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北师大版数学中考总复习
重难点突破
知识点梳理及重点题型巩固练习
中考总复习：实数—知识讲解 （提高）
【考纲要求】
1.了解有理数、无理数、实数的概念；借助数轴理解相反数、绝对值的概念及意义，会比较实数的大小； 2.知道实数与数轴上的点一一对应，会用科学记数法表示有理数，会求近似数和有效数字；了解乘方与开方、平方根、算术平方根、立方根的概念，并理解这两种运算之间的关系，了解整数指数幂的意义和基本性质；
3.掌握实数的运算法则，并能灵活运用； 4.逐步形成数形结合、分类讨论、建模思想.
【知识网络】
【考点梳理】
考点一、实数的分类 1.按定义分类：
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????正整数??自然数????整数零?????????有理数负整数??有限小数或无限循环小数?????实数?正分数??分数??????负分数????正无理数???无理数???无限不循环小数? ??负无理数??2.按性质符号分类：
???正整数正有理数???正实数??正分数????正无理数?? 实数?零???负整数?负有理数??负实数???负分数????负无理数?有理数：整数和分数统称为有理数或者“形如无理数：无限不循环小数叫无理数． 实数：有理数和无理数统称为实数． 要点诠释：
常见的无理数有以下几种形式：
（1）字母型：如π是无理数，
m（m，n是整数n≠0）”的数叫有理数． n??、等都是无理数，而不是分数； 24（2）构造型：如2.10100100010000…（每两个1之间依次多一个0）就是一个无限不循环的小数；
36，（3）根式型：2、5、…都是一些开方开不尽的数；
（4）三角函数型：sin35°、tan27°、cos29°等.
考点二、实数的相关概念 1.相反数
（1)代数意义：只有符号不同的两个数，我们说其中一个是另一个的相反数．0的相反数是0； （2)几何意义：在数轴上原点的两侧，与原点距离相等的两个点表示的两个数互为相反数； （3)互为相反数的两个数之和等于0.a、b互为相反数?a+b=0. 2.绝对值
（1)代数意义：正数的绝对值是它本身；负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0．
?a (a?0)?可用式子表示为：a??0 (a?0)
??a (a?0)?（2)几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离．距离是一个非负数，所
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以绝对值的几何意义本身就揭示了绝对值的本质，即绝对值是一个非负数．
用式子表示：若a是实数，则|a|≥0． 3.倒数
（1)实数a(a?0)的倒数是
1；0没有倒数； a（2)乘积是1的两个数互为倒数．a、b互为倒数?a?b?1. 4.平方根
（1)如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根．一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根．a（a≥0）的平方根记作?a．
（2)一个正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．a（a≥0）的算术平方根记作a． 5.立方根
3
如果x=a，那么x叫做a的立方根．
一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根；0的立方根仍是0． 要点诠释：
若a?a,则a?0；a?-a,则a?0；a-b表示的几何意义就是在数轴上表示数a与数b的点之间的距离.
考点三、实数与数轴
规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴，数轴的三要素缺一不可．
每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示，反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数． 要点诠释：
（1）数轴的三要素：原点、正方向和单位长度. （2）实数和数轴上的点是一一对应的.
考点四、实数大小的比较
1.对于数轴上的任意两个点，靠右边的点所表示的数较大.
2.正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数；绝对值大的反而小. 3.对于实数a、b， 若a-b>0?a>b；a-b=0?a=b；a-b<0?a
22
利用平方转化为有理数：如果a>b>0， a>b?a>b?a?b；
或利用倒数转化：如比较17?4与4?15.
要点诠释：
实数大小的比较方法：（1）直接比较法：正数都大于0，负数都小于0，正数大于一切负数；两个负数，绝对值大的反而小.（2）数轴法：在数轴上，右边的数总比左边的数大.
考点五、实数的运算 1.加法
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加；绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值；互为相反数的两个数相加得0；一个数同0相加，仍得这个数．
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满足运算律：加法的交换律a+b=b+a，加法的结合律(a+b)+c=a+(b+c)． 2.减法
减去一个数等于加上这个数的相反数． 3.乘法
两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘.
几个非零实数相乘，积的符号由负因数的个数决定，当负因数有偶数个时，积为正；当负因数有奇数个时，积为负．几个数相乘，有一个因数为0，积就为0．
乘法运算的运算律：（1）乘法交换律ab=ba；（2）乘法结合律(ab)c=a(bc)；（3）乘法对加法的分配律a(b+c)=ab+ac． 4.除法
（1）除以一个数，等于乘上这个数的倒数．
（2）两个数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除．0除以任何一个不等于0的数都得0． 5.乘方与开方
（1)求n个相同因数的积的运算叫做乘方，an所表示的意义是n个a相乘.
正数的任何次幂是正数，负数的偶次幂是正数，负数的奇次幂是负数． （2)正数和0可以开平方，负数不能开平方；正数、负数和0都可以开立方． （3)零指数与负指数a?1(a≠0)，a0?p?1(a≠0). ap要点诠释：
（1）加和减是一级运算，乘和除是二级运算，乘方和开方是三级运算．这三级运算的顺序是三、二、
一．如果有括号，先算括号内的；如果没有括号，同一级运算中要从左至右依次运算． （2）实数的运算律 加法交换律：a+b=b+a
加法结合律：(a+b)+c=a+(b+c) 乘法交换律：ab=ba
乘法结合律：(ab)c=a(bc) 乘法分配律：(a+b)c=ac+bc
考点六、有效数字和科学记数法 1.近似数
一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．精确度的形式有两种：（1）精确到哪一位；（2）保留几个有效数字. 2.有效数字
一个近似数，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位为止，所有的数字，都叫做这个近似数的有效数字． 3.科学记数法
把一个数用±a×10n（其中1≤要点诠释：
（1）当要表示的数的绝对值大于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤a＜10，n为正整数，其值等于原数中整数部分的数位减去1；
（2）当要表示的数的绝对值小于1时，用科学记数法写成a×10，其中1≤a＜10，n为负整数，其值等于原数中第一个非零数字前面所用零的个数的相反数（包括小数点前面的零）.
考点七、数形结合、分类讨论、建模思想 1.数形结合思想
实数与数轴上的点一一对应，绝对值的几何意义等，数轴在很多时候可以帮助我们更直观地分析题目，从而找到解决问题的突破口； 2.分类讨论思想
（算术）平方根，绝对值的化简都需要有分类讨论的思想，考虑问题要全面，做到既不重复又不遗
nn＜10，n为整数）的形式记数的方法叫科学记数法．
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漏；
3. 从实际问题中抽象出数学模型
以现实生活为背景的题目，我们要抓住问题的实质，明确该用哪一个考点来解决问题，然后有的放矢.
【典型例题】
类型一、实数的有关概念
1．（2015春?杭锦后旗校级期末）在下列各数中，无理数有（ ）. ，，
，﹣π，﹣，
，
，0，0.5757757775…（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）．
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】D； 【解析】无理数有：
，
，﹣π，
，0.5757757775…（相邻两个5之间的7的个数逐次加1）共
有5个．故答案是：D．
【点评】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：π，2π等；开方开不尽的数；以及像0.1010010001…，等有这样规律的数． 举一反三： 【变式】（2015?安徽）与1+最接近的整数是（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B. ∵4＜5＜9， ∴2＜＜3．
又5和4比较接近，
∴最接近的整数是2，
∴与1+最接近的整数是3， 故选：B．
类型二、实数有关的计算
2．(1)有一列数?（2）已知a1?1234,,?,，…，那么依此规律，第7个数是______； 251017115112113114??,?, ??,a2???,a3???,a4?1?2?3232?3?4383?4?54154?5?6524依据上述规律，则a99? ． 【答案】(1) －7100； （2）.
9999507. 50【解析】(1) 符号：单数为负，双数为正，所以第7个为负.分子规律：第几个数就是几，即第7个数
分子就是7，分母规律：分子的平方加1，第7个数分母就是50.所以第7个数是－资料来源于网络 仅供免费交流使用
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11100??.
99?100?1011009999n【点评】(1) 规律：(（n为正整数）； －1)n?2n?1（2）a99?（2）规律：
举一反三：
【变式】a是不为1的有理数，我们把
11n?1（n为正整数）. ??n(n?1)(n?2)n?1n(n?2)11称为a的差倒数．如：2的差倒数是??1，?1的差倒．．．
1?21?a数是
111?．已知a1??，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…，
31?(?1)2依此类推，则a2009? ．
【答案】因为a1??1a2?3，
111?(?)311?.?3,a3?411?34.?4,a4?11.??, 1?43a5?111?(?)3.?3,a6?434.?4,……..三个一循环，因此a2009?a2?3?. 11?(?)431
类型三、实数大小的比较
3．若a?20082007，b?，试不用将分数化小数的方法比较a、b的大小． ．．
2009200820082?12200822007?2009(2008?1)?(2008?1)?【答案与解析】a=，b?，?2008?20092008?20092008?20092008?200920082?12?20082，
∴ a 【点评】通过通分进行比较. 举一反三： 【变式】当b?0时，比较1＋b与1的大小. 【答案】（1）∵b≠0时，∴b＞0或b＜0． 当b＞0时，1＋b＞1， 当b＜0时，1＋b＜1. 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 类型四、平方根的应用 4．已知a?1?2b?1?(c?2)2?0，求abc的值. 31122≥0，2b?1≥0，(c?2)≥0，a??2b?1?(c?2)?0. 33【答案与解析】∵a?1?a??1??3?a?3?0??1?11?bc ∴?2b?1?0 解得?b?? 则a?(?)??3. 32?c?2?0???c?2???2n【点评】利用a≥0，a≥0，a≥0（n为自然数）等常见的三种非负数及其性质，分别令它们为零， 得一个三元一次方程组，解得a、b、c的值，代入后本题得以解决。 举一反三： 【变式】已知x、y是实数，且3x?4+（y－6y+9）=0，若axy－3x=y，则实数a的值是（ ） 2 A． 1177 B．－ C． D．－ 44442 【答案】A. ∵3x?4+（y－3）=0， ∴3x+4=0，y－3=0， ∴x=－ 4，y=3． 3 ∵axy－3x=y，∴－ 441×3a－3×（－）=3， ∴a= ∴答案选A. 334 类型五、实数运算中的规律探索 5．在快速计算法中，法国的“小九九”从“一一得一”到“五五二十五”和我国的“小九九”是一样的，后面的就改用手势了．下面两个图框是用法国“小九九”计算8×9和6×7的两个示例． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （1）用法国“小九九”计算7×8，左、右手依次伸出手指的个数是多少？ （2）设a、b都是大于5且小于10的整数，请你说明用题中给出的规则计算a×b的正确性？ 【答案与解析】 （1）按照题中示例可知：要计算7×8，左手应伸出7-5=2个手指，右手应伸出8-5=3个手指； （2）按照题中示例可知：要计算a×b，左手应伸出（a-5）个手指，未伸出的手指数为5-（a-5）=10-a；右手应伸出（b-5）个手指，未伸出的手指数为5-（b-5）=10-b 两手伸出的手指数的和为（a-5）+（b-5）=a+b-10， 未伸出的手指数的积为（10-a）×（10-b）=100-10a-10b+a×b 根据题中的规则，a×b的结果为10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b） 而10×（a+b-10）+（100-10a-10b+a×b）=10a+10b-100+100-10a-10b+a×b=a×b 所以用题中给出的规则计算a×b是正确的． 【点评】此题是定义新运算题型．通过阅读规则，得出一般结论．解题关键是对号入座不要找错对应关 系． 6．探究数字“黑洞”：“黑洞”原指非常奇怪的天体，它的体积小，密度大，吸引力强，任何物体到它那里都别想再“爬出来”，无独有偶，数字中也有类似的“黑洞”，满足某种条件的所有数，通过一种运算，都能被它“吸”进去，无一能逃脱它的魔掌．譬如：任意找一个3的倍数的数，先把这个数的每个数位上的数字都立方，再相加，得到一个新的数，然后把这个新数每个数位上的数字再立方，求和…，重复运算下去，就能得到一个固定的数T=_________，我们称它为数字“黑洞”，T为何具有如此魔力通过认真的观察、分析，你一定能发现它的奥秘！此短文中的T是（ ） A．363 B．153 C．159 D．456 【答案】B； 【解析】把6代入计算，第一次立方后得到216；第二次得到225；第三次得到141；第四次得到66； 第五次得到432；第六次得到99；第七次得到1458；第八次得到702；第九次得到351；第十次得到153；开始重复，则T=153．故选B． 【点评】此题只需根据题意，任意找一个符合条件的数进行计算，直至计算得到重复的数值，即是所求 的黑洞数．可以任意找一个3的倍数，如6．第一次立方后得到216；第二次得到225；…；第十次得到153；开始重复，则可知T=153． 举一反三： 【变式1】下面由火柴棒拼出的一系列图形中，第n个图形是由n个正方形组成的，通过观察可以发现： 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 n?1n?2n?3n?4 （1）第四个图形中火柴棒的根数是 ； （2）第n个图形中火柴棒的根数是 . 【答案】（1）13；（2）3n?1. 【变式2】有一列数1、2、3、4、5、6、…，当按顺序从第2个数到第6个数时，共数了 个数； 当按顺序从第m个数到第n个数（m＜n）时，共数了 个数。 【答案】5；(n?m?1). 北师大版数学中考总复习 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习：实数—巩固练习 （提高） 【巩固练习】 一、选择题 1. 在实数π、 1、2、sin30°,无理数的个数为( ) 3A.1 B.2 C.3 D.4 2. 对于实数a、b，给出以下三个判断： ①若a?b，则 a?的判断的个数是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 3．（2015?河南一模）据统计，2014年河南省机动车保有量突破280万辆，对数据“280万”的理解错误的是（ ） A．精确到万位 B．有三个有效数字 C．这是一个精确数 6 D．用科学记数法表示为2.80×10 4．如图，矩形OABC的边OA长为2 ，边AB长为1，OA在数轴上，以原点O为圆心，对角线OB的长为半径画弧，交正半轴于一点，则这个点表示的实数是（ ） b．②若a?b，则 a?b． ③若a??b，则 (?a)2?b2．其中正确 A．2.5 B．22 C．3 D．5 5．填在下面各正方形中的四个数之间都有相同的规律，根据此规律，m的值是（ ） 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 0 4 2 8 2 6 4 8 6 m 4 22 6 44 A．38 B．52 C．66 D．74 333 6. 若a、b两数满足a?567＝10，a?10＝b，则a?b之值为（ ） 10610310310A． B． C． D． 567956795676567 二、填空题 7．（1）先找规律，再填数： 111111111111111??1?,???,???,???,122342125633078456 ............111则+?_______?.201120122011?2012b??a(a?b,a?0)（2）对实数a、b，定义运算★如下：a★b=?， ?b??a(a?b,a?0)例如2★3=2=8．已知： -3 1.计算[2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]= . 8, 2,观察前面的计算过程，寻找计算规律计算A7? （直接写出计算结果）， 53并比较A9 A10（填“?”或“?”或“=”） 9．右图为手的示意图，在各个手指间标记字母A，B，C，D．请你按图中箭头所指方向(即 A→B→C→D→C→B→A→B→C→…的方式)从A开始数连续的正整数1，2，3，4，…，当数到12时， 对应的字母是 ；当字母C第201次出现时，恰好数到的数是 ；当字母C第2n+1次出现时(n为正整数)，恰好数到的数是 （用含n的代数式表示）． 10．根据如图所示的程序计算，若输入x的值为1，则输出y的值为___________. 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 11．已知，当n=1时，a1=0；当n=2时，a2=2；当n=3时，a3=0；… 则a1+a2+a3+a4+a5+a6 的值为___________． 