一d(x,y)、设证明：显然
为空间
~d(y,x)也是X上的距离。 X上的距离，试证：d(y,x)?1?d(y,x)~~d(x,y)?0,并且d(x,y)?0?d(x,y)?0?x?y。
再者，
~~d(y,x)d(x,y)d(y,x)???d(x,y)；
1?d(y,x)1?d(x,y)最后，由
t1的单调增加性及d(x,y)?d(x,z)?d(z,y)，可得 ?1?1?t1?t~d(x,y)d(x,z)?d(z,y)d(x,z)d(z,y)d(x,y)????1?d(x,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)1?d(x,z)?d(z,y)
?~~d(x,z)d(z,y)??d(x,z)?d(z,y)。
1?d(x,z)1?d(z,y)、设
二
p?1，xn?(?1(n),L,?i(n),L)?lp，n?1,2,??1p，
x?(?1,L,?i,L)?lp，则
n??时，
p??d(xn,x)????i(n)??i??0的充要条件为(1)n??时，?i(n)??i，i?1,2,L?i?1?；
(2)???0，
存在
N?0，使得
i?N?1???i(n)??对任何自然数n成立。
?1p??(n)(n)???必要性证明：由d(x,x)?ni??i??0可知，?i??i，i?1,2,L?i?1?p由
p。
x?(?1,L,?i,L)?lp可知，
???0，存在
N1?0，使得
i?N1?1p?(n)????ii?()p。 ?i?1???p?i?()p2，并且
n?N1时，
2p由此可得，
i?N1?1???i(n)pp????????pp?????i(n)??i?????i????p对n?N1成立。
??i?N1?1??i?N1?1????11p对于
n?1,2,LN1，存在N2?0，
i?N2?1???i(n)??pp。取
N?max?N1,N2?，则
i?N?1???(n)pi??p对任何自然数n成立。
充分性证明：由条件可知，
???0，存在K?0，使得
i?K?1???K(n)pi?()2??ip?p对任何自然数
n成立，并且
i?K?1???p?i?()p。
2由
?(n)i??i可知，存在N?0，使得n?N时，??i?1(n)i??p，并且
d(xn,x)???pi?1?(n)i??ip???i?1K(n)i??i?pi?K?1p???i(n)??ip
???i(n)??ii?1Kp???(n)p1pp1p???(??i)?(??i)??2?p。
i?K?1?i?K?1?三Lp[a,b](p?1)、在极限意义下，
上定义距离：
d(x,y)???bax(t)?y(t)dtp?1p，则在此距离诱导的
xn(t)收敛于x(t)的充要条件为(1)xn(t)依测度收敛于x(t)；(2)?xn(t)?在[a,b]上具有等度绝对连续的积分。
必要性证明：由
?（xn,x)?0，可得???0，?xn(t)?x(t)dt?E，令
pE(xn?x??)?xn?xdt
p??p?m(E(xn?x??)，n?1,2,?x(t)。
由
n??，可得m(E(xn?x??)?0。即xn(t)依测度收敛于
x(t)的积分绝对连续性可知，对任何??0，存在?1?0，使得e?E，me??1时，(?x(t)dt)?ep1p?2。对上述
??0，存在
（?xn(t)?x(t)dt）?N?0，使得n?N时，
E1p1p1pp1p?2，
从而
?xenn(t)dt)?(?xn?xdt)?(?xdt)?(?xn?xdt)?(?xdt)??eeEe1ppppp1pp1p，
即
?xe对于
(t)dt)??p，对
n?N,N?1,?，成立。
（n?1,2,?,N，易知存在?2?0，使e?E，me??2时，
?xn(t)dt??）。
pe取
??min(?1,?2)，则
e?E，me??时，?xn(t)dt)??ep1p，对每个自然数
n成立。
即
?xn(t)?在
[a,b]上具有等度绝对连续的积分。
充分性证明：对任何
??0，令
En(?)?E(xn?x??)，则mEn(?)?0。由此可知，对任何??0，存在N?0，使得
n?N时，mEn(?)??。
令
Fn(?)?E(xn?x??)，则?p(xn,x)?pEn?xn?xdt?pFn?xn?xdt。此时，
p11??pppppxn?xdt??(?xndt)?(?xdt)????EnEn?En?，
Fn?xn?xdt?(b?a)??p。
p
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