复变函数论试卷

故

2. 解 连接原点及

,

的直线段的参数方程为

.

,

故.

3. 令, 则. 当时

,

故, 且在圆内只以为一级极点,

在上无奇点, 故, 由残数定理有

.

4. 解 令

,

所以在四. 证明题. 1. 证明 因为 这四个偏导数在

, 故

平面上处处连续, 但只在

处满足

条件, 故

.

只在除了

内,

, 即原方程在

内只有一个根.

则

在

内解析, 且在

上,

外处处不可微. 2. 证明 取

, 则对一切正整数

时,

.

于是由的任意性知对一切

均有

.

故, 即是一个至多次多项式或常数.

《复变函数》考试试题（六）参考答案

一、判断题：1.√ 2.× 3.√ 4.√ 5.√ 6.√ 7.× 8.√ 9.√ 10.× 二、填空题：1. 6. 三、计算题：

2.

3.

4. 1 5. 1 9. 0 10. 欧拉公式

阶 7. 整函数 8.

1. 解：因为

故2. 解：

.

因此 故

.

3.解：

4.解：

5．解：设, 则.

6．解：四、1. 证明：设则在

上，

与

即有

.

的零点个

根据儒歇定理，数为6，故 2.证明：设

有

于是

3.证明：由于

故是

在单位圆内有相同个数的零点，而

在单位圆内的根的个数为6. ，则,

, 由于. ，即

的

阶零点，从而可设

， ，

在内

恒为常数.

在内

解析，因此

其中

在

的某邻域内解析且

于是

由可知存在的某邻域，在内恒有，因此在内解析，故

为的阶极点.

《复变函数》考试试题（七）参考答案

一、判断题：1.√ 2. √ 3. × 4.√ 5.√ 6.√ 7. √ 8. × 二、填空题：1.

2.

3.

4. 1 5. 1

6. 阶 7. 整函数 8. 9. 0 10.

三、计算题：

1. 解：2. 解：

因此 故

.

3. 解： 因此

4. 解：

由于 因此在

，从而内

.

有

5．解：设, 则.