12．（2014秋?石家庄期末）观察图形：请用你发现的规律直接写出图4中y的值 ． 三、解答题 13．对于任何实数，我们规定符号 abab的意义是：=ad?bc．按照这个规定请你计算： cdcd当x2?3x?1?0时， x?13x 的值． x?2x?1 14.（2014?营口模拟）小彬在做数学题时，发现下面有趣的结果： 3﹣2=1 8+7﹣6﹣5=4 15+14+13﹣12﹣11﹣10=9 24+23+22+21﹣20﹣19﹣18﹣17=16 … 根据以上规律可知第99行左起第一个数是 ． 15．根据以下10个乘积，回答问题： 11×29； 12×28； 13×27； 14×26； 15×25； 16×24； 17×23； 18×22； 19×21； 20×20. 22 (1)试将以上各乘积分别写成一个“□-○”(两数平方差)的形式，并写出其中一个的思考过程； (2)将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来； (3)试由(1)、(2)猜想一个一般性的结论.(不要求证明) 16.已知等边△OAB的边长为a，以AB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边△OA1B1，A1B1与OB相交于 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 点A2. (1)求线段OA2的长； (2)若再以OA2为边按逆时针方向作等边△OA2B2，A2B2与OB1相交于点A3，按此作法进行下去，得到 △OA3B3，△OA4B4，…，△OAnBn(如图).求△OA6B6的周长. 【答案与解析】 一、选择题 1. 【答案】B； 【解析】π、2是无理数. 2.【答案】C； 【解析】通过举反例说明①②是不对的，只有③是正确的. 3.【答案】C； 【解析】A、280万精确到万位是正确的，此选项不合题意； B、280万有三个有效数字是正确的，此选项不合题意； C、280万是一个近似数，不是精确数，此选项符合题意； 6 D、280万用科学记数法表示为2.80×10是正确的，此选项不合题意．故选：C． 4.【答案】D； 【解析】用勾股定理求得OB=5 即可. 5.【答案】D； 【解析】先分析出阴影方格的数，如图，找出规律：m=左下角方格的数的平方加上右上角方格的数. 6.【答案】C； 二、填空题 7．【答案】（1） 1；（2）1； 1006资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【解析】（1）规律为： 1111（n为正整数）. ???nn?1n?1n(n?1)2-4 2 （2） [2★（﹣4）]×[（﹣4）★（﹣2）]=2×（-4）=1. 8．【答案】42；?. 25353【解析】A7?7×6=42；∵A9=9×8×7×6×5，A10=10×9×8，∴A9?A10. 9．【答案】B；603；6n＋3； 【解析】字母C第“奇数”次出现时，恰好数到的数是这个“奇数”的3倍。 10．【答案】4； 【解析】第一次结果是-2，继续输入得到结果是4，符合题意. 11．【答案】6； 【解析】a1=a3=a5=…=0，a2=a4=a6=…=2，所以a1+a2+a3+a4+a5+a6=6. 12．【答案】12 . 【解析】∵12=5×2﹣1×（﹣2），20=8×1﹣（﹣3）×4，﹣13=（﹣7）×4﹣5×（﹣3）， ∴y=3×0﹣6×（﹣2）=12．故答案为：12． 三、解答题 13.【答案与解析】 x?1x?23xx?1?(x?1)(x?1)?3x(x?2)?x2?1?3x2?6x??2x2?6x?1.?x2?3x?1?0,?x2?3x??1.?原式??（2x2?3x)?1?2?1?1. 14.【答案与解析】 2 解：∵3=2﹣1， 2 8=3﹣1， 2 15=4﹣1， 2 24=5﹣1， … ∴第99行左起第一个数是：（99+1）﹣1=9999． 故答案为：9999． 15.【答案与解析】 (1)11×29=202-92；12×28=202-82； 13×27=202-72；14×26=202-62； 15×25=202-52；16×24=202-42； 2 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 17×23=202-32；18×22=202-22； 19×21=202-12；20×20=202-02； 例如：11×29；假设11×29=□2-○2； 22 因为□-○=(□+○)(□-○) 所以，可以令□-○=11，□+○=29 解得，□=20，○=9，故11×29=202-92 (或11×29=(20-9)(20+9)=202-92) (2)这10个乘积按照从小到大的顺序依次是： 11×29<12×28<13×27<14×26<15×25<16×24<17×23<18×22<19×21<20×20. 2 (3)①若a+b=40,a,b是自然数，则ab≤20=400. ②若a+b=40，则ab≤202=400. ③若a+b=m，a，b是自然数，则 ④若a+b=m，则 ⑤若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=40，且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|， 则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn. ⑥若a1+b1=a2+b2=a3+b3=…=an+bn=m，且|a1-b1|≥|a2-b2|≥|a3-b3|≥…≥|an-bn|， 则a1b1≤a2b2≤a3b3≤…≤anbn. 16.【答案与解析】 (1) (2)依题意， 以此类推， ，即△OA6B6的周长为 北师大版数学中考总复习 重难点突破 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习：整式与因式分解—知识讲解（提高） 【考纲要求】 1.整式部分主要考查幂的性质、整式的有关计算、乘法公式的运用，多以选择题、填空题的形式出现； 2.因式分解是中考必考内容，题型多以选择题和填空题为主，也常常渗透在一元二次方程和分式的化简中进行考查. 【知识网络】 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【考点梳理】 考点一、整式 1.单项式 数与字母的积的形式的代数式叫做单项式．单项式是代数式的一种特殊形式，它的特点是对字母来说只含有乘法的运算，不含有加减运算．在含有除法运算时，除数(分母)只能是一个具体的数，可以看成分数因数．单独一个数或一个字母也是单项式． 要点诠释： （1）单项式的系数是指单项式中的数字因数． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （2）单项式的次数是指单项式中所有字母的指数和． 2.多项式 几个单项式的代数和叫做多项式．也就是说，多项式是由单项式相加或相减组成的． 要点诠释： （1）在多项式中，不含字母的项叫做常数项． （2）多项式中次数最高的项的次数，就是这个多项式的次数． （3）多项式的次数是n次，有m个单项式，我们就把这个多项式称为n次m项式． （4）把一个多项式按某一个字母的指数从大到小的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母降幂排列．另外，把一个多项式按某一个字母的指数从小到大的顺序排列起来，叫做把这个多项式按这个字母升幂排列． 3.整式 单项式和多项式统称整式． 4.同类项 所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相同的项，叫做同类项． 5.整式的加减 整式的加减其实是去括号法则与合并同类项法则的综合运用． 把多项式中的同类项合并成一项，叫做合并同类项.合并同类项后，所得项的系数是合并前各同类项的系数的和，且字母部分不变. 如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反. 整式加减的运算法则：一般地，几个整式相加减，如果有括号就先去括号，然后再合并同类项. 6.整式的乘除 ①幂的运算性质： ②单项式相乘：两个单项式相乘，把系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式． ③单项式与多项式相乘：单项式与多项式相乘，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达： ④多项式与多项式相乘：一般地，多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．用式子表达： 平方差公式： 完全平方公式： 在运用乘法公式计算时，有时要在式子中添括号，添括号时，如果括号前面是正号，括到括号里的各项都不变符号；如果括号前面是负号，括到括号里的各项都改变符号. ⑤单项式相除：两个单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ⑥多项式除以单项式：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 要点诠释： （1）同底数幂是指底数相同的幂，底数可以是任意的有理数，也可以是单项式、多项式. （2）三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质， 即am?an?ap?am?n?p（m,n,p都是正整数）. （3）逆用公式：把一个幂分解成两个或多个同底数幂的积，其中它们的底数与原来的底数相同，它们的指数之和等于原来的幂的指数。即am?n?am?an（m,n都是正整数）. （4）公式(a)?a（5）逆用公式： a从而解决问题. （6）公式(ab)?a?b的推广：(abc)?a?b?c (n为正整数). （7）逆用公式：anbn??ab?逆用算式适当的变形可简化运算过程，尤其是遇到底数互为倒数时， nnnnnnnnmnmn的推广：((a))?anmmnpmnp (a?0，m,n,p均为正整数) mn??am???an?，根据题目的需要常常逆用幂的乘方运算能将某些幂变形， ?1??1?计算更简便.如：???210???2??1. ?2??2? （8）多项式与多项式相乘，仍得多项式.在合并同类项之前，积的项数应该等于两个多项式的项数 之积.多项式与多项式相乘的最后结果需化简，有同类项的要合并.特殊的二项式相乘， 1010?x?a??x?b??x2??a?b?x?ab. 考点二、因式分解 1.因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解． 2.因式分解常用的方法 （1）提取公因式法：ma?mb?mc?m(a?b?c) （2）运用公式法： 平方差公式：a?b?(a?b)(a?b)；完全平方公式：a?2ab?b?(a?b) （3）十字相乘法：x?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b) （4）分组分解法：将多项式的项适当分组后能提公因式或运用公式分解. （5）添、拆项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、公式法或分组分解法进行分解.要注意，必须在与原多项式相等的原则下进行变形. （6）运用求根公式法：若ax?bx?c?0(a?0)的两个根是x1、x2，则有： 2222222资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ax2?bx?c?a(x?x1)(x?x2). 3.因式分解的一般步骤 （1）如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式； （2）提出公因式或无公因式可提，再考虑可否运用公式或十字相乘法； （3）对二次三项式，应先尝试用十字相乘法分解，不行的再用求根公式法； （4）最后考虑用分组分解法及添、拆项法. 要点诠释： （1）因式分解的对象是多项式； （2）最终把多项式化成乘积形式； （3）结果要彻底，即分解到每个因式都不能再分解为止． （4）十字相乘法分解思路为“看两端，凑中间”，二次项系数a一般都化为正数，如果是负数，则提出负号，分解括号里面的二次三项式，最后结果不要忘记把提出的负号添上. （5）分组分解法分解因式常用的思路有： 方法 分类 分组方法 二项、二项 三项、一项 五项 三项、二项 三项、三项 二项、二项、二项 三项、二项、一项 【典型例题】 类型一、整式的有关概念及运算 1．（2014春?余姚市校级期末）若多项式x+ax+8和多项式x﹣3x+b相乘的积中不含x、x项， 333 求（a﹣b）﹣（a﹣b）的值． 【思路点拨】 多项式与多项式相乘结果中不含二次项和三次项，则说明这两项的系数为0，建立关于a，b等式，求出后再求代数式值． 【答案与解析】 22 解：∵（x+ax+8）（x﹣3x+b） 432 =x+（﹣3+a）x+（b﹣3a+8）x﹣（ab+24）x+8b， 23 又∵不含x、x项， ∴﹣3+a=0，b﹣3a+8=0， 解得a=3，b=1， 333333 ∴（a﹣b）﹣（a﹣b）=（3﹣1）﹣（3﹣1）=8﹣26=﹣18． 【总结升华】解此类问题的常规思路是：将两个多项式依据乘法法则展开，合并同类项，根据不含某一 项就是这一项的系数等于0再通过解方程（组）求解． 2 2 2 3 特点 ①按字母分组②按系数分组 ③符合公式的两项分组 先完全平方公式后平方差公式 各组之间有公因式 各组之间有公因式 可化为二次三项式 四项 分组分解法 六项 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 2．（2015春?达州校级期中）已知a﹣b=5，ab=3，求代数式ab﹣2ab+ab的值． 3223 【思路点拨】首先把代数式ab﹣2ab+ab分解因式，然后尽可能变为和a﹣b、ab相关的形式，然后代入已知数值即可求出结果． 【答案与解析】 3223 解：∵ab﹣2ab+ab 22 =ab（a﹣2ab+b） 2 =ab（a﹣b） 而a﹣b=5，ab=3， 3223 ∴ab﹣2ab+ab=3×25=75． 【总结升华】本题主要运用完全平方公式对所给代数式进行因式分解，然后利用所给条件代入即可求出结果． 3．已知x2m3223 1?5，求x6m?5的值． 5【答案与解析】 ∵ x2m111?5，∴ x6m?5?(x2m)3?5??53?5?20． 555mn【点评】（1）逆用幂的乘方法则：a?(am)n?(an)m． （2）本题培养了学生的整体思想和逆向思维能力． 举一反三： 【变式】已知x?2，x?3．求x【答案】 x3a?2bab3a?2b的值． ?x3ax2b?(xa)3(xb)2?23?32?8?9?72． 类型二、因式分解 4．多项式x?2xy?2y?2y?5的最小值是____________. 【答案】4； 【解析】 x?2xy?2y?2y?5??x?y???y?1??4，所以最小值为4. 222222【点评】通过因式分解化为完全平方式，分析得出多项式的最小值. 5．把3ax?4by?4ay?3bx分解因式． 【答案与解析】 解法一：3ax?4by?4ay?3bx?(3ax?4ay)?(3bx?4by) ?a(3x?4y)?b(3x?4y)?(3x?4y)(a?b)． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 解法二：3ax?4by?4ay?3bx?(3ax?3bx)?(4ay?4by) ?3x(a?b)?4y(a?b)?(a?b)(3x?4y)． 【点评】此题多项式的四项中没有公因式，所以不能直接用提公因式法，但如果把其中两项合为一组， 如把第一、三两项和第二、四两项分为两组，可以分别提取公因式a和b，并且另一个因式都是 (3x?4y)，因此可继续分解．把一个多项式的项分组后能运用提取公因式法进行分解，并且各组在分解后它们的另一个因式正好相同，还能用提取公因式法继续分解，那么这个多项式就可以用分组法来分解因式． 举一反三： 【变式1】分解因式：a?4b?4ab?c 【答案】原式?(a?4ab?4b)?c??a?2b??c??a?2b?c??a?2b?c?. 22222222【变式2】(1)16x－(x＋4)； (2)?【答案】 222 (1)原式＝(4x)－(x＋4) 22 ＝[4x＋(x＋4)][4x－(x＋4)] 22 ＝－(x＋4x＋4)(x－4x＋4) 22 ＝－(x＋2)(x－2)． 222 12x?4. 41(2)原式??(x2?16) 41??(x?4)(x?4). 4 类型三、因式分解与其他知识的综合运用 6．若a、b、c为三角形的三边边长，试判断(a?b?c)?4ab的正负状况． 【思路点拨】 将原式用公式法分解因式，再由三角形三边的关系确定每个因式的符号，最后就能得出结果的符号. 【答案与解析】 222222(a2?b2?c2)2?4a2b2?(a2?b2?c2?2ab)(a2?b2?c2?2ab) ?[(a?b)2?c2][(a?b)2?c2] ?(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)(a?b?c)． 依三角形两边之和大于第三边，知a?b?c?0，a?b?c?0，a?b?c?0， 故(a?b?c)?4ab?0． 222222资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【点评】将原式分解因式，再根据三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边来判断每个因式的 正负. 举一反三： 【变式1】若△ABC的三边长分别为a、b、c,且满足a?16b?c?6ab?10bc?0， 求证：a?c?2b. 【答案】 222a2?16b2?c2?6ab?10bc ?a2?6ab?9b2??25b2?10bc?c2???a?3b???5b?c?222 所以?a?3b???5b?c??0 2?a?3b?2??5b?c? 2所以a?3b??(5b?c) 所以a?c?2b或8b?c?a 因为△ABC的三边长分别为a、b、c，c?a?b， 所以8b?c?a?b，矛盾，舍去. 所以a?c?2b. 11?23，求x4?4的值． xx11242【答案】x?4?(x?2)?2 xx【变式2】已知x?1?[(x?)2?2]2?2x ?[(23)2?2]2?2＝10－2 ＝98． 2 北师大版数学中考总复习 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习：整式与因式分解—巩固练习（提高） 【巩固练习】 一、选择题 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 1. 若248?1能被60或70之间的两个整数所整除，这两个数应当是（ ） A．61，63 B．63，65 C．61，65 D．63，67 2.乘积?1?A． ??1??1??1??1?1????1?1????????应等于（ ） 22??32??92??102?11512 B． C． D． 2012232 3 3．（2015?十堰模拟）已知x﹣x﹣1=0，则x﹣2x+1的值为（ ） A．﹣1 B．2 C．﹣1 D．﹣2 4．1993?9319的个位数字是( ) A．2 B．4 C．6 D．8 5．若x为任意实数时，二次三项式x?6x?c的值都不小于0，则常数c满足的条件是（ ） A.c?0 B. c?9 C. c?0 D. c?9 6．