（1）将表示为的函数；
（2）根据直方图估计利润不少于57000元的概率. 【答案】（1）
（2）0.7.
【解析】试题分析：（I）由题意先分段写出，当X∈[100，130）时，当X∈[130，150）时，和利润值，最后利用分段函数的形式进行综合即可．
（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150．再由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，利用样本估计总体的方法得出下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值．
解：（I）由题意得，当X∈[100，130）时，T=500X﹣300（130﹣X）=800X﹣39000， 当X∈[130，150]时，T=500×130=65000， ∴T=
．
（II）由（I）知，利润T不少于57000元，当且仅当120≤X≤150． 由直方图知需求量X∈[120，150]的频率为0.7，
所以下一个销售季度的利润T不少于57000元的概率的估计值为0.7． 考点：频率分布直方图． 19. 如图，在四棱锥且
交于点，是
中，
平面
，四边形
是菱形
，
上任意一点.
（1）求证：；
（2）已知二面角值.
【答案】（1）见解析（2）
的余弦值为，若为的中点，求与平面所成角的正弦
【解析】试题分析：（1）线线垂直问题转化为线面问题即可解决，即
，由
且应用）设
与平面
平面
，得
，又分析可知
，
，所以
所成的角为，即
与平面
（2）解法1：（空间向量在立体几何中的所成角为
与平面
的法向量
所
成角，如图所示的空间直角坐标系， 设
则
，
，
平面的一个法向量为（1,0,0），，得到
再由二面角的余弦值为，，解得，
故，，最后的平面角
的平面角
,
,
求得；
解法2：通过构造法作出二面角设DP=t， 作出二面角
由，求出点到平面的距离
试题解析：（1）因为因为四边形又因为
（2）解法1: 连接所以
在
中，
分别以
所在直线为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐
平面
，所以2分 5分
， 1分
为菱形，所以
标系，
设则，
的一个法向量为
（1,0,0）， 设平面
． 6分 的一个法向量为
，
由（1）知，平面
则得，令，得8分
因为二面角解得设∴所以
与平面与平面
或
的余弦值为，所以
10分 ，
，
（舍去），所以
所成的角为．因为
，
所成角的正弦值为． 12分
解法2:
设DP=t， 作出二面角的平面角
由，求出点到平面的距离
．
考点：1、线面垂直和线线垂直的互化；2、空间向量在立体几何中的应用；3、空间想象能力和综合分析能力． 20. 过
是等边三角形，边长为4，两点.
边的中点为，椭圆以
为左、右两焦点，且经
（1）求该椭圆的标准方程；
（2）过点且轴不垂直的直线交椭圆于上. 【答案】（1）
（2）
与
的交点在直线
上.
，可得b,即得椭圆的
与
的交点横坐标为定值，设
，
，
两点，求证：直线
与
的交点在一条定直线
【解析】试题分析：（1）由题意得标准方程；（2）由对称性知需证直线利用点斜式写出直线
与
方程，解方程组得交点横坐标满足，再设
的方程为
，代入化简得
.
，联立直线MN方程与椭圆方程，利用韦达定理代入化简即得
试题解析：解：（1）由题意可知两焦点为
.
（2）①当设
不与轴重合时，
，且
，消去可得
，
设则：：
，
① ②
与
，且
，因此椭圆的方程为
的方程为
联立椭圆与直线，即
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