加投资，所以储蓄的决定问题归结为消费的决定问题。本章和下一章将一改索洛的做法，把消费(和储蓄)纳入到增长模型的内在因素中来，让消费(与储蓄)由模型本身决定。

本章要在完全竞争的条件下，从微观的角度分析宏观经济总量的运动，建立经济增长的拉姆齐-卡斯-库普曼模型。该模型与索洛模型相似，比较简单，但其中的消费(与储蓄)由具有无限生命的家庭来决定。家庭持有资本，并向社会提供生产劳动，然后进行消费和储蓄。企业租用家庭持有的资本，雇用家庭提供的劳动，去进行商品的生产和销售活动。该模型由拉姆齐(F. P. Ramsey) 1928年初创驺型，1956年分别得到卡斯(D. Cass)和库普曼(T. C. Koopman)的发展和完善。他们三人都规避了市场的不完全性问题和家庭各异所产生的棘手问题，并把世世代代缔结成一个整体。可以说，该模型是对现实世界的高度抽象，为我们分析问题提供了很好的基点。

由于无限生命假设偏离现实，于1965年便出现了戴蒙德的进一步修正——世代交替增长模型，把无限生命假设改进为假定经济中不断有新家庭加入。这样，经济就表现为一个世代交替的经济，从而使理论模型向现实更靠近一步。关于世代交替理论，将在下一章中介绍。

第一节 一些准备知识

卡斯和库普曼从微观角度分析消费与储蓄行为，运用连续时间贴现率和相对风险规避度量，提出了他们对家庭行为的假设，并在此基础上建立了经济增长模型。为了更好地理解这些假设的意义和拉姆齐—卡斯—库普曼模型的实质，本节对涉及到的一些概念作一解释。

一、现值与贴现

资金的现值(present value)概念是指未来资金的当前价值。比如，一年后的一元钱和当前的一元钱，其价值是不同的。一年后的一元钱价值较低，而当前的一元钱可以存入银行，一年过后便获得多于一元的收入。现值概念就是基于这一常识而得出的。

把未来资金按照它的当前价值计算，就叫做贴现(discount)。然而，要计算未来资金的现值，就需要有一个贴现率。所谓贴现率(discount rate)，是指一项资金在单位时间内所增加的价值与它的当前价值之比。例如，当前100元存入银行一年变成105元，那么一年后的105元就贴现成为当前的100元，其贴现率为5%(?(105?100)100)。一般来说，时间单位通常选取为年，但也可选取为季度、月、周、日等。这种计时方式就是离散时间(discrete time)，相邻时刻之间正是一个时间单位。但时间也可以论时点，没有离得最近的相邻时刻，这种连续计时的方式就是连续时间(continuous time)。在离散时间方式下未来资金的贴现公式比较简单，而在连续时间方式下把未来资金进行贴现就要相对复杂一些。

第四章 最优增理论 105 (一) 简单贴现公式

在离散时间方式下，我们把选定的时间单位叫做期。假定当期有R0元资金投资于某项资产,一期过后将得到R元总收入，则这R元收入的现值为R0元，其贴现率?为：

??R?R0R0

或者说R?R0(1??)，或R0?R/(1??)。

?n一般来说，如果把R0元资金投资于某项资产，n期后可一次得到R元总收入，贴现率为

?，则R?R0(1??)，即R0?R(1??)n，也即贴现率?R(1??)n?nR/R0?1。公式

R0?

称为简单贴现公式，或者称为离散时间贴现公式。显然，对于投资来讲，贴现率就等于投资收益率；对于存款来讲，贴现率等于利率。

如果某项投资的期限为n期，收益率为?，并且n期内每期都有回报，n期以后再无回报。设第k期内得到的回报为Rk元(k?1,2,?,n)，则资金流R1,R2,?,Rn的现值R0为：

nR0??k?1Rk(1??)k

这就是资金流简单贴现公式。

(二) 复杂贴现

在连续时间方式下，用t表示时刻，并用t?0表示当前时刻。假定当前的W0元资金等同于时刻t的W(t)元(0?t??, W(0)?W0)。也就是说，时刻t??t的W(t??t)元等同于时刻t的W(t)元。假定贴现率?在各个时刻都是一样的，即不随时间变化而浮动。按照贴现率的含义，时刻t??t的W(t??t)元贴现成为时刻t的W(t)元(或者说时刻t的W(t)元变成为时刻t??t的W(t??t)元)，其单位时间内资金价值的增加量为[W(t??t)?W(t)]/?t，因而贴现率?应该为：