如图，从边长为（a+1）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a﹣1）cm的正方形（a＞1），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则该矩形的面积是（ ） 2 A．2cm 二、填空题 2 B． 2acm 2 C． 4acm 2 D． （a﹣1）cm 22 9991197． 已知P?99，Q?90，那么P，Q的大小关系是 ． 998．已知a3m?2,b2m?3，则a2m2n??3??bm???a2b??bm＝ ． 63m9．若n 是正整数，且a?10，则(a3n)2?8(?a2)2n＝__________. 10. （1）如果ab?1，那a?bxy?nn2???an?bn??_________. 2（2）已知25?2000,80?2000，则 11?? . xy11．对于任意的正整数n，能整除代数式?3n?1??3n?1???3?n??3?n?的最小正整数是_______. 12.（2015秋?巴中期中）图1可以用来解释：（2a）=4a，则图2可以用来解释： ． 2 2 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 三、解答题 13.（2014秋?静宁县校级期中）若关于x的多项式﹣5x+（2m﹣1）x+（3n﹣2）x﹣1不含二次项和一次项，求m，n的值． 14．将下列各式分解因式： （1）x?223 2 21151?x； （2）a2?a?； 361242（3）xy?7xy?10； （4）?a?b??4?a?b??3. 15. 若二次三项式kx?32x?35?k?0?能被 2x?7整除，试求k的值． 2 16.已知：a?b?6,ab??c?a??9?0,求a?b?c的值. 【答案与解析】 1.【答案】B； 【解析】2?1?2?12?1?2?12?12?1 24241212662??????????2?1??2?1??2?1??2?1? ??2?1??2?1??65?634824242412?12?2.【答案】D； 【解析】?1???1??1??1??1?1????1?1???????? 22??32??92??102?1??1??1??1??1??1??1??1????1???1???1???1??......?1???1???1???1???2??2??3??3??9??9??10??10?314253108119 ???????......???? 22334499101011111???21020资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 3.【答案】B； 【解析】∵x+x﹣1=0， 2 ∴x+x=1， 3 ∴x﹣2x+1 22 =x（x﹣x）+x﹣2x+1 2 =x+x﹣2x+1 2 =（x﹣x）+1 =1+1 =2．故选：B． 4.【答案】C； 【解析】1993?9319的个位数字等于9?3的个位数字．∵99319932 ?(92)46?9?8146?9; 319?(34)4?33?(81)4?27．∴993?319的个位数字等于9＋7的个位数字． 则 19?93的个位数字是6． 5.【答案】B； 【解析】x?6x?c??x?3???c?9?，由题意得，c?9?0，所以c?9. 2293196.【答案】C； 【解析】 矩形的面积是（a+1）﹣（a﹣1）， =a+2a+1﹣（a﹣2a+1）， =4a（cm）， 故选C． 二、填空题 7．【答案】P＝Q； 22222999119【解析】∵P?Q?99?90 99?9?11??990?99991199?119?990??19999?11 ∴ P＝Q. 8．【答案】－5； 【解析】原式?a ∵ 9 ????b???a???b?3m22m33m22m2 ∴ 原式＝22?33?22?32＝－5. 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 9．【答案】200； 【解析】(a)?8(?a)3n222n??a2n3??8?a2n2??1000?800?200. 10.【答案】（1）－4；（2）1； 【解析】（1）原式?an?bn?an?bnnnn???an?bn?an?bn??2an???2bn? ??4ab??4?ab???4. （2）∵25?2000,80?2000,∴25xxy2000?25?80 y??xy?25xy?2000y??25?80??25y?80y?25y?2000； yx?y 25?25?25∴25xy?2000?25y ?25x?y； 11x?y???1. xyxy∴xy?x?y， 11.【答案】10； 【解析】利用平方差公式化简得10n2?1，故能被10整除. 12.【答案】（a+b）=a+2ab+b； 【解析】如图2： 整体来看：可看做是边长为（a+b）的正方形，面积为：（a+b）； 从部分看，可看作是有四个不同的长方形构成的图形，其中两个带阴影的长方形面积是相同的， 面积为：a+2ab+b； 222 ∴a+2ab+b=（a+b）． 222 故答案为：（a+b）=a+2ab+b 三、解答题 13.【答案与解析】 解：∵多项式﹣5x+（2m﹣1）x+（3n﹣2）x﹣1不含二次项和一次项， ∴2m﹣1=0，3n﹣2=0， 解得m=，n=， ∴m=，n=． 14.【答案与解析】 3 2 2 2 2 2 2 2 ??资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （1）x?21111?2??1??x?x2?x???x???x??； 3663?3??2?51?3??1?a???a???a??； 124?4??3?（2）a?222（3）xy?7xy?10??xy?2??xy?5?； （4）?a?b??4?a?b??3??a?b?1??a?b?3?. 15.【答案与解析】 因为kx?32x?35??2x?7??22?k?x?5? ?2? 所以 7k?10?32，解得k?12. 2 16.【答案与解析】 ∵a?b?6,∴a?b?6 ∵ab??c?a??9?0, ∴?b?6?b??c?a??9?0, ∴?b?3???c?a??0, ∴b??3,c?a ∴a???3??6?3,c?3 ∴a?b?c?3???3??3?3. 2222北师大版数学中考总复习 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习：分式与二次根式—知识讲解（提高） 【考纲要求】 1. 了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程； 2. 利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算． 【知识网络】 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【考点梳理】 考点一、分式的有关概念及性质 1．分式 设A、B表示两个整式．如果B中含有字母，式子分式没有意义. 2.分式的基本性质 （M为不等于零的整式）. 就叫做分式．注意分母B的值不能为零，否则 3．最简分式 分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式．如果分子分母有公因式，要进行约分化简. 要点诠释： 分式的概念需注意的问题： (1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用； （2）分式 中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0； （3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （4）分式有无意义的条件：在分式 中， ①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0． ②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0． ③当B≠0且A = 0时，分式的值为零． 考点二、分式的运算 1．基本运算法则 分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下: （1）加减运算 错误！未找到引用源。±错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。 同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减. ； 异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同分母分式的加减法则进行计算. （2）乘法运算 两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积作为积的分母. （3）除法运算 两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘. （4）乘方运算 （分式乘方） 分式的乘方，把分子分母分别乘方． 2．零指数 3．负整数指数 4．分式的混合运算顺序 先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的． 5．约分 把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约分． 约分需明确的问题： (1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个因式，使约分前后分式的值相等； (2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次幂的积． 6．通分 根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这一过程称为分式的通分． 通分注意事项： (1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数的最小公倍数与所有因式的最高次幂的积． . 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 (2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分式中的分母丢掉． (3)确定最简公分母的方法： 最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数； 最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积. 要点诠释： 分式运算的常用技巧 （1）顺序可加法：有些异分母式可加,最简公分母很复杂,如果采用先通分再可加的方法很繁琐.如果先把两个分式相加减,把所得结果与第三个分式可加减,顺序运算下去,极为简便. (2)整体通分法：当整式与分式相加减时,一般情况下,常常把分母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算,运算简便. (3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用分式 111??进行裂项. n(n?1)nn?1(4)分组运算法: 当有三个以上的异分母分式相加减时,可考虑分组,原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数,且值相同或为倍数关系,这样才能使运算简便. (5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减. （6）倒数法求值（取倒数法）. （7）活用分式变形求值. (8)设k求值法(参数法) (9)整体代换法. (10)消元代入法. 考点三、分式方程及其应用 1．分式方程的概念 分母中含有未知数的方程叫做分式方程． 2．分式方程的解法 解分式方程的关键是去分母,即方程两边都乘以最简公分母将分式方程转化为整式方程． 3．分式方程的增根问题 (1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为0的条件，当把分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0，那么就会出现不适合原方程的根---增根； (2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验根．验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解． 4．分式方程的应用 列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复杂一些．解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确列出方程，并进行求解．另外，还要注意从多角度思考、分析、解决问题，注意检验、解释结果的 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 合理性． 要点诠释： 解分式方程注意事项： （1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆； （2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解． 列分式方程解应用题的基本步骤： (1)审——仔细审题，找出等量关系； (2)设——合理设未知数； (3)列——根据等量关系列出方程； (4)解——解出方程； (5)验——检验增根； (6)答——答题． 考点四、二次根式的主要性质 1.a?0(a?0)； 2. ?a?2?a(a?0)； 3.a2?|a|???a(a?0)； ?a(a?0)?a?b(a?0，b?0)； 4. 积的算术平方根的性质：ab?5. 商的算术平方根的性质：aa?(a?0，b?0). bb6.若a?b?0，则a?要点诠释： b. 与的异同点： （1）不同点：与表示的意义是不同的， 中 表示一个正数a的算术平方根的平方，而，而 中a可以是正实数，0，负实 表示一个实数a的平方的算术平方根；在 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 数．但 与 都是非负数，即 ， ．因而它的运算的结果是有差别的， ，而 （2）相同点：当被开方数都是非负数，即而 . 时，=；时，无意义， 考点五、二次根式的运算 1．二次根式的乘除运算 (1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理式；②分母中不含根号. (2)注意知道每一步运算的算理； (3)乘法公式的推广： a1?a2?a3??an?a1?a2?a3??an(a1?0，a2?0，a3?0，，an?0) 2．二次根式的加减运算 先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减运算的实质； 3．二次根式的混合运算 (1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的； (2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合运算中也同样适用. 要点诠释： 怎样快速准确地进行二次根式的混合运算. 1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的； 2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用； 3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果. (1)加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分，达到化简的目的，但最后结果一定要化简. ?8?8?2?6例如?，没有必要先对进行化简，使计算繁琐，可以先根据乘法分配律进行??27?27??乘法运算，??8??2??27??6???84?6?2?6??23，通过约分达到化简目的； 27322(2)多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样适用. 如： ?3?2??3?2??????3?2?1，利用了平方差公式. 所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算简化. 4．分母有理化 把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式： （1）a与a互为有理化因式； （2）a?b与a?b互为有理化因式；一般地a?cb与a?cb互为有理化因式； （3）a?b与a?b互为有理化因式；一般地ca?db与ca?db互为有理化因式. 【典型例题】 类型一、分式的意义 x2?11．若分式的值为0，则x的值等于 ． x?1【答案】1； 【解析】由分式的值为零的条件得x﹣1=0，x+1≠0， 由x﹣1=0，得x=﹣1或x=1， 由x+1≠0，得x≠﹣1， ∴x=1， 故答案为1． 【总结升华】若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺 一不可． 举一反三： 223x2?27【变式1】如果分式的值为0，则x的值应为 . x?3【答案】由分式的值为零的条件得3x-27=0且x-3≠0， 由3x-27=0，得3（x+3）（x-3）=0， ∴x=-3或x=3， 由x-3≠0，得x≠3． 2 2 3x2?27综上，得x=-3，分式的值为0．故答案为：-3． x?31不论x取何实数总有意义，则m的取值范围是 ． 2x?2x?m1【答案】若分式2不论x取何实数总有意义，则分母x2?2x?m≠0， x?2x?m【变式2】若分式 设y?x?2x?m，当△＜0即可，4?4m＜0,m＞1. 答案m＞1. 类型二、分式的性质 2资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 abcb?cc?aa?b的值. ??,求 abc?a?b??b?c?(c?a)2．已知 【答案与解析】 设 b?cc?aa?b???k, abc所以b?c?ak,c?a?bk,a?b?ck 所以b?c?c?a?a?b?ak?bk?ck, 所以2(a?b?c)?k(a?b?c),(a?b?c)(2?k)?0, 即k?2或(a?b?c)?0, abc11??, abck3k38当a?b?c?0,所求代数式??1. 1即所求代数式等于或?1. 8当k?2,所求代数式?【总结升华】当已知条件以此等式出现时，可用设k法求解. 举一反三： 【变式】已知【答案】 因为 111111111abc的值. ??,??,??,求 ab6bc9ac15ab?bc?ac111111111??,??,??, ab6bc9ac15111?111?????2???, 6915?abc?各式可加得?所以 11131， ???abc180abcabc?(abc)1180所以???. 111ab?bc?ac(ab?bc?ac)?(abc)31??cab 类型三、分式的运算 x2y2z2xyz?????1,且x?y?z?0,求3．已知的值. y?zx?zx?yy?zz?xx?y【答案与解析】 因为x?y?z?0, 所以原等式两边同时乘以x?y?z,得: 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 x(x?y?z)y(x?y?z）z(x?y?z)???x?y?z. y?zz?xx?yx2x(y?z)y2y(z?x)z2z(x?y)??????x?y?z, 即 y?zy?zz?xz?xx?yx?yx2y2z2???