《圆》章节知识点复习
一、圆的概念
集合形式的概念： 1、 圆可以看作是到定点的距离等于定长的点的集合； 2、圆的外部：可以看作是到定点的距离大于定长的点的集合； 3、圆的内部：可以看作是到定点的距离小于定长的点的集合
轨迹形式的概念： 1、圆：到定点的距离等于定长的点的轨迹就是以定点为圆心，定长为半径的圆； （补充）2、垂直平分线：到线段两端距离相等的点的轨迹是这条线段的垂直平分线（也叫中垂线）； 3、角的平分线：到角两边距离相等的点的轨迹是这个角的平分线；
4、到直线的距离相等的点的轨迹是：平行于这条直线且到这条直线的距离等于定长的两条直线； 5、到两条平行线距离相等的点的轨迹是：平行于这两条平行线且到两条直线距离都相等的一条直线。 二、点与圆的位置关系
1、点在圆内 ? d?r ? 点C在圆内； 2、点在圆上 ? d?r ? 点B在圆上； 3、点在圆外 ? d?r ? 点A在圆外； 三、直线与圆的位置关系
1、直线与圆相离 ? d?r ? 无交点； 2、直线与圆相切 ? d?r ? 有一个交点； 3、直线与圆相交 ? d?r ? 有两个交点；
ArBdCdOrdd=rrd
四、圆与圆的位置关系
外离（图1）? 无交点 ? d?R?r； 外切（图2）? 有一个交点 ? d?R?r； 相交（图3）? 有两个交点 ? R?r?d?R?r； 内切（图4）? 有一个交点 ? d?R?r； 内含（图5）? 无交点 ? d?R?r；
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dR图1rRdr图2dR图3r
d
五、垂径定理
图4RrdrR图5垂径定理：垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对的弧。
推论1：（1）平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧； （2）弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；
（3）平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧
以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共5个结论中，只要知道其中2个即可推出其它3个结论，即：
①AB是直径 ②AB?CD ③CE?DE ④ 弧BC?弧BD ⑤ 弧AC?弧AD 中任意2个条件推出其他3个结论。 推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。 即：在⊙O中，∵AB∥CD ∴弧AC?弧BD
COABCBADOED例题1、 基本概念
1．下面四个命题中正确的一个是（ ）
A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦
C．弦的垂线必过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和它所对弦的直线必过这个圆的圆心 2．下列命题中，正确的是（ ）．
A．过弦的中点的直线平分弦所对的弧 B．过弦的中点的直线必过圆心 C．弦所对的两条弧的中点连线垂直平分弦，且过圆心 D．弦的垂线平分弦所对的弧 例题2、垂径定理
1、 在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油的最大深
度为16cm，那么油面宽度AB是________cm.
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2、在直径为52cm的圆柱形油槽内装入一些油后，，如果油面宽度是48cm，那么油的最大深度为________cm. 3、如图，已知在⊙O中，弦AB?CD，且AB?CD，垂足为H，OE?AB于E，OF?CD于F.
（1）求证：四边形OEHF是正方形. （2）若CH?3，DH?9，求圆心O到弦AB和CD的距离.
4、已知：△ABC内接于⊙O，AB=AC，半径OB=5cm，圆心O到BC的距离为3cm，求AB的长． 5、如图，F是以O为圆心，BC为直径的半圆上任意一点，A是
的中点，AD⊥BC于D，求证：AD=BF.
12 FA E
C BDO例题3、度数问题
1、已知：在⊙O中，弦AB?12cm，O点到AB的距离等于AB的一半，求：?AOB的度数和圆的半径.
2、已知：⊙O的半径OA?1，弦AB、AC的长分别是2、3.求?BAC的度数。
例题4、相交问题
如图，已知⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，AE=6cm，EB=2cm，∠BED=30°，求CD的长.
C
E A B O D 例题5、平行问题
在直径为50cm的⊙O中，弦AB=40cm，弦CD=48cm，且AB∥CD，求：AB与CD之间的距离.
例题6、同心圆问题
如图，在两个同心圆中，大圆的弦AB，交小圆于C、D两点，设大圆和小圆的半径分别为a,b.求证：AD?BD?a?b.
例题7、平行与相似
已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，AE?CD于E，BF?CD于F.
求
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证：
EC?FD.
六、圆心角定理
圆心角定理：同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弦相等，所对的弧相等，弦心距相等。 此定理也称1推3定理，即上述四个结论中，
只要知道其中的1个相等，则可以推出其它的3个结论， 即：①?AOB??DOE；②AB?DE；
③OC?OF；④ 弧BA?弧BD 七、圆周角定理
1、圆周角定理：同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。 即：∵?AOB和?ACB是弧AB所对的圆心角和圆周角 ∴?AOB?2?ACB
BOACAODCEFB2、圆周角定理的推论：
推论1：同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的等弧；
即：在⊙O中，∵?C、?D都是所对的圆周角 ∴?C??D
推论2：半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧弦是直径。
即：在⊙O中，∵AB是直径 或∵?C?90? ∴?C?90? ∴AB是直径
推论3：若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是即：在△ABC中，∵OC?OA?OB
∴△ABC是直角三角形或?C?90?
注：此推论实是初二年级几何中矩形的推论：在直角三角形中斜边上边的一半的逆定理。
BDC圆周角所对的弧是
BOAC是半圆，所对的
BOAC直角三角形。
OA的中线等于斜
【例1】用直角钢尺检查某一工件是否恰好是半圆环形，根据图形3-3-19所表示的情形，四个工件哪一个肯定是半圆环形？
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【例2】如图，已知⊙O中，AB为直径，AB=10cm，弦AC=6cm，∠ACB的平分线交⊙O于D，求BC、AD和BD的长．
【例3】如图所示，已知AB为⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于D，BC=4cm．
（1）求证：AC⊥OD； （2）求OD的长； （3）若2sinA－1=0，求⊙O的直径．
【例4】四边形ABCD中，AB∥DC，BC=b，AB=AC=AD=a，如图，求BD的长．
【例5】如图1，AB是半⊙O的直径，过A、B两点作半⊙O的弦，当两弦交点恰好落在半⊙O上C点时，则有AC·AC＋BC·BC=AB．
（1）如图2，若两弦交于点P在半⊙O内，则AP·AC＋BP·BD=AB是否成立？请说明理由． （2）如图3，若两弦AC、BD的延长线交于P点，则AB= 写结论的正确性．
2
2
2
．参照（1）填写相应结论，并证明你填
八、圆内接四边形
圆的内接四边形定理：圆的内接四边形的对角互补，外角等于它的内对角。 即：在⊙O中，
∵四边形ABCD是内接四边形 ∴
CD?C??BAD?180?
BAE?B??D?180?
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