??[W(t??t)?W(t)]/?tW(t)

这是一个与时刻t和?t无关的常数。于是，令????(t)WW(t)?t?0?，便可得到：

dlnW(t)dtdW(t)/dtW(t)?t

(t)既然?为常数，上式便蕴含着W现成为当前时刻(t?0)的W0，这就是在贴现率?下，时刻t的W元时的贴现公式，通常把它写成如下形式：

(t)?W0eW0?W(t)e??t元贴

此式称为复杂贴现公式，或称为连续时间贴现公式。

对于连续时间资金流来说，即每个时刻t都有一定数量的资金R(t) (这里，t?0)，设贴现率为?，则把这个资金流向当前时刻(t?0)贴现后，它的现值R0??为：

R0??0R(t)e??tdt

此式称为资金流复杂贴现公式，也即连续时间资金流现值公式。

二、风险规避度量

微观经济学告诉我们，消费者效用函数的凹、凸性反映了消费者在不确定的消费环境中对待风险的不同态度。凹的效用函数说明消费者厌恶风险，是风险规避者；凸效用函数表明

第四章 最优增理论 106 消费者喜欢风险，是一个冒险者；线性效用函数则表明了消费者对待风险的中立态度。通常，我们当中大部分人都不喜好冒险，是风险规避者，因而效用函数是凹函数，其一阶导数为正，二阶导数为负，即边际效用效用为正但递减。

对于风险规避者来说，在他(她)计划按照某种无风险的方案进行消费时，要让他(她)改变计划去采取另一种带有风险的消费方案而预期效用还不会提高(当然也要求不会降低)，就必须对他(她)承担风险进行补偿，这部分补偿就称为风险金(Risk Premium)，也称为风险升水，一般用RP表示。严格地讲，风险消费计划的风险金是指该计划的预期消费与一个无风险消费计划的消费之间的差额，其中这个无风险消费计划的效用等于该风险消费计划的预期效用。用RC表示某种带有风险消费计划，EU表示该风险消费计划的预期效用量，EC表示该风险消费的预期消费量。用C表示其效用u(C)等于EU的那个无风险消费计划的消费量，则风险消费计划RC的风险金RP为：RP?EC?C。

风险金RP也是保险费。采取带有风险的行动RC，得到了风险金的补偿，然而消费环境依然不确定。消费者为了彻底排除消费活动中存在的风险隐患，可以购买保险，把风险金交纳给保险公司，确保一个消费量C，虽然它低于预期的消费量，但保证了效用达到预期的水平。可见，按照风险金来确定保险费标准，是一种合理的做法。鉴于这个原因，人们也把风险金称为保险费。

图4-1以赌博为例描绘了风险规避者采取风险消费时的风险金的直观意义。图中，消费者的效用函数为U?u(C)，u?(C)?0，u??(C)?0。横轴C是消费轴，纵轴U是效用轴。起初，消费者准备按照一种没有风险的方案消费C0元商品。现在有一个赌博，让消费者考虑是否参加。如果在赌博中失败，消费者将损失?C1元的消费，使消费下降到C1?C0??C1的较低水平，效用相应地下降到U1?u(C1)；如果取胜，消费者可增加?C2元的消费量，使消费量增加到C2?C0??C2元，效用相应地上升到U2?u(C2)。这个赌博中，负的概率为p，胜的概率为1?p；消费者参加赌博的预期消费为EC?pC1?(1?p)C2，预期效用为EU?pU1?(1?p)U2。效用等于参加赌博的预期效用的消费是C*，即u(C*)?EU。消费者参加赌博的风险金为RP?EC?C*，即支付了保险费RP后可保证达到C*代表的消费水平。显然，如果C*?C0，则扣除保险费后仍可使消费量预期增加，效用水平得到提高，从而消费者会接受赌博；否则，他不会接受赌博。