(x?y?z)?x?y?z, 所以 y?zz?xx?yx2y2z2???0. 所以 y?zz?xx?y【总结升华】 条件分式的求值，如需把已知条件或所示条件分式变形，必须依据题目自身的特点，这样才能到事半功倍的效果，条件分式的求值问题体现了整体的数学思想和转化的数学思想. 举一反三： 【变式1】已知【答案】 xyzabc?a,?b,?c,且abc?o,求的值. ??y?zx?zx?ya?1b?1c?11y?z?, ax1y?zx?y?za?1x?y?z所以?1?, ?1?,即?axxax由已知得所以 ax?, a?1x?y?zbycz?,?, b?1x?y?zc?1x?y?zabcxyzx?y?z???????1. a?1b?1c?1x?y?zx?y?zx?y?zx?y?zy?1x?1的值． ?x?1y?12同理 所以 【变式2】已知x＋y=－4，xy=－12，求 2(y?1)2?(x?1)2y?2y?1?x?2x?1【答案】原式?= (x?1)(y?1)xy?x?y?1(x?y)2?2xy?2(x?y)?2? xy?(x?y)?1将x＋y＝－4，xy＝－12代入上式， 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 (?4)2?24?2?(?4)?234∴原式???? ?12?4?115 类型四、分式方程及应用 4．a何值时,关于x的方程【答案与解析】 方程两边都乘以(x?2)(x?2),得2(x?2)?ax?3(x?2). 整理得(a?1)x??10. 当a = 1 时,方程无解. 当a?1时,x??2ax3会产生增根? ?2?x?2x?4x?210. a?1如果方程有增根,那么(x?2)(x?2)?0,即x?2或x??2. 10?2,所以a??4; a?110当x??2时,???2,所以a = 6 . a?1所以当a??4或a = 6原方程会产生增根. 【总结升华】 因为所给方程的增根只能是x?2或x??2，所以应先解所给的关于x的分式方程，求出 当x?2时,?其根，然后求a的值. 5．甲．乙两人准备整理一批新到的实验器材．若甲单独整理需要40分钟完工：若甲．乙 共同整理20分钟后，乙需再单独整理20分钟才能完工． （1）问乙单独整理多少分钟完工？ （2）若乙因工作需要，他的整理时间不超过30分钟，则甲至少整理多少分钟才能完工？ 【答案与解析】 （1）设乙单独整理x分钟完工，根据题意得： 2020?20??1 40x解得x＝80， 经检验x＝80是原分式方程的解． 答：乙单独整理80分钟完工． （2）设甲整理y分钟完工，根据题意，得 30y??1 8040解得：y≥25 答：甲至少整理25分钟完工． 【总结升华】分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．此题等量关系比较 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 多，主要用到公式：工作总量＝工作效率×工作时间． （1）将总的工作量看作单位1，根据本工作分两段时间完成列出分式方程解之即可； （2）设甲整理y分钟完工，根据整理时间不超过30分钟，列出一次不等式解之即可． 举一反三： 【变式】小明乘出租车去体育场，有两条路线可供选择：路线一的全程是25千米，但交通比较拥堵， 路线二的全程是30千米，平均车速比走路线一时的平均车速能提高80%，因此能比走路线一少用10分钟到达．若设走路线一时的平均速度为x千米/小时，根据题意，得（ ） A． 253010?? 0x(1?800）x60 B． 2530??10 0x(1?800）x C． 3025103025????10 D． (1?8000）xx60(1?8000）xx 【答案】 设走路线一时的平均速度为x千米/小时， 253010??x(1?8000）x60 故选A． 类型五、二次根式的定义及性质 6．要使式子 a?2有意义，则a的取值范围为 ． a【答案】a≥－2且a≠0． 【解析】根据题意得：a+2≥0且a≠0， 解得：a≥－2且a≠0． 故答案为：a≥－2且a≠0． 【总结升华】本题考查的考点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．可以求出 x的范围． 类型六、二次根式的运算 7．（2015春?泗阳县期末）已知m是 2 （1）求m+2m+1的值； （2）求【答案与解析】 解：依题意得m?的值． 的小数部分． 2?1， 则 1?2?1 m资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （1）原式=（m+1）=2； （2）原式=|m?2 1|=|m﹣1﹣（2?1）|=2． 【总结升华】此题考查二次根式的化简求值，掌握完全平方公式和无理数的估算是解决问题的关键． 举一反三： 【变式】（2015?苏州模拟）计算：【答案与解析】 解：原式= ﹣ +2 ． =4﹣+2 =4+． 北师大版数学中考总复习 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习：分式与二次根式—巩固练习（提高） 【巩固练习】 一、选择题 1.（2015春?合水县期末）二次根式 、 、 、 、 、 中，最简二次根式有 （ ）个． A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4个 2．分式 (x?1)(x?2)有意义的条件是（ ） (x?2)(x?1)A．x≠2 B.x≠1 C.x≠1或x≠2 D.x≠1且x≠2 3．使分式 x?2等于0的x的值是（ ） x2?4ZXDEF VEDRGFHYJUIL’P/ A.2 B.-2 C.±2 D.不存在 201220134．计算(2?1)(2?1)的结果是（ ） Hjkolp;[‘ ]’;lkjhxdgb /k,.” 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 A. 1 B. -1 C. 2?1 D. 2?1 5．小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟．设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的方程正确的是（ ） 28002800-=30 x4x28002800C．-=30 x5xA．28002800-=30 4xx28002800 D．-=30 5xx B． 6．化简甲，乙两同学的解法如下： 甲：= 乙：= 对他们的解法，正确的判断是（ ） zx A．甲、乙的解法都正确 B．甲的解法正确，乙的解法不正确 C．乙的解法正确，甲的解法不正确 D．甲、乙的解法都不正确 二、填空题 7．若a-6a+9与│b-1│互为相反数，则式子 2 ab?÷（a+b）的值为_______________. ba8．若m=2011543，则m?2m?2011m的值是 . 2012?1552b1aa?3?3??6ab(a＞0,b≥0).其中正；②；③；④??933a3ab?4b?49. 下列各式：①确的是 （填序号）. 10．当x=__________时，分式 211．（1）若x?1-1?x?(x?y)，则x?y的值为 . x?3的值为0. x?3资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 x?yy的值为 . x（2）若x?y?5,xy?3,则12．（2015?科左中旗校级一模）观察下列等式： ① = = ﹣1 ②==﹣ ③==﹣ … 回答下列问题： （1）化简： = ；（n为正整数） （2）利用上面所揭示的规律计算： + + +…+ + = ． 三、解答题 x2113．（1）已知x??3,求4的值. x?x2?1x（2）已知x?5x?1?0和x?0,求x? 14.（2015春?东莞期末）设a= ，b=2，c= ． 241的值. x4（1）当a有意义时，求x的取值范围． （2）若a、b、c为Rt△ABC三边长，求x的值． 15．一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少1500元. （1）甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？ （2）若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？ 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 522一样的，，333?116.阅读下列材料，然后回答问题. 在进行二次根式化简时，我们有时会碰上如式子，其实我们可以将其进一步化简. 55?35（一） ??3；33?3322?36??；（二） 33?3322?(3?1)2(3?1)（三） ???3?1；223?1(3?1)(3?1)(3)?1以上这种化简的步骤叫做分母有理化. 2还可以用以下方法化简： 3?123?1(3)2?12(3?1)(3?1)； ????3?1.（四） 3?13?13?13?1（1）请用不同的方法化简 ①参照（三）式得2= ； 5?32= ； 5?3②参照（四）式得（2）化简1111???…?. 3?15?37?52n?1?2n?1 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】C； 【解析】二次根式最简二次根式有 、、 、、 、 、 、 中， 共3个．故选：C． 2.【答案】D； 【解析】分式有意义，则x?2?0且x?1?0. 3.【答案】D； 【解析】令x?2?0得x??2，而当x??2时，x?4?0，所以该分式不存在值为0的情形. 2资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 4.【答案】D； mmm【解析】本题可逆用公式（ab）=ab及平方差公式，将原式化为 ?(2?1)(2?1)???故选D. 5.【答案】A； 【解析】设小玲步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的速度为4x米/分，依题意，得故选A． 6.【答案】A； 【解析】甲是分母有理化了，乙是 把3化为 (5? 二、填空题 7．【答案】 2012(2?1)?2?1. 28002800 -=30． x4x2)(5?2)了. 2 ； 3 22【解析】由已知得a?6a?9?(a?3)?0且b?1?0，解得a?3，b?1，再代入求值. 8．【答案】0； 【解析】此题主要考查了二次根式的化简，得出m= 2012+1，以及 m?2m?2011m?m[(m?1)?2012]是解决问题的关键． ∵m=543322011=2012+1， 2012?15433232∴m?2m?2011m?m(m?2m?2011)?m[(m?1)?2012]?0， 故答案为：0． 9．【答案】③④； 【解析】提示：①a≥0，b＞0；②?3,?4无意义. 10．【答案】3； 【解析】由x?3?0得x?±3.当x?3时，x?3?6?0，当x??3时，x?3??3?3?0， 所以当x?3时，分式的值为0. 11．【答案】（1）2； （2）53 ； 32 【解析】（1）由x?1?1?x，知x=1，∴(x+y)=0，∴y=-1，∴x-y=2. 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 xyxyx?y5??xy?3. yxxy3 （2）12．【答案】【解析】（1） x?y?5,xy?3,?x＞0,y＞0,?原式?； =； 故答案为：（2）= =2010?1. 三、解答题 13.【答案与解析】 + + ；2010?1. +…+…+ + （1）因为x?0，所以用x除所求分式的分子、分母. 原式?21x2?1?21x2?11(x?)2?2?1x?11. ?32?361?5, x（2）由x?5x?1?0 和x?0 ,提x?1?1?所以x?4??x2?2??2 x?x?42???1????x???2??2x??????22?(52?2)2?2?527 14.【答案与解析】 解：（1）∵a有意义， ∴8﹣x≥0， ∴x≤8； （2）方法一：分三种情况： ①当a+b=c，即8﹣x+4=6，得x=6， 222 ②当a+c=b，即8﹣x+6=4，得x=10， 222 ③当b+c=a，即4+6=8﹣x，得x=﹣2， 又∵x≤8， ∴x=6或﹣2； 222 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 方法二：∵直角三角形中斜边为最长的边，c＞b ∴存在两种情况， ①当a+b=c，即8﹣x+4=6，得x=6， 222 ②当b+c=a，即4+6=8﹣x，得x=﹣2， ∴x=6或﹣2． 15.【答案与解析】 （1）设甲公司单独完成此工程x天，则乙公司单独完成此项工程1.5x天， 根据题意，得 2 2 2 111??，解之得，x=20, x1.5x12经检验知x=20是方程的解且符合题意，1.5x=30, 答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天. （2）设甲公司每天的施工费y元，则乙公司每天的施工费（y-1500）元， 根据题意，得12（y+y-1500）=102000, 解之得，y=5000. 甲公司单独完成此工程所需施工费：20×5000=100000（元） ， 乙公司单独完成此工程所需施工费：30×（5000-1500）=105000 （元）， 故甲公司的施工费较少. 16.【答案与解析】 （1）①22(5?3)??5?3. 5?3(5?3)(5?3)25?3(5)2?(3)2(5?3)(5?3)②????5?3. 5?35?35?35?3111???…?3?15?37?5（2）11?(3?1?5?3?7?2n?1?2n?12 5? 1?2n?1?2n?1)?(2n?1?1). 2资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 北师大版数学中考总复习 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习：数与式综合复习—知识讲解（提高） 【考纲要求】 (1) 借助数轴理解相反数和绝对值的意义，会求有理数的倒数、相反数与绝对值．理解有理数的运算 律，并能运用运算律简化运算； （2）了解平方根、算术平方根、立方根的概念，了解无理数和实数的概念，知道实数与数轴上的点一 一对应；会用根号表示数的平方根、立方根．了解二次根式的概念及其加、减、乘、除运算法则，会用它们进行有关实数的简单四则运算； （3）了解整式、分式的概念，会进行简单的整式加、减运算；会进行简单的整式乘法运算．会利用分 式的基本性质进行约分和通分，会进行简单的分式加、减、乘、除运算． 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、实数的有关概念、性质 1．实数及其分类 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 实数可以按照下面的方法分类： 实数还可以按照下面的方法分类： 要点诠释： 整数和分数统称有理数．无限不循环小数叫做无理数． 有理数和无理数统称实数． 2．数轴 规定了原点、正方向和单位长度的直线叫做数轴．每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数．实数和数轴上的点是一一对应的关系． 要点诠释： 实数和数轴上的点的这种一一对应的关系是数学中把数和形结合起来的重要基础． 3．相反数 实数a和-a叫做互为相反数．零的相反数是零． 一般地，数轴上表示互为相反数的两个点，分别在原点的两旁，并且离原点的距离相等． 要点诠释： 两个互为相反数的数的运算特征是它们的和等于零，即如果a和b互为相反数，那么a+b＝0；反过来，如果a+b＝0，那么a和b互为相反数． 4．绝对值 一个实数的绝对值就是数轴上表示这个数的点与原点的距离． 一个正实数的绝对值是它本身；一个负实数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即 如果a＞0，那么|a|＝a； 如果a＜0，那么|a|＝-a； 如果a＝0，那么|a|＝0． 要点诠释： 从绝对值的定义可以知道，一个实数的绝对值是一个非负数． 5．实数大小的比较 （1）在数轴上表示两个数的点，右边的点所表示的数较大． （2）正数都大于0；负数都小于0，两个负数绝对值大的那个负数反而小. （3）对于实数a、b,a-b＞0?a＞b；a-b=0?a=b；a-b＜0?a＜b. 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 要点诠释： 常用方法：①数轴图示法；②作差法；③作商法；④平方法等. 6．有理数的运算 (1)运算法则(略)． (2)运算律： 加法交换律 a+b＝b+a； 加法结合律 (a+b)+c＝a+(b+c)； 乘法交换律 ab＝ba； 乘法结合律 (ab)c＝a(bc)； 分 配 律 a(b+c)＝ab+ac． (3)运算顺序：在加、减、乘、除、乘方、开方这六种运算中，加、减是第一级运算，乘、除是第二级运算，乘方、开方是第三级运算．在没有括号的算式中，首先进行第三级运算，然后进行第二级运算，最后进行第一级运算，也就是先算乘方、开方，再算乘、除，最后算加、减． 算式里如果有括号，先进行括号内的运算． 如果只有同一级运算，从左到右依次运算． 7．平方根 2 如果x＝a，那么x就叫做a的平方根(也叫做二次方根)． 要点诠释： 正数的平方根有两个，它们互为相反数；零的平方根是零；负数没有平方根． 8．算术平方根 正数a的正的平方根，叫做a的算术平方根．零的算术平方根是零． 要点诠释： 从算术平方根的概念可以知道，算术平方根是非负数． 9．近似数及有效数字 近似地表示某一个量准确值的数，叫做这个量准确值的近似数．一个近似数，四舍五入到哪一位，就说这个近似数精确到哪一位．这时，从左边第一个不是0的数字起，到精确到的数位止，所有的数字都叫这个数的有效数字． 10．科学记数法 把一个数记成±a×10的形式(其中n是整数，a是大于或等于1而小于10的数)，称为用科学记数法表示这个数． 考点二、二次根式、分式的相关概念、性质 1．二次根式的概念 形如a(a≥0) 的式子叫做二次根式． 2．最简二次根式和同类二次根式的概念 最简二次根式是指满足下列条件的二次根式： (1)被开方数不含分母； (2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式． 几个二次根式化成最简二次根式以后，如果被开方数相同，这几个二次根式就叫做同类二次根式． 要点诠释： 把分母中的根号化去，分式的值不变，叫做分母有理化.两个含有二次根式的代数式相乘，若它们的积不含二次根式，则这两个代数式互为有理化因式. 常用的二次根式的有理化因式： n资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （1）a与a互为有理化因式； （2）a?b与a?b互为有理化因式；一般地a?cb与a?cb互为有理化因式； （3）a?b与a?b互为有理化因式；一般地ca?db与ca?db互为有理化因式. 3．二次根式的主要性质 （1）a?0(a?0)； （2） ?a?2?a(a?0)； （3）a2?|a|???a(a?0)； ??a(a?0)a?b(a?0，b?0)； （4）积的算术平方根的性质：ab?（5）商的算术平方根的性质：aa?(a?0，b?0). bb4． 