U U?u(C)

u(C1)?U1

u(C*)?EU

u(C0)

u(C2)?U2

RP C1 C0 C* EC C2 C 图4-1 风险消费活动的风险金

当考虑消费者的风险规避行为时，常常需要对消费者厌恶风险的程度进行测量，这就需要有一种测定风险规避程度的尺度。其实，风险金就预示着风险规避者对风险的厌恶程度的强弱，即预示着风险规避倾向的大小。对于同样的风险消费活动来说，如果消费者甲对承担风险所要求的风险金多于消费者乙，那么消费者甲显然比消费者乙具有更强的风险规避倾向。这种情况反映在效用函数上，消费者甲的效用函数比乙的效用函数更加凹，即甲的边际

第四章 最优增理论 107 效用递减得更加快。按照这个想法，我们就可对不同消费者的风险规避程度进行比较，从而可给出如下的定义：

定义. 用uA表示消费者甲的效用函数，uB表示消费者乙的效用函数。用RPA(X)表示甲从事风险消费活动X的风险金，RPB(X)表示乙从事该风险消费活动X的风险金。

(1)如果对某种风险消费方案X，都有RPA(X)?RPB(X)，我们就说在X处，甲比乙具有更强的局部风险规避倾向。

(2)如果对任何风险消费方案X，都有RPA(X)?RPB(X)，我们就说甲比乙具有更强的全部风险规避倾向。

(一) 绝对风险规避度量

阿罗(K.J. Arrow, 1965)和普拉特(J.W. Pratt, 1964)分别提出了测量消费者风险规避倾向的阿罗-普拉特度量。直观上看，效用函数越凹，消费者的风险规避倾向越强。因此，可以考虑用效用函数的二阶导数来对风险规避的程度加以测量。但是，表达相同偏好的效用函数可以在仿射变换下变出无穷多个。所以，用二阶导数来测量风险规避倾向，会因表示同一偏好的效用函数的不同而发生变化，这显然存在着问题。解决此问题的办法是对这种测量进行标准化处理——用一阶导数去除二阶导数，得到合理的度量。阿罗和普拉特正是用这种办法，给出了他们的风险规避度量——阿罗-普拉特度量：

r(C)??u??(C)u?(C)

r(C)叫做是消费量为C时的绝对风险规避倾向。

p)我们还是以赌博为例来说明阿罗-普拉特度量的意义。设赌博输的概率p和赢的概率(1?都是既定的。

用(x,y)表示以概率p赢得x元，以概率1?p赢得y元的赌博(这里,x和y为任意数值，既可为正，也可为负)。根据前面分析可知，消费者是否接受赌博(x,y)，关键取决于赌博的预期效用EU赌博的效用u(C0)，这里

EU(x,y)?pu(C0?x)?(1?p)u(C0?y)(x,y)是否不低于不参加

y 切线 接受集G(C0) x 边界 图4-2 (绝对)接受集及其边界

用G(C0)表示消费者准备消费C0的情况下可以接受的赌博(x,y)的全体，即

G(C0)??(x,y):pu(C0?x)?(1?p)u(C0?y)?u(C0)?

G(C0)称为消费者在C0处的(绝对)接受集。可以证明，(绝对)接受集是凸集(请读者自己证

pu(C0?x)?(1?p)u(C0?y)?u(C0)明)。接受集的边界由下述方程决定：

根据隐函数存在定理，上述方程确定了y与x之间的一个函数关系式：yx??(x)。显然，当

为0时，y也为0，即?(0)?0。接受集G(C0)的边界在点(0,0)处切线的斜率就是导数

pu?(C0?x)x?0y?0??(0)(如图4-2所示)。根据隐函数求导法则，我们有

??(0)?dydx(0,0)??1?pu?(C0?y)??p1?p

时，才是可以

说明了消

?(x)对于(0,0)附近的微小赌博(?x,?y)来说，只有当?y/?x???(0)??p/(1?p)接受的赌博。因此，接受集G(C0)的边界在点(0,0)处切线的斜率??(0)费者接受较小赌博(即点(0,0)附近的赌博)的可能性大小。

??p/(1?p)现在计算一下接受集的边界在(0,0)处的曲率(即二阶导数)???(0)，办法是在确定?的