二次根式的运算 (1)二次根式的加减 二次根式相加减，先把各个二次根式化成最简二次根式，再把同类二次根式分别合并． (2)二次根式的乘除 二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变． 要点诠释： 二次根式的混合运算： 1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的； 2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用； 3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果. 5．代数式的有关概念 (1)代数式：用运算符号(加、减、乘、除、乘方、开方)把数或表示数的字母连接而成的式子，叫做代数式． 用数值代替代数式里的字母，计算后所得的结果，叫做代数式的值． 代数式的分类： (2)有理式：只含有加、减、乘、除、乘方运算(包含数字开方运算)的代数式，叫做有理式． (3)整式：没有除法运算或者虽有除法运算但除式里不含字母的有理式叫做整式． 整式包括单项式和多项式． (4)分式：除式中含有字母的有理式，叫做分式．分式的分母取值如果为零，分式没有意义． 6．整式的运算 (1)整式的加减：整式的加减运算，实际上就是合并同类项．在运算时，如果遇到括号，根据去括号法则，先去括号，再合并同类项． (2)整式的乘法： 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ①正整数幂的运算性质： aman?am?n； (am)n?amn； (ab)m?ambm； am?an?am?n(a≠0，m＞n)． 其中m、n都是正整数． ②整式的乘法：单项式乘单项式，用它们的系数的积作为积的系数，对于相同字母，用它们的指数的和作为积里这个字母的指数，对于只在一个单项式里含有的字母，连同它的指数作为积的一个因式． 单项式乘多项式，用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 多项式乘多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． ③乘法公式： (a?b)(a?b)?a2?b2； (a?b)2?a2?2ab?b2． ④零和负整数指数：在a?a?amnm?n(a≠0，m，n都是正整数)中，当m＝n时，规定a?1； ?p0当m＜n时，如m-n＝-p(p是正整数)，规定a?1． ap7．因式分解 （1）因式分解的概念 把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解． 在因式分解时，应注意： ①在指定数(有理数、实数)的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，题目中没有 指定数的范围，一般是指在有理数范围内分解． ②因式分解以后，如果有相同的因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简． （2）因式分解的方法 ①提公因式法：ma+mb+mc＝m(a+b+c)． ②运用公式法：a?b?(a?b)(a?b)；a?2ab?b?(a?b)； ③十字相乘法：x?(a?b)x?ab?(x?a)(x?b)． ④运用求根公式法：若ax?bx?c?0(a?0)的两个根是x1、x2， 则有：ax?bx?c?a(x?x1)(x?x2). （3）因式分解的步骤 ①多项式的各项有公因式时，应先提取公因式； ②考虑所给多项式是否能用公式法分解． 22222222资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 要点诠释： 因式分解时应注意:①在指定数（有理数、实数）的范围内进行因式分解，一定要分解到不能再分解为止，若题目中没有指定数的范围，一般是指在有理数范围内因式分解；②因式分解后，如果有相同因式，应写成幂的形式，并且要把各个因式化简，同时每个因式的首项不含负号；③多项式的因式分解是多项式乘法的逆变形. 8．分式 （1）分式的概念 形如 A的式子叫做分式，其中A和B均为整式，B中含有字母，注意B的值不能为零． B （2）分式的基本性质 分式的分子与分母都乘(或除以)同一个不等于零的整式，分式的值不变． AA?MAA?M，?．(其中M是不等于零的整式) ?BB?MBB?M要点诠释： 分式有意义?分母≠0； 分式无意义?分母=0； 分式值为0 ???分子=0， ?分母≠0.?分子=分母，分式值为1?? 分母≠0.?分式值为正?分子、分母同号. 分式值为负?分子、分母异号. （3）分式的运算 ①加减法： aba?bacad?bc，??． ??cccbdbdacac②乘法：． ?bdbdacadad③除法：??． ?bdbcbcnan?a?④乘方：???n（n为正整数）． ?b?b要点诠释： 解分式方程的注意事项： （1）去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆； （2）解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0，如果为0，即为增根，不为0，就是原方程的解． 列分式方程解应用题的基本步骤： (1)审——仔细审题，找出等量关系； (2)设——合理设未知数； 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 (3)列——根据等量关系列出方程； (4)解——解出方程； (5)验——检验增根； (6)答——答题． 【典型例题】 类型一、实数的概念、运算及因式分解 1．在数轴上表示a、b、c三个数的点的位置如图所示．化简：|a-b|+|a-c|-|b+c|． 【思路点拨】通过观察数轴得到a、b、c的符号，通过确定绝对值里的式子的符号，来去掉绝对值符号. 【答案与解析】 由上图可得b＜c＜0＜a， ∴ a-b＞0，a-c＞0，b+c＜0． ∴ |a-b|+|a-c|-|b+c|＝(a-b)+(a-c)-(-b-c)＝2a． 【总结升华】由绝对值的定义我们知道： 如果m＞0，那么|m|＝m；如果m＜0，那么|m|＝-m；如果m＝0，那么|m|＝0． 要去掉绝对值符号，首先要弄清m的值是正、是负，还是零． 举一反三： 【变式】阅读下面的材料，回答问题： 点A、B在数轴上分别表示实数a、b，A、B两点之间的距离表示为AB．当A、B两点中有一点在原点时，不妨设点A在原点，如图1-1，AB?OB?b?a?b；当A、B两点都不在原点时： （1）如图1-2，点A、B都在原点的右边，AB?OB?OA?b?a?b?a?a?b； O（A） 0 图1-1 O 0 A a 图1-2 （2）如图1-3，点A、B都在原点的左边， AB?OB?OA?b?a??b?(?a)?a?b?a?b； （3）如图1-4，点A、B在原点的两边，AB?OA?OB?a?b?a?(?b)?a?b?a?b． B b B b 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 B b 图1-3 B b O 0 图1-4 综上，数轴上A、B两点之间的距离AB?a?b． 回答下列问题： （1）数轴上表示2和5的两点之间的距离是 ；数轴上表示－2和－5的两点之间的距离是 ；数轴上表示1和－3的两点之间的距离是 ． （2）数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是 ．如果AB?2，那么x= ． 【答案】（1）3，3，4；（2）x?1或x??3． 依据阅读材料，所获得的结论为AB?a?b，结合各问题分别代入求解． （1）2?5?3,?2?(?5)?3,1?(?3)?4；（2）AB?x?(?1)?x?1； 因为AB?2，所以x?1?2，所以x?1?2或x?1??2．所以x?1或x??3． A a O 0 A a 2．（2014春?当涂县校级期中）分解因式． 2243 （1）﹣18xy+9x﹣6xy． 22 （2）1﹣m﹣n+2mn． 23 （3）﹣a+2a﹣a． 【思路点拨】如果多项式各项含有公因式，就先提出这个公因式，再进一步分解因式．分解因式必须进行到每一个因式都不能再分解为止． 【答案与解析】 2243222 解：（1）﹣18xy+9x﹣6xy=﹣3x（6y﹣3x+2xy）； 222 （2）1﹣m﹣n+2mn=1﹣（m﹣n）=（1+m﹣n）（1﹣m+n）； 2322 （3）﹣a+2a﹣a=﹣a（1﹣2a+a）=﹣a（1﹣a）． 【总结升华】 (1)如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出负号，使括号内的第一项系数是正数，以便于观察是否可以进一步分解因式． (2)在提取公因式时，一是要真确确定公因式，二是要注意一步到位；分解因式一定要彻底． 举一反三： 【变式】分解因式：1?2a?a?b= ． 【答案】本题是四项，应采用分组分解法，分组分解法主要有两种，一是二二分组，另一种是一三分组， 22资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 本题应采用一三分组法进行分解． 原式?(1?2a?a)?b?(1?a)?b?(1?a?b)(1?a?b)． 2222类型二、分式的有关运算 3．我们把分子为1的分数叫做单位分数．如不同的单位分数的和，如 111，，…，任何一个单位分数都可以拆分成两个234111111111??，??，??，… 23634124520111（1）根据对上述式子的观察，你会发现??，请写出□，○所表示的数； 5?（2）进一步思考，单位分数 111（n是不小于2的正整数）＝?，请写出△，⊙所表示的式，n?并加以验证． 【思路点拨】等式右边的第一个分母是左边的分母加1，第二个分母是前两个分母的乘积，如果设左边 的分母为n，则右边第一个分母为（n＋1），第二个分母为n（n＋1）． 【答案与解析】 （1）□表示的数为6，○表示的数为30；（2）△表示的式为n?1，⊙表示的式为n(n?1)． n?1111n1?????验证：，所以上述结论成立． n?1n(n?1)n(n?1)n(n?1)n(n?1)n【总结升华】通过对三组式子的观察，不难找出规律． 举一反三： 【变式】若0＜x＜1，则x、、x2的大小关系是( )． 1x11?x?x2 B．x??x2 xx11C．x2?x? D．?x2?x xxA． 【答案】C. 4．计算?x?1?x?4?x?2?(2?x)2． ??22x?x?2xx?4x?4?【思路点拨】在进行分式的四则运算时，一定要注意按运算顺序进行，并注意结合题目的具体情况及时 化简，以便简化运算过程． 【答案与解析】 ?x?1?x?4?x?2?(2?x)2 ??22x?x?2xx?4x?4?资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ?x?2x?1????2??x(x?2)(x?2)??x?2x(x?2)x(x?2)2 x?4x(x?2)2 x?4xx?1(x?2)2?x?4(x?2)2x2?4x2?x(x2?4)?(x2?x)??? x?4x?4x?4?x?4?1． x?4【总结升华】在进行分式的四则运算时，要注意利用运算律，寻找合理的运算途径． 举一反三： 1x3?3x?4?【变式】计算x?． 1?xx2?11x3?3x?4?【答案】 x? 21?xx?11x3?3x?4x3?x?x?1?x3?3x?4?x??? x?1(x?1)(x?1)(x?1)(x?1)?3x?33(x?1)3??． (x?1)(x?1)(x?1)(x?1)x?1 类型三、二次根式的运算 5．已知 【思路点拨】这是一道二次根式化简题，在化为最简二次根式的过程中，要注意a，b的符号，本题中 没明确告诉a，b的符号，但可从a+b=-9，ab=12中分析得到. 【答案与解析】 ∵a+b=-9，ab=12，∴a＜0，b＜0. ?bababab?a?b·?a·??2ab??212??43. ba?b?a【总结升华】 1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的； 2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘法公式仍然适用； 3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果. 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 举一反三： 【变式】估计32×1+20的运算结果应在 （ ） 2 B. 7到8之间 D. 9到10之间 A. 6到7之间 C. 8到9之间 【答案】本题应计算出所给算式的结果，原式?16?20?4?25，由于4＜5＜6.25， 即2＜5＜2.5，所以8＜4?25＜9. 故选C. 6．若a，b为实数，且b=3?5a?5a?3?15，试求baba??2???2的值. abab【思路点拨】本题中根据b=3?5a?5a?3?15可以求出a，b，再对开方数进行配方、化简. 【答案与解析】 由二次根式的性质得?ba??2?abba??2的被ab?3?5a≥0，3?3?5a?0.?a?. 5?5a?3≥0，?b?15，?a?b＞0,a?b＜0.ab＞0， baba(a?b)2(a?b)2??2???2??ababababa?bb?a?ab?ababab ?a?bb?a?????abab??ab2?ab.b当a?，b?15时，原式?35232?15?. 1555(a?b)2(a?b)2baba【总结升华】对于形如+?2或??2形式的代数式都要变为或的形式，当它 abababab们作为被开方式进行化简时，要注意a?b和a?b以及ab的符号. 举一反三： 【变式】(1) 若m2?n2?6，且m?n?2，则m?n? ． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 (2)若0?a?1,【答案】(1)3；(2)-2. 11的值． ?a?6，求a?aa类型四、数与式的综合运用 7．（2014秋?延平区校级月考）如图，用相同规格的黑白两色的正方形瓷砖铺设矩形地面，请观察 下列图形并解答有关问题： （1）在第n个图中，共有瓷砖 块，其中白色瓷砖 块，黑色瓷砖 块（均用含n的代数式表示）； （2）按上述铺设方案，铺设一块这样的矩形地面共用了1056块瓷砖，求此时n的值； （3）若黑瓷砖每块4元，白瓷砖每块3元，则问题（2）中，共花多少元购买瓷砖？ 【思路点拨】（1）根据第n个图形的白瓷砖的每行有（n+1）个，每列有n个，即可表示白瓷砖的数量，再让总数减去白瓷砖的数量即为黑瓷砖的数量； （2）当y=1056时可以代入（1）中函数关系式求出n； （3）和（1）一样可以推出白瓷砖的总块数为（n+1）×n，然后可以推出黑瓷砖数目，再根据已知条件即可计算出钱数； 22 【答案与解析】解：（1）在第n个图中，共有瓷砖（n+5n+6）块，其中白色瓷砖（n+n）块， 黑色瓷砖（4n+6）块（均用含n的代数式表示）； （2）依题意得：n+5n+6=1056， 2 整理得：n+5n﹣1050=0， 解得：n=﹣35（舍去），n=30， 答：此时n的值为30； （3）当n=30时 4（4n+6）+3（n+n）=4×（4×30+6）+3（30+30）=3294（元）， 答：共花费3294元购买瓷砖． 【总结升华】考查了图形的变化规律：解决此题的关键是能够正确结合图形用代数式表示出黑、白瓷砖的数量，再根据题意列方程求解． 2 2 2 北师大版数学中考总复习 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习：数与式综合复习—巩固练习（提高） 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【巩固练习】 一、选择题 22 1. 把多项式1-x+2xy-y分解因式的结果是（ ） A.(1?x?y)(1?x?y) B.(1?x?y)(1?x?y) C.(1?x?y)(1?x?y) D.(1?x?y)(1?x?y) 2．按一定的规律排列的一列数依次为： 7个数是（ ） A． 111111,,,,,┅┅，按此规律排列下去，这列数中的第23101526351111 B． C． D． 45404650 3．根据下表中的规律，从左到右的空格中应依次填写的数字是（ ） 000 110 010 111 001 111 A．100，011 B．011，100 C．011，101 D．101，110 4．在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝半径增大1米，需增加m米长的铁丝．假设地球 赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n的大小关系是（ ） A．m＞n B．m＜n C．m=n D．不能确定 5．将一张长方形纸片对折，可得到一条折痕，继续对折，对折时每次折痕与上次折痕保持平行，那么 对折n次后折痕的条数是 （ ） nnA．2n－1 B．2n＋1 C．2－1 D．2＋1 6．（2015秋?重庆校级月考）如图图案都是同样大小的小正方形按一定的规律组成的，其中第1个图形中有5个小正方形，第2个图形有13个小正方形，第3个图形有25个小正方形，…，按此规律，则第8个图形中小正方形的个数为（ ） A．181 二、填空题 7．若非零实数a，b满足4a?b?4ab，则 22B．145 C．100 D．88 b= ． ax2?18．已知分式，当x＝ 时，分式的值为0． (x?2)(x?1)资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （x+y）?4(x?y?1)= . 9．在实数范围内分解因式 10. （2015秋?平山区校级月考）化简： （1）当x≥0时，（2）当a≤0时， = ； = ； = ． 2（3）当a≥0，b＜0时， 11．德国数学家莱布尼兹发现了下面的单位分数三角形（单位分数是分子为1，分母为正整数的分数）： 第一行 1111 22111第三行 3631111第四行 41212411111 第五行 52030205第二行 … …… … 根据前五行的规律，可以知道第六行的数依次是： ． 12．让我们轻松一下，做一个数字游戏： 第一步：取一个自然数n1=5 ，计算n1+1得a1； 第二步：算出a1的各位数字之和得n2，计算n2+1得a2； 第三步：算出a2的各位数字之和得n3，再计算n3＋1得a3； ………… 依此类推，则a2012=_______________． 三、解答题 13．（2015春?碑林区期中）图①是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形． 22 2 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （1）图②中的阴影部分的面积为 ； （2）观察图②，三个代数式（m+n），（m﹣n），mn之间的等量关系是 ； （3）观察图③，你能得到怎样的代数等式呢？ （4）试画出一个几何图形，使它的面积能表示（m+n）（m+3n）； （5）若x+y=﹣6，xy=2.75，求x﹣y的值． 14．阅读下列题目的计算过程： 2 2 x?32 ?x2?11?x＝ x?32(x?1)? （A） (x?1)(x?1)(x?1)(x?1)＝（x－3）－2（x－1） （B） ＝x－3－2x＋1 （C） ＝－x－1 （D） （1）上述计算过程中，从哪一步开始出现错误？请写出该步的代号 ． （2）错误的原因 ． （3）本题目正确的结论为 ． x2x15．已知2的值. ?7,求42x?x?1x?x?1 16. 设S1=1?设S?11111111S=1??,,,…, ?S=1??S=1??n23n2(n?1)2122222323242S1?S2?...?Sn，求S的值 (用含n的代数式表示，其中n为正整数)． 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】A； 【解析】1?x?2xy?y?1?(x?2xy?y)?1?(x?y)?(1?x?y)(1?x?y)． 2.【答案】D； 【解析】每个分数的分子均为1，分母为n?1或n?1（当n为奇数时加1，当n为偶数时减1）， 7为奇数，因而其分母为7?1?50． 3.【答案】B； 【解析】通过观察，不难发现两个并排的短横表示0，而一条长横表示1，所表示的数是从上往下看， 因而表格中的两个空格中所填的数这011和100 ． 22222222资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 4.【答案】C； 【解析】设地球仪赤道半径为r，则m?2?(r?1)?2?r?2?；设地球赤道半径为R， 则n?2?(R?1)?2?R?2?，所以相等． 5.【答案】C； 【解析】除了第一次对折得到1条折痕，其后，每次对折所得折痕都是上次多出来的折痕的两倍． 6.【答案】B； 【解析】∵第1个图案中小正方形的个数为3+1+1=5； 第2个图案中小正方形的个数为5+3+1+3+1=13； 第3个图案中小正方形的个数为7+5+3+1+5+3+1=25； … 22 ∴第n个图形的小正方体的个数（n+1）+n； 22 ∴第8个图形中小正方形的个数为9+（9﹣1）=81+64=145个．故选：B． 二、填空题 7．【答案】2； 22【解析】将原式改写为4a?4ab?b?0，所以(2a?b)?0，可求出b=2a． 28．【答案】－1； 【解析】由题意x?1?0且(x?2)(x?1)?0，所以x=－1． 2（x+y-2）； 9．【答案】 【解析】此题如果按一般方法去分解，须将(x?y)展开，结果将问题复杂化了，其实原式可化 2(x?y)?4(x?y)?4，将x?y看成一个整体，再用公式法分解因式. 为 22(x?y)2?4(x?y?1). ?(x?y)2?4(x?y)?4?(x?y?2)210．【答案】3x；﹣a；﹣3ab 【解析】解：（1）∵x≥0， ∴ =|3x|=﹣3x， 故答案为：3x． （2）∵a≤0， ∴ =|a| =﹣ a， 故答案为：﹣a． （3）∵a≥0，b＜0， 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ∴ =|3ab| ． =﹣3ab ， 故答案为：﹣3ab11．【答案】 111111、、、、、； 6306060306 【解析】每行中相邻两个数相加等于上一行中间的数值． 12．【答案】65； 【解析】本题是一道关于数字猜想的问题，关键是通过归纳与总结，得到其中的规律． 由题目得，a1=26；n2=8，a2=65；n3=11，a3=122；看不出什么规律，那就继续：n4=5，a4=26；…； 这样就发现规律：每三个为一个循环，2012÷3=670……2；即a2012= a2=65．答案为65. 三、解答题 13.【答案与解析】 2 解：（1）阴影部分的边长为（m﹣n），所以阴影部分的面积为（m﹣n）； 2 故答案为：（m﹣n）； 22 （2）（m+n）﹣（m﹣n）=4mn； 22 故答案为：（m+n）﹣（m﹣n）=4mn； 22 （3）（m+n）（2m+n）=2m+3mn+n； （4）答案不唯一： （5）（x﹣y）=（x+y）﹣4xy=（﹣6）﹣2.75×4=25， ∴x﹣y=±5． 14.【答案与解析】 （1）B ； （2）去分母； （3） 2 2 2 x?32? x2?11?x?x?3?2x?2x?32(x?1)?x?11????． (x?1)(x?1)(x?1)(x?1)1?x(x?1)(x?1)(x?1)(x?1) 15.【答案与解析】 x 因为 2?7,所以 x?x?1x2?x?1118?, 所以 ,即x??, x7x7资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 x4?x2?111?15?2所以 ?x??1?x??1???22xxx?49?x249?. 所以 42x?x?115 16.【答案与解析】 2Sn?1?111121112?1?[?]?2?1?[]?2?== n2(n?1)2n(n?1)n(n?1)n(n?1)n(n?1)1]2 n(n?1)=[1?∴S=(1?1111))+(1?)+(1?)+…+(1?n(n?1) 1?22?33?411111?????22334 1 =n?1?n?1 =n?1?n2?2n?. n?1（利用拆项 ?11 ?nn?1111??即可求和）． n(n?1)nn?1北师大版数学中考总复习 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习：一次方程及方程组--知识讲解 【考纲要求】 1.了解等式、方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程； 2.了解二元一次方程组的定义，会用代入消元法、加减消元法解二元一次方程组； 3.能根据具体问题中的数量关系列出方程（组），体会方程思想和转化思想. 【知识网络】 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【考点梳理】 考点一、一元一次方程 1.等式性质 （1）等式的两边都加上(或减去)同一个数（或式子），结果仍是等式. （2）等式的两边都乘以（或除以）同一个数（除数不为零），结果仍是等式. 2.方程的概念 （1）含有未知数的等式叫做方程. （2）使方程两边相等的未知数的值，叫做方程的解(一元方程的解也叫做根). （3）求方程的解的过程，叫做解方程. 3.一元一次方程 （1）只含有一个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程叫做一元一次方程. （2）一元一次方程的一般形式:ax?b?0(a?0). （3）解一元一次方程的一般步骤： ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化成1；⑥检验(检验步骤可以不写出来). 要点诠释： 解一元一次方程的一般步骤 ．．步名 称 骤 方 法 在方程两边同时乘以所有分母的最小公倍数（即把每个含分母的部分和不含分母的部分都乘以所有分母的最小公倍数） 去括号法则（可先分配再去括号） 把未知项移到方程的一边（左边），常数项移到另一边依 据 注 意 事 项 1 去分母 等式性质2 1、不含分母的项也要乘以最小公倍数；2、分子是多项式的一定要先用括号括起来. 注意正确的去掉括号前带负数的括号 移项一定要改变符号 2 3 去括号 移项 乘法分配律 等式性质1 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （右边） 合并 分别将未知项的系数相加、同类常数项相加 项 系数在方程两边同时除以未知数化为的系数（或方程两边同时乘以“1” 未知数系数的倒数） 1、整式的加减； 2、有理数的加法法则 等式性质2 4 单独的一个未知数的系数为“±1” 5 不要颠倒了被除数和除数（未知数的系数作除数——分母） *6 方法：把x=a分别代入原方程的两边，分别计算出结果. 检根 ① 若 左边＝右边，则x=a是方程的解； x=a ② 若 左边≠右边，则x=a不是方程的解. 注：当题目要求时，此步骤必须表达出来. 说明： （1）上表仅说明了在解一元一次方程时经常用到的几个步骤，但并不是说，解每一个方程都必须经过六个步骤； （2）解方程时，一定要先认真观察方程的形式，再选择步骤和方法； （3）对于形式较复杂的方程，可依据有效的数学知识将其转化或变形成我们常见的形式，再依照一般方法解. 考点二、二元一次方程组 1. 二元一次方程组的定义 两个含有两个未知数，且未知数的次数是一次的整式方程组成的一组方程，叫做二元一次方程组. 要点诠释： 判断一个方程组是不是二元一次方程组应从方程组的整体上看，若一个方程组内含有两个未知数，并且未知数的次数都是1次，这样的方程组都叫做二元一次方程组． 2.二元一次方程组的一般形式 ?a1x?b1y?c1 ?ax?by?c?222要点诠释： a1、a2不同时为0，b1、b2不同时为0，a1、b1不同时为0，a2、b2不同时为0. 3. 二元一次方程组的解法 (1) 代入消元法； (2) 加减消元法. 要点诠释： （1）二元一次方程组的解有三种情况，即有唯一解、无解、无限多解．教材中主要是研究有唯一解的情况，对于其他情况，可根据学生的接受能力给予渗透． （2）一元一次方程与一次函数、一元一次不等式之间的关系： 当二元一次方程中的一个未知数的取值确定范围时，可利用一元一次不等式组确定另一个未知数的取值范围，由于任何二元一次方程都可以转化为一次函数的形式，所以解二元一次方程可以转化为：当y＝0时，求x的值.从图象上看，这相当于已知纵坐标，确定横坐标的值. 考点三、一次方程（组）的应用 列方程(组)解应用题的一般步骤： 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 1.审:分析题意，找出已知、未知之间的数量关系和相等关系； 2.设:选择恰当的未知数(直接或间接设元)，注意单位的统一和语言完整； 3.列:根据数量和相等关系，正确列出代数式和方程(组)； 4.解:解所列的方程(组)； 5.验: (有三次检验 ①是否是所列方程(组)的解；②是否使代数式有意义；③是否满足实际意义)； 6.答:注意单位和语言完整. 要点诠释： 列方程应注意：（1）方程两边表示同类量；（2）方程两边单位一定要统一；（3）方程两边的数值相等. 【典型例题】 类型一、一元一次方程及其应用 1．如果方程x2n?7?351?1是关于x的一元一次方程，则n的值为( ). 7 A.2 B.4 C.3 D.1 【思路点拨】未知数x的指数是1即可. 【答案】B； 【解析】由题意可知2n-7=1，∴n=4. 【总结升华】根据一元一次方程的定义求解. 举一反三： 【变式1】已知关于x的方程4x-3m=2的解是x=5，则m的值为 . 【答案】由题意可知4×5-3m＝2，∴m=6. 【变式2】若a，b为定值，关于x的一元一次方程求a，b的值． 【答案】a=0,b=11. 2．（2015?顺德区校级三模）一收割机收割一块麦田，上午收割了麦田的25%，下午收割了剩下麦田的20%，结果还剩下6公顷麦田未收割．这块麦田一共有多少公顷？ 【思路点拨】设这块麦田一共有x公顷，根据上午收割了麦田的25%，则剩余x（1﹣25%）公顷，再利用下午收割了剩下麦田的20%，则剩余x（1﹣25%）（1﹣20%）公顷，进而求出即可． 【答案与解析】解：设这块麦田一共有x公顷， 根据题意得出：x（1﹣25%）（1﹣20%）=6， 解得：x=10， 答：这块麦田一共有10公顷． 【总结升华】此题主要考查了一元一次方程的应用，正确表示出两次剩余小麦的亩数是解题关键． 举一反三： 2ka?xx?bx??2无论k为何值时，它的解总是1，36资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【变式】“五一”期间，某电器按成本价提高30%后标价，再打8折（标价的80%）销售，售价为2080 元．设该电器的成本价为x元，根据题意，下面所列方程正确的是（ ） A．x?1?30%??80%?2080 B． x?30%?80%?2080 C． 2080?30%?80%?x D． x?30%?2080?80% 【答案】成本价提高30%后标价为x?1?30%?，打8折后的售价为x?1?30%??80%． 根据题意，列方程得x?1?30%??80%?2080，故选A． 类型二、二元一次方程组及其应用 3．（2015春?宁波期中）解下列方程组． （1） （2）． 【思路点拨】代入消元法或加减消元法均可. 【答案与解析】 解：（1） ， 将②代入①得：2（﹣2y+3）+3y=7， 去括号得：﹣4y+6+3y=7， 解得：y=﹣1， 将y=﹣1代入②得：x=2+3=5， 则方程组的解 ； （2）， ①×4+②×3得：17m=34， 解得：m=2， 将m=2代入①得：4+3n=13， 解得：n=3， 则方程组的解为 ． 【总结升华】解方程组要善于观察方程组的特点，灵活选用适当的方法，提高解题速度. 举一反三： ① ② 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【变式1解方程组 【答案】方程②化为 【变式2】解方程组?，再用加减法解，答案： ?a:b:c?3:4:5, a?b?c?36.?【答案】a=9,b=12,c=15. 4．小王购买了一套经济适用房，他准备将地面铺上地砖，地面结构如图所示．根据图中的数据（单位：m），解答下列问题： （1）写出用含x、y的代数式表示的地面总面积； （2）已知客厅面积比卫生间面积多21m，且地面总面积是卫生间面积的15倍，铺1m地砖的平均费用为80元，求铺地砖的总费用为多少元？ 【思路点拨】根据题意找出等量关系式，列出方程或方程组解题. 【答案与解析】 （1）地面总面积为：（6x＋2y＋18）m； ?6x?2y?21,（2）由题意，得??6x?2y?18?15?2y.2 2 2 ?x?4,?解之，得?3 y?.??2 ∴地面总面积为：6x＋2y＋18＝6×4＋2×∵铺1m地砖的平均费用为80元， 2 32 ＋18＝45（m）． 2∴铺地砖的总费用为：45×80＝3600（元）． 【总结升华】注意不要丢掉题中的单位. 举一反三： 【变式】利用两块长方体木块测量一张桌子的高度．首先按图①方式放置，再交换两木块的位置，按图②方式放置．测量的数据如图，则桌子的高度是（ ） 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 A．73cm B．74cm C．75cm D．76cm a?b?c?80【答案】设桌子高度为acm，木块竖放为bcm，木块横放为ccm.则?,解得a=75.故选C. ?a?c?b?70? 类型三、一次方程（组）的综合运用 5．某县为鼓励失地农民自主创业，在2012年对60位自主创业的失地农民进行奖励，共计划奖励 10万元.奖励标准是：失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励；自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励.问：该县失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以上的农民分别有多少人？ 【思路点拨】根据失地农民自主创业连续经营一年以上的给予1000元奖励：自主创业且解决5人以上 失业人员稳定就业一年以上的，再给予2000元奖励列方程求解． 【答案与解析】 方法一： 设失地农民中自主创业连续经营一年以上的有x人， 则根据题意列出方程 1000x+(60–x)(1000+2000)=100000， 解得：x=40， ∴60-x =60-40=20 答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40人，自主创业且解决5人以上失业人员稳定 就业一年以上的农民有20人. 方法二： 设失地农民中自主创业连续经营一年以上的和自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业一年以 上的农民有分别有x，y人， 根据题意列出方程组： ??x?y?60 ?1000x?(1000?2000)y?100000 解得：??y?20 x?40?答：失地农民中自主创业连续经营一年以上的有40，自主创业且解决5人以上失业人员稳定就业 一年以上的农民有20人. 【总结升华】本题考查理解题意的能力，关键是找到人数和钱数作为等量关系. 举一反三： 【变式】某公园的门票价格如下表所示： 购票人数 票价 1～50人 10元／人 51～100人 8元／人 100人以上 5元／人 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 某校七年级甲、乙两班共100多人去该公园举行联欢活动，其中甲班50多人，乙班不足50人．如果以班为单位分别买票，两个班一共应付920元；如果两个班联合起来作为一团体购票，一共只要付515元．问：甲、乙两班分别有多少人？ 【答案】设甲班有x人，乙班有y人，由题意得： ?8x?10y?920?x?55 解得：． ??5(x?y)?515y?48?? 答：甲班有55人，乙班有48人. 6．在社会实践活动中，某校甲、乙、丙三位同学一同调查了高峰时段北京的二环路、三环路、四环路的车流量（每小时通过观测点的汽车车辆数），三位同学汇报高峰时段的车流量情况如下： 甲同学说：“二环路车流量为每小时10000辆”； 乙同学说：“四环路比三环路车流量每小时多2000辆”； 丙同学说：“三环路车流量的3倍与四环路车流量的差是二环路车流量的2倍”； 请你根据他们所提供的信息，求出高峰时段三环路、四环路的车流量各是多少？ 【思路点拨】根据甲、乙、丙三位同学提供的信息找出等量关系列出方程组求解. 【答案与解析】 设高峰时段三环路的车流量为每小时辆，四环路的车流量为每小时 解得 辆，根据题意得： 答：高峰时段三环路的车流量为每小时11000辆，四环路的车流量为每小时13000辆. 【总结升华】通过甲、乙、丙三位同学调查结果找到车流量的等量关系式是解题的关键. 北师大版数学中考总复习 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习：一次方程及方程组--巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ?x??y?3,?x??, 时得到了正确结果? 后来发现 ?3x??y?1?y?1.1. 小明在解关于x、y的二元一次方程组?“?”“ ?”处被墨水污损了，请你帮他找出?、? 处的值分别是( ) A．? = 1，? = 1 B．? = 2，? = 1 C．? = 1，? = 2 D．? = 2，? = 2 2．方程组 ?x??1?y??1的解是（ ）. ?x?1?x??2?x??2 A.??y?1?y??2?y??1?ax?by?4?x?23．已知方程组?的解为?，则2a-3b的值为（ ）. ?y?1?ax?by?2 B.? C.? D.? A.4 B.-4 C.6 D.-6 4．（2014春?昆山市期末）方程x+2y=5的正整数解有（ ） A．一组 B．二组 C．三组 D．四组 5．小明买书需用48元，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张，设所用的1元纸币为x张，根题意，下列所列方程正确的是( ) A．x＋5(12－x)＝48 B．x＋5(x－12)＝48 C．x＋12(x－5)＝48 D．5x＋(12－x)＝48 6．九（3）班的50名同学进行物理、化学两种实验测试，经最后统计知：物理实验做对的有40人，化学实验做对的有31人，两种实验都做错的有4人，则这两种实验都做对的有（ ） A.17人 B.21人 C.25人 D.37人 二、填空题 7．已知x、y满足方程组 2 则x－y的值为________． 8．已知│x－1│+（2y+1）=0，且2x－ky=4，则k=_____． 9．（2014春?故城县期末）如图所示，在桌面上放着A、B两个正方形，共遮住了27cm的面积，若这两 2 个正方形重叠部分的面积为3cm，且正方形B除重叠部分外的面积是正方形A除重叠部分外的面积的2倍，则正方形A的面积是 ． 2 10．已知关于x、y的二元一次方程(a－1)x＋(a＋2)y＋5－2a＝0，当a每取一个值时，就有一个方程， 而这些方程有一个公共解，这个公共解是________． 11．已知关于x的方程a(2x－1)＝3x－2无解，则a的值为 ． 12．已知下面两个方程3(x＋2)＝5x …①；4x－3(a－x)＝6x－7(a－x) …②；有相同的解，则a的值为 ． 三、解答题 13．某校的一间阶梯教室，第1排的座位数为a，从第2排开始，每一排都比前一排增加b个座位。 ⑴请你在下表的空格里填写一个适当的代数式： 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 第1排的座位数 第2排的座位数 第3排的座位数 第4排的座位数 …… a a＋b a＋2b …… ⑵已知第4排有18个座位，第15排座位数是第5排座位数的2倍，求第21排有多少个座位？ 14. （2014春?文登市校级期中）（1）； （2）． 15．某体育彩票经销商计划用45000?元从省体彩中心购进彩票20扎，每扎1000张，已知体彩中心有A， B，C三种不同价格的彩费，进价分别是A?种彩票每张1.5元，B种彩票每张2元，C种彩票每张2.5元． （1）若经销商同时购进两种不同型号的彩票20扎，用去45000元，请你设计进票方案； （2）若销售A型彩票一张获手续费0.2元，B型彩票一张获手续费0.3元，C型彩票一张获手续费 0.5元．在购进两种彩票的方案中，为使销售完时获得手续费最多，你选择哪种进票方案？ （3）若经销商准备用45000元同时购进A，B，C三种彩票20扎，请你设计进票方案． 16. 某玩具厂工人的工作时间规定：每月25天，每天8h，待遇：按件订酬，多劳多得，每月另加福利 工资100元，按月结算。该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A产品，可得到报酬0.75元，每生产一件B种产品，可得报酬1.40元，下表记录了工人小李的工作情况： 生产A种产品件数（件） 生产B种产品件数（件） 1 3 1 2 总时间（min） 35 85 根据上表提供的信息，请回答下列问题： （1）小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品，分别需要多少分钟？ （2）如果生产各种产品的数目没有限制，那么小李每月的工资数目在什么范围之内？ 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B； 【解析】把 ??x??,?x??y?3, 代入??y?1.?3x??y?1 ??+?=3??=2得? 解得? ?- ?=1?=1? ?2.【答案】B； 【解析】①＋②，得3x=3，∴x=1.把x=1代入①，得1+3y＝4， ∴y=1. 3.【答案】C； ?3?2a?b?4?a?【解析】由题意可知?，解得?2，∴2a-3b=6. ?2x?b?2?b??1?4.【答案】B； 【解析】由已知，得x=5﹣2y， 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 要使x，y都是正整数， 则y=1，2时， 相应x=3，1． 所以有2组，分别 ， ．故选B． 5.【答案】A； 【解析】1元纸币x张，则5元纸币(12－x)张，共值48元，则1·x＋5(12－x)＝48. 6.【答案】C； 【解析】设这两种实验都做对的有x人，（40﹣x）+（31﹣x）+x+4=50，x=25． 故都做对的有25人．故选C． 二、填空题 7．【答案】1； 【解析】??2x?y?5①?x+2y?4② ①－②，得x－y＝1. 8．【答案】k=4； 【解析】由已知得x－1=0，2y+1=0， ?x?111?∴x=1，y=－，把?1代入方程2x－ky=4中，2+k=4，∴k=4． y??22??29．【答案】11cm； 22 【解析】设正方形A的面积为xcm，正方形B的面积为ycm，由题意，得 ， 2 解得：． 2 故答案为：11cm． 10．【答案】??x?3 y??1?【解析】 解法一：取a＝1，得3y＋3＝0，y＝－1， 取a＝－2，得－3x＋9＝0，x＝3， ?x?3∴? y??1?解法二：整理，得(x＋y－2)a＝x－2y－5， ∵方程有一个公共解， ?x?y?2?0?x?3解得? ?x?2y?5?0?y??1311．【答案】a＝ ； 2∴?资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【解析】将原方程变形为2ax－a＝3x－2， 即 (2a－3)x＝a－2.由已知该方程无解，所以?解得a＝ 12．【答案】 ?2a?3?0 ?a?2≠033，所以a＝即为所求． 229 ； 2189＝. 42【解析】由方程①可得3x－5x＝－6，所以x＝3.由已知，x＝3也是方程②的解，根据方程解的定义， 把x＝3代入方程②，有4×3－3(a－3)＝6×3－7(a－3)，7(a－3)－3(a－3)＝18－12, 4(a－3)＝6,4a－12＝6,4a＝18，a＝ 三、解答题 13.【答案与解析】 （1）a?3b ?a?3b?18 （2）依题意得? a?14b?2(a?4b)? 解得??a?12 ?b?2∴12＋20×2＝52 答：第21排有52个座位. 14.【答案与解析】 解：（1）， ①×24，②×12得： ， ④﹣③得： m=162， 代入①得：n=204， ∴方程组的解为： （2） 由②得：y=2x﹣9， ∴ =2（2x﹣9）， ； 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 解得：x=5， 代入y=2x﹣9得：y=1， ∴方程组的解为： ． 15.【答案与解析】 设经销商从体彩中心购进A种彩票x张，?B种彩票y张，C种彩票z张， 则可分以下三种情况考虑： （1）只购进A种彩票和B种彩票，依题意可列方程组??x?y?1000?20, ?1.5x?2y?45000解得x<0，所以无解．只购进A种彩票和C种彩票， 依题意可列方程组??x?z?1000?20,?x?5000， ,解得?1.5x?2.5z?45000z?15000???y?z?1000?20,?y?10000， ,解得??2y?2.5z?4500?z?10000只购进B种彩票和C种彩票，依题可列方程组?综上所述，若经销商同时购进不同型号的彩票，共有两种方案可行， 即A种彩票5扎，C种彩票15扎或B种彩票与C种彩票各10扎． （2）若购进A种彩票5扎，C种彩票15扎，销售完后获手续费为0.2×5000＋0.5×15000＝8500（元）； 若购进B种彩票与C种彩票各10扎，销售完后获手续费为0.3×10000＋0.5×10000＝8000（元）， ∴为使销售完时获得手续费最多，选择的进票方案为A种彩票5扎，C种彩票15扎． （3）若经销商准备用45000元同时购进A，B，C三种彩票共20扎． 设购进A种彩票x扎，B种彩票y扎，C种彩票z扎， 则??x?y?z?20,?y??2x?10 ,???1.5?1000x?2?1000y?2.5?1000z?45000?z?x?10∴1≤x<5， 又∵x为正整数，共有4种进票方案，即A种1扎，B种8扎，C种11扎，或A种2扎，B种6扎，C种12扎，或A种3扎，B种4扎，C种13扎，或A种4扎，B种2扎，C种14扎． 16.【答案与解析】 （1）设小李每生产一件A种产品、每生产一件B种产品分别需要x分钟和y分钟， ?x?y?35?x?15据题意，得?解之，得? 3x?2y?85y?20??（2）方法一：设小李每月生产A种产品x件，B种产品y件（x、y均为非负整数）， 月工资数目为w元，根据题意， 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ?y?600?0.75x?15x?20y?25?8?60??得?w?0.75x?1.40y?100 即?w??0.3x?940,由于?0.3?0,因此当x?0时, ?x?0,y?0?0?x?800??w最大＝－0.3·0＋940，当x＝800时，w最小＝－0.3·800＋940＝700， 因为生产各种产品的数目没有限制，所以700≤w≤940，即小李每月的工资数目不低于700元而 不高于940元. 方法二：由（1）知小李生产A种产品每分钟可获利0.05元，生产B种产品每分钟可获利0.07元，若小李全部生产A种产品，每月的工资数目为700元，若小李全部生产B种产品，每月的工资数目为940元，小李每月的工资数目不低于700元而不高于940元. 北师大版数学中考总复习 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习：一元一次不等式（组）—知识讲解 【考纲要求】 1.会解一元一次不等式（组），理解一元一次不等式（组）的解集的含义，进一步体会数形结合的思想； 2.会用不等式（组）进行解题，能利用不等式（组）解决生产、生活中的实际问题. 【知识网络】 概念 基本性质 不等式 不等式的解法 【考点梳理】 考点一、不等式的相关概念 不等式的定义 不等式的解集 一元一次不等式 的解法 实际应用 一元一次不等式组 的解法 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 1．不等式 用不等号连接起来的式子叫做不等式． 常见的不等号有五种： “≠”、 “＞” 、 “＜” 、 “≥”、 “≤”． 2．不等式的解与解集 不等式的解：使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解． 不等式的解集：一个含有未知数的不等式的解的全体，叫做不等式的解集． 不等式的解集可以在数轴上直观的表示出来，具体表示方法是先确定边界点：解集包含边界点，是实心圆点；不包含边界点，则是空心圆圈；再确定方向：大向右，小向左. 3．解不等式 求不等式的解集的过程或证明不等式无解的过程，叫做解不等式. 要点诠释： 不等式的解与一元一次方程的解是有区别的：不等式的解是不确定的，是一个范围，而一元一次方程的解则是一个具体的数值． 考点二、不等式的性质 性质1： 不等式两边加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变，即如a＞b，那么a±c＞b±c． 性质2： 不等式两边乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即如果a＞b，c＞0，那么ac＞bc（或 ab＞）． cc性质3： 不等式两边乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即如果a＞b，c＜0，那么ac＜bc（或 ab＜）． cc要点诠释： （1）不等式的其他性质：①若a＞b，则b＜a；②若a＞b，b＞c，则a＞c；③若a≥b，且b≥a，?则a=b；④若a≤0，则a=0；⑤若ab＞0或 2 aa?0，则a、b同号；⑥若ab＜0或?0，则a、b异号. bb（2）任意两个实数a、b的大小关系：①a-b＞O?a＞b；②a-b=O?a=b；③a-b＜O?a＜b． 不等号具有方向性，其左右两边不能随意交换：但a＜b可转换为b＞a，c≥d可转换为d≤c. 考点三、一元一次不等式（组） 1．一元一次不等式的概念 只含有一个未知数，且未知数的次数是1，系数不等于0的不等式叫做一元一次不等式．其标准形式：ax+b＞0(a≠0)或ax+b≥0(a≠0) ，ax+b＜0(a≠0)或ax+b≤0(a≠0)． 2．一元一次不等式的解法 一元一次不等式的解法与一元一次方程的解法类似，?但要特别注意不等式的两边都乘以（或除以） 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 同一个负数时，不等号要改变方向． 解一元一次不等式的一般步骤：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)化系数为1． 要点诠释： 解一元一次不等式和解一元一次方程类似．不同的是：一元一次不等式两边同乘以(或除以)同一个负数时，不等号的方向必须改变，这是解不等式时最容易出错的地方． 3．一元一次不等式组及其解集 含有相同未知数的几个一元一次不等式所组成的不等式组，叫做一元一次不等式组． 一元一次不等式组中，几个不等式解集的公共部分．叫做这个一元一次不等式组的解集． 一元一次不等式组的解集通常利用数轴来确定． 要点诠释： 判断一个不等式组是一元一次不等式组需满足两个条件：①组成不等式组的每一个不等式必须是一元一次不等式，且未知数相同；②不等式组中不等式的个数至少是2个，也就是说，可以是2个、3个、4个或更多． 4．一元一次不等式组的解法 由两个一元一次不等式组成的一元一次不等式组的解集的四种情况如下表． 不等式组 （其中a＞b） 图示 解集 口诀 ?x?a ?x?b??x?a ??x?b?x?a ??x?b?x?a ??x?bx?a （同大取大） ba （同小取小） x?b ba b?x?a （大小取中间） ba 无解 （大大、小小 （空集） 找不到） ba注：不等式有等号的在数轴上用实心圆点表示. 要点诠释： 解不等式组时，一般先分别求出不等式组中各个不等式的解集并表示在数轴上，再求出它们的公共部分，就得到不等式组的解集． 5．一元一次不等式（组）的应用 列一元一次不等式（组）解实际应用问题，可类比列一元一次方程解应用问题的方法和技巧，不同 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 的是，列不等式（组）解应用题，寻求的是不等关系，因此，根据问题情境，抓住应用问题中“不等”关系的关键词语，或从题意中体会、感悟出不等关系显得十分重要． 要点诠释： 列一元一次不等式组解决实际问题是中考考查的一个重要内容，在列不等式解决实际问题时，应掌握以下三个步骤：（1）?找出实际问题中的所有不等关系或相等关系（有时要通过不等式与方程综合来解决），设出未知数，列出不等式组（?或不等式与方程的混合组）；（2）解不等式组；（3）从不等式组（或不等式与方程的混合组）?的解集中求出符合题意的答案． 6．一元一次不等式、一元一次方程和一次函数的关系 一次函数y?kx?b(k≠当函数值y?0时，一次函数转化为一元一次方程；当函数值y＞0或0)， y＜0时，一次函数转化为一元一次不等式，利用函数图象可以确定x的取值范围. 【典型例题】 类型一、解不等式（组） 1．（2014春?巴中期中）解不等式（组），并把它们的解集在数轴上表示出来 （1）2x﹣1＜3x+2； （2） ． 【思路点拨】 （1）先移项，再合并同类项、系数化为1即可； （2）先求两个不等式的解集，再求公共部分即可． 【答案与解析】 解：（1）移项得，2x﹣3x＜2+1， 合并同类项得，﹣x＜3， 系数化为1得，x＞﹣3 在数轴上表示出来：（2） 解①得，x＜1， 解②得，x≥﹣4.5 在数轴上表示出来： ， . 不等式组的解集为﹣4.5≤x＜1. 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【总结升华】解不等式（组）是中考中易考查的考点，必须熟练掌握． 举一反三： x?13x?1【变式】解不等式：??1. 23【答案】解：去分母，得 （3x?1)?2(3x?1)?6 （不要漏乘！每一项都得乘） 去括号，得 3x?3?6x?2?6 （注意符号，不要漏乘!） 移 项，得 3x?6x?6?3?2 （移项要变号） 合并同类项，得 ?3x?7 （计算要正确） 系数化为1， 得 x??7 （同除负，不等号方向要改变，分子分母别颠倒了） 3 ?3x?5?2x,?2．解不等式组?x?1并将其解集在数轴上表示出来. ?2x?1??2【思路点拨】分别解出两个不等式的解集，再求出公共的解集即可. 【答案与解析】 解： 由（1）式得x＜5， 由（2）式得x≥-1， ∴ -1≤x＜5 数轴上表示如图： 【总结升华】注意解不等式组的解题步骤. 举一反三： 【变式1】解不等式组??3x?1?2(x?1)，并把它的解集在数轴上表示出来． ?2(x?1)?4x【答案】不等式组的解集为-3≤x＜1，数轴上表示如图： 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （x-1）+3?3x?2?【变式2】解不等式组?x-2，并写出不等式组的整数解； ?4＞x??3【答案】不等式组的解集为1≤x＜5，故其整数解为：1，2,3,4． 类型二、一元一次不等式（组）的特解问题 3．（2014?青羊区校级自主招生）若不等式组足（ ） A．5＜a＜6 B．5≤a＜6 的正整数解有3个，那么a必须满 C．5＜a≤6 D．5≤a≤6 【思路点拨】首先解得不等式组的解集，然后根据不等式组只有三个正整数解即可确定a的范围． 【答案】C； 【解析】解不等式5≤2x﹣1≤11得：3≤x≤6． 若不等式组有3个正整数解则不等式组的解集是：3≤x＜a． 则正整数解是：3，4，5． ∴5＜a≤6．故选C． 【总结升华】本题主要考查学生是否会利用逆向思维法解决含有待定字母的一元一次不等式组的特解问 题． 举一反三： 【变式1】关于x的方程，如果3(x＋4)－4＝2a＋1的解大于的解，求a的取值范围． 【答案】a＞4a?1a(3x?4) x?437. 18nn，∴=2 33【变式2】若不等式-3x+n＞0的解集是x＜2，则不等式-3x+n＜0的解集是_______． 【答案】∵-3x+n＞0，∴x＜ 即n=6 代入-3x+n＜0得：-3x+6＜0， ∴x＞2. 类型三、一元一次不等式（组）的应用 4．仔细观察下图，认真阅读对话： 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 根据对话内容，试求出一盒饼干和一袋牛奶的标价各是多少元． 【思路点拨】根据对话找到下列关系：①饼干的标价+牛奶的标价＞10元；②饼干的标价＜10； ③饼干标价的90%+牛奶的标价=10元-0.8元，然后设未知数列不等式组． 【答案与解析】 解：设饼干的标价为每盒x元，牛奶的标价为每袋y元． ?x?y?10? 则?0.9x?y?10?0.8?x?10?(1)(2) (3) 由（2）得 y=9.2-0.9x （4） 把（4）代入（1）得：9.2-0.9x+x＞10，解得x＞8． 由（3）综合得 8＜x＜10． 又∵x是整数，∴x=9． 把x=9代入（4）得：y=9.2-0.9×9=1.1（元） 答：一盒饼干标价9元，一袋牛奶标价1.1元． 【总结升华】不等式、方程与实际生活相联系的问题，主要是审好题，计算准确. 举一反三： 【变式】某牛奶乳业有限公司经过市场调研，决定从明年起对甲、乙两种产品实行“限产压库”，要求这两种产品全年共新增产量20件，这20件的总产值p（万元）满足：110＜p＜120．已知有关数据如表所示，?那么该公司明年应怎样安排新增产品的产量？ 产品 每件产品的产值 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 甲 乙 4.5万元 7.5万元 【答案】 解：设该公司安排生产新增甲产品x件，那么生产新增乙产品（20-x）件， 由题意得：110＜4.5x+7.5（20-x）＜120 ∴10＜x＜ 40，依题意，得x=11，12，13 3 当x=11时，20-11=9；当x=12时，20-12=8；当x=13时，20-13=7． 所以该公司明年可安排生产新增甲产品11件，乙产品9件；或生产新增甲产品12件，乙产品8件； 或生产新增甲产品13件，乙产品7件． 类型四、一元一次不等式（组）与方程的综合应用 5．某钱币收藏爱好者，想把3．50元纸币兑换成的1分，2?分，5分的硬币；他要求硬币总数为150枚，2分硬币的枚数不少于20枚且是4的倍数，5?分的硬币要多于2分的硬币；请你根据此要求，设计所有的兑换方案． 【思路点拨】题目中包含的相等关系有：①所有硬币的总价值是3．50元；②共有硬币150枚．?不等 关系有：①2分的硬币的枚数不少于20枚；②5分的硬币要多于2分的硬币．且硬币的枚数为整数，2分的硬币的数量是4的倍数． 【答案与解析】 解：（法一）设兑换成1分，2分，5分硬币分别为x枚，y枚，z枚，依据题意，得 ?x?y?z?150,?x?2y?5z?350,???z?y,??y?20, 由（1），（2）得 将y代入（3），（4）得?(1)(2)(3)(4) ?z?200?4z, 200?4z?20,?解得40＜z≤45，∵z为正整数，∴z只能取41，42，43，44，45，由此得出x，y的对应值， 共有5种兑换方案． ?x?73,??y?36,?z?41.??x?76,??y?32,?z?42.??x?79,??y?28,?z?43,??x?82,??y?24,?z?44.??x?85,??y?20,?z?45.? 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （法二）：设兑换成的1分，2分，5分硬币分别为x枚，y枚，z枚，依据题意可得 ?x?y?z?150,??x?2y?5z?350,?z?y?(1)(2) (3) ∵y是4的倍数，可设y=4k（k为自然数）， ∵y≥20，∴4k≥20，即k≥5． 将y=4k代入（1），（2）可解得z=50-k， ∵z＞y，∴50-k＞4k，即k＜10． ∴5≤k＜10，又k为自然数，∴k取5，6，7，8，9．由此得出x，y的对应值，共有5种兑换方案： ?x?73,? ?y?36,?z?41.??x?76,??y?32,?z?42.??x?79,??y?28,?z?43,??x?82,??y?24,?z?44.??x?85,??y?20, ?z?45.?【总结升华】这是一道方案设计题，?是涉及到方程和不等式的综合应用题． 6．某校组织学生到外地进行综合实践活动，共有680名学生参加，并携带300件行李．学校计划租用甲、乙两种型号的汽车共20辆．经了解，甲种汽车每辆最多能载40人和10件行李，乙种汽车每辆最多能载30人和20件行李． ⑴ 如何安排甲、乙两种汽车可一次性地将学生和行李全部运走？有哪几种方案？ ⑵ 如果甲、乙两种汽车每辆的租车费用分别为2000元、1800元，请你选择最省钱的一种租车方案 【思路点拨】根据题意列出不等式组，解出未知数的取值范围，分类讨论各种方案. 【答案与解析】 解：（1）设安排x辆甲型汽车，安排（20-x）辆乙型汽车. 由题意得：??40x?30(20?x)?680 解得8?x?10， 10x?20(20?x)?300?∴整数x可取8、9、10. ∴共有三种方案： ①租用甲型汽车8辆、乙型汽车12辆； ②租用甲型汽车9辆、乙型汽车11辆； ③租用甲型汽车10辆、乙型汽车10辆. （2）设租车总费用为w元，则w?2000x?1800(20?x)?200x?36000 w随x的增大而增大， ∴当x?8时，w最小?200?8?36000?37600， 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ∴最省钱的租车方案是：租用甲型汽车8辆、乙型汽车12辆． 【总结升华】考查不等式与方程综合应用问题，体现了分类讨论的思想. 北师大版数学中考总复习 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习：一元一次不等式（组）—巩固练习 【巩固练习】 一、选择题 1. 不等式-x-5≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ） A B C D 2．若实数a＞1，则实数M=a，N= a?22a?1，P=的大小关系为（ ） 33 A．P＞N＞M B．M＞N＞P C．N＞P＞M D．M＞P＞N 3．如图所示，一次函数y=kx+b的图象经过A，B两点，则不等式kx+b＞0?的解集是（ ） A．x＞0 B．x＞2 C．x＞-3 D．-3＜x＜2 4．如果不等式 ax?12x?15+1＞的解集是x＜，则a的取值范围是（ ） 333 A．a＞5 B．a=5 C．a＞-5 D．a=-5 5．（2015?杭州模拟）已知整数x满足是不等式组 A．2 B．±2 C． D．4 ，则x的算术平方根为（ ） ?x?3(x?2)?4?6．不等式组?a?2x无解，则a的取值范围是（ ） ?x??3资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 A．a＜1 B．a≤1 C．a＞1 D．a≥1 二、填空题 7．若不等式ax＜a的解集是x＞1，则a的取值范围是__ ____． 8．（2014春?北京校级月考）若（m﹣1）x |2m﹣1| ﹣8＞5是关于x的一元一次不等式，则m= ． 9．已知3x+4≤6+2（x-2），则│x+1│的最小值等于__ ____． 10．若不等式a（x-1）＞x-2a+1的解集为x＜-1，则a的取值范围是____ __． 11．满足 2?x2x?1≥的x的值中，绝对值不大于10的所有整数之和等于__ ____． 23 12．有10名菜农，每个可种甲种蔬菜3亩或乙种蔬菜2亩，?已知甲种蔬菜每亩可收入0.5万元，乙种蔬菜每亩可收入0.8万元，若要总收入不低于15.6万元，?则最多只能安排_______人种甲种蔬菜． 三、解答题 13．解下列不等式（组），并把解集在数轴上表示出来． （1）x-3≥ 3x?5． （2）解不等式组4 14. 若 15．（2015?东莞）某电器商场销售A、B两种型号计算器，两种计算器的进货价格分别为每台30元，40元，商场销售5台A型号和1台B型号计算器，可获利润76元；销售6台A型号和3台B型号计算器，可获利润120元． （1）求商场销售A、B两种型号计算器的销售价格分别是多少元？（利润=销售价格﹣进货价格） （2）商场准备用不多于2500元的资金购进A、B两种型号计算器共70台，问最少需要购进A型号的计算器多少台？ 16. 如图所示，一筐橘子分给若干个儿童，如果每人分4个，?则剩下9个；如果每人分6个，则最后 一个儿童分得的橘子数少于3个，问共有几个儿童，?分了多少个橘子？ x?1?0，求x的取值范围． 3x?2资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【答案与解析】 一、选择题 1.【答案】B； 【解析】解不等式得x ≥-5，故选B. 2.【答案】D； 【解析】方法一：取a=2，则M=2，N= 45，P=，由此知M＞P＞N，应选D． 33 方法二：由a＞1知a-1＞0． 2a?1a?1=＞0，∴M＞P； 332a?1a?2a?1 P-N=-=＞0，∴P＞N． 333 又M-P=a- ∴M＞P＞N，应选D． 3.【答案】C； 【解析】不等式kx+b＞0?的解集 即y＞0的解集，观察图象得x＞-3. 4.【答案】B； 【解析】化简原不等式得（2-a）x＞-5，因为原不等式解集是x＜ 解得a＞2,且a=5. 5.【答案】A； 【解析】解： 解①得：x＞3， 解②得：x＜5， 则不等式组的解集是：3＜x＜5． 则x=4． x的算术平方根是：2．故选A． ， 555，所以2-a＜0，且? ?， 2?a33资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 6.【答案】B； 【解析】 解不等式组得x≥1，x＜a, 因为不等式组无解，所以a≤1. 二、填空题 7．【答案】a＜0； 【解析】结果不等号的方向改变了，故a＜0. 8．【答案】0； 【解析】由（m﹣1）x |2m﹣1| ﹣8＞5是关于x的一元一次不等式，得 ，解得m=0，故答案为：0． 9．【答案】1； 【解析】解不等式得x≤-2，当x=-2时，│x+1│有最小值，有最小值等于1. 10．【答案】a＜1； 【解析】解不等式得(a-1)x＞1-a, 因为不等式a（x-1）＞x-2a+1的解集为x＜-1，所以a-1＜0， 即a＜1. 11．【答案】-19； 【解析】解不等式得x≤8，绝对值不大于10的所有整数之和为（-9）+（-10）=-19. 12．【答案】4. 三、解答题 13.【答案与解析】 （1）x≥7， 数轴上表示略； ?3x?4?x.............①?（2）由不等式组：?x?12x?1 ?.......②?5?2解不等式①，得x??2． 解不等式②，得x≤3 ．由图可知不等式组的解集为：?2?x≤3 ． 14.【答案与解析】 解：由 -2 3 x?1?0 3x?2?x?1?0,?x?1?0,得?或? 3x?2?03x?2?0???x??1,?x??1,??∴?2或?2（无解） x?x???33??2即?1?x?． 3 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 15.【答案与解析】 解：（1）设A种型号计算器的销售价格是x元，B种型号计算器的销售价格是y元，由题意得： ， 解得：； 答：A种型号计算器的销售价格是42元，B种型号计算器的销售价格是56元； （2）设购进A型计算器a台，则购进B台计算器：（70﹣a）台， 则30a+40（70﹣a）≤2500， 解得：a≥30， 答：最少需要购进A型号的计算器30台． 16.【答案与解析】 解：设共有x个儿童，则共有（4x+9）个橘子，依题意，得0≤4x+9-6（x-1）＜3 解这个不等式组，得6＜x≤7.5． 因为x为整数，所以x取7． 所以4x+9=4×7+9=37． 答：共有7个儿童，分了37个橘子． 北师大版数学中考总复习 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—知识讲解（提高） 【考纲要求】 1.理解配方法，会用因式分解法、公式法、配方法解简单的数字系数的一元二次方程； 2.会解分式方程，解分式方程的基本思想是把分式方程转化成整式方程，把未知问题转化成已知问题，从而渗透数学的转化思想． 【知识网络】 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【考点梳理】 考点一、一元二次方程 1.一元二次方程的定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程． 它的一般形式为ax?bx?c?0(a≠0)． 2.一元二次方程的解法 2 （1）直接开平方法：把方程变成x?m的形式，当m＞0时，方程的解为x??m；当m＝0时， 2方程的解x1,2?0；当m＜0时，方程没有实数解． b?b2?4ac?2 （2）配方法：通过配方把一元二次方程ax?bx?c?0变形为?x?的形式，再??22a?4a?利用直接开平方法求得方程的解． （3）公式法：对于一元二次方程ax?bx?c?0，当b?4ac?0时，它的解为 222资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 ?b?b2?4acx?． 2a （4）因式分解法：把方程变形为一边是零，而另一边是两个一次因式积的形式，使每一个因式等于零，就得到两个一元一次方程，分别解这两个方程，就得到原方程的解． 要点诠释： 直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法． 易错知识辨析： （1）判断一个方程是不是一元二次方程，应把它进行整理，化成一般形式后再进行判断，注意一元 二次方程一般形式中a?0. （2）用公式法和因式分解的方法解方程时要先化成一般形式. （3）用配方法时二次项系数要化1. （4）用直接开平方的方法时要记得取正、负. 3．一元二次方程根的判别式 2一元二次方程根的判别式为??b?4ac． △>0?方程有两个不相等的实数根； △＝0?方程有两个相等的实数根； △<0?方程没有实数根． 上述由左边可推出右边，反过来也可由右边推出左边． 要点诠释： △≥0?方程有实数根. 4．一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程ax2?bx?c?0(a≠0)的两个根是x1、x2，那么x1?x2??b，x1?x2?c． aa要点诠释： （1）对有关一元二次方程定义的题目，要充分考虑定义的三个特点，不要忽视二次项系数不为0． （2）解一元二次方程时，根据方程特点，灵活选择解题方法，先考虑能否用直接开平方法和因式分解法，再考虑用公式法． （3）一元二次方程ax?bx?c?0(a≠0)的根的判别式正反都成立．利用其可以①不解方程判定方程根的情况；②根据参系数的性质确定根的范围；③解与根有关的证明题． （4）一元二次方程根与系数的应用很多：①已知方程的一根，不解方程求另一根及参数系数；②已知方程，求含有两根对称式的代数式的值及有关未知数系数；③已知方程两根，求作以方程两根或其代数式为根的一元二次方程． 考点二、分式方程 1.分式方程的定义 分母中含有未知数的有理方程，叫做分式方程． 要点诠释： （1）分式方程的三个重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量. 2资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 （2）分式方程与整式方程的区别就在于分母中是否含有未知数(不是一般的字母系数)，分母中含有未知数的方程是分式方程，不含有未知数的方程是整式方程，如：关于 都是分式方程，而关于的方程 和 的方程 和 都是整式方程. 2.分式方程的解法 去分母法，换元法． 3.解分式方程的一般步骤 (1)去分母，即在方程的两边都乘以最简公分母，把原方程化为整式方程； (2)解这个整式方程； (3)验根：把整式方程的根代入最简公分母，使最简公分母不等于零的根是原方程的根，使最简公分母等于零的根是原方程的增根. 口诀：“一化二解三检验”. 要点诠释： 解分式方程时，有可能产生增根，增根一定适合分式方程转化后的整式方程，但增根不适合原方程，可使原方程的分母为零，因此必须验根． 增根的产生的原因： 对于分式方程，当分式中，分母的值为零时，无意义，所以分式方程，不允许未知数取那些使分母的值为零的值，即分式方程本身就隐含着分母不为零的条件.当把分式方程转化为整式方程以后，这种限制取消了，换言之，方程中未知数的值范围扩大了，如果转化后的整式方程的根恰好是原方程未知数的允许值之外的值，那么就会出现增根. 考点三、一元二次方程、分式方程的应用 1．应用问题中常用的数量关系及题型 (1)数字问题(包括日历中的数字规律) 关键会表示一个两位数或三位数，对于日历中的数字问题关键是弄清日历中的数字规律． (2)体积变化问题 关键是寻找其中的不变量作为等量关系. (3)打折销售问题 其中的几个关系式：利润＝售价-成本价(进价)，利润率＝ 利润×100%． 成本价 明确这几个关系式是解决这类问题的关键． (4)关于两个或多个未知量的问题 重点是寻找到多个等量关系，使能够设出未知数，并且能够根据所设的未知数列出方程. (5)行程问题 对于相遇问题和追及问题是列方程解应用题的重点问题，也是易出错的问题，一定要分析其中的特 点，同向而行一般是追及问题，相向而行一般是相遇问题． 注意：追及和相遇的综合题目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇. (6)和、差、倍、分问题 增长量＝原有量×增长率； 现有量＝原有量+增长量； 现有量＝原有量-降低量． 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 2．解应用题的步骤 (1)分析题意，找到题中未知数和题给条件的相等关系； (2)设未知数，并用所设的未知数的代数式表示其余的未知数； (3)找出相等关系，并用它列出方程； (4)解方程求出题中未知数的值； (5)检验所求的答数是否符合题意，并做答． 要点诠释： 方程的思想，转化(化归)思想，整体代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，数形结合的思想用数学表达式表示与数量有关的语句的数学思想． 注意：①设列必须统一，即设的未知量要与方程中出现的未知量相同；②未知数设出后不要漏棹单位；③列方程时，两边单位要统一；④求出解后要双检，既检验是否适合方程，还要检验是否符合题意． 【典型例题】 类型一、一元二次方程 1．阅读材料： 2为解方程(x?1)?5(x?1)?4?0，我们可以将x?1 看作一个整体，然后设x?1?y， 2222 那么原方程可化为y?5y?4?0……①， 解得y1?1，y2?4， 22当y?1时，x?1?1，?x?2，?x??2； 22当y?4时，x?1?4，?x?5，?x??5，故原方程的解为x1?2， 2x2??2，x3?5，x4??5． 解答问题：（1）上述解题过程，在由原方程得到方程①的过程中，利用________法达到了解方程的目的，体现了转化的数学思想； （2）请利用以上知识解方程x?x?6?0． 【思路点拨】此题考查了学生学以致用的能力，解题的关键是掌握换元思想． 【答案与解析】 （1）换元法； （2）设x?y，那么原方程可化为y?y?6?0 2242资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 解得y1?3；y2??2 2当y?3时，x?3；?x??3 2当y??2时，x??2不符合题意，舍去． 所以原方程的解为x1?3，x2??3． 【总结升华】应用换元法解方程，体现了转化的数学思想. 举一反三： 【变式】设m是实数，求关于x的方程x2?mx?3x?m?2?0的根． 【答案】x1=1,x2=m+2. 2．（2015?肇庆二模）设x1、x2是方程2x+4x﹣3=0的两个根，利用根与系数关系，求下列各式的值： 2 （1）（x1﹣x2）； （2）【思路点拨】 先把此代数式变形为两根之积或两根之和的形式，代入数值计算即可． 【答案与解析】 解：根据根与系数的关系可得：x1+x2=﹣2，x1?x2=（1）（x1﹣x2）=x1+x2﹣2x1x2=x1+x2+2x1x2﹣4x1x2 2 =（x1+x2）﹣4x1x2 = （2） =x1x2+1+1+= =10． 2 2 2 2 2 2 ． ． =． 【总结升华】将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法． 举一反三： 【变式】（2015?潜江）已知关于x的一元二次方程x﹣4x+m=0． （1）若方程有实数根，求实数m的取值范围； （2）若方程两实数根为x1，x2，且满足5x1+2x2=2，求实数m的值． 2 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【答案】 解：（1）∵方程有实数根， 2 ∴△=（﹣4）﹣4m=16﹣4m≥0， ∴m≤4； （2）∵x1+x2=4， ∴5x1+2x2=2（x1+x2）+3x1=2×4+3x1=2， ∴x1=﹣2， 22 把x1=﹣2代入x﹣4x+m=0得：（﹣2）﹣4×（﹣2）+m=0， 解得：m=﹣12． 类型二、分式方程 3．解方程：【思路点拨】 把原方程右边化为【答案与解析】 代入原方程求解较为简单. 原方程变为 经检验，【总结升华】 因为 是原方程的根. ，，所以最简公分母为： ，若采用去分母的通常方法，运算量较大，可采用上面的方法较好. 举一反三： 【变式1】解方程：【答案】原方程化为 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 方程两边通分，得 化简得 解得 经检验：【变式2】解方程：【答案】 4．m为何值时，关于x的方程 设k?x2?6x?5，则原方程可化为： 是原方程的根. 7314 ???222x?6x?4x?6x?5x?6x?97314 ???k?9kk?4 去分母化简得：20k2?147k?1116?0 ∴(k?12)(20k?93)?0 ∴k?12，k??293 20 当k?12时，x?6x?7?0 ?x?7??x?1??0 解之得：x1??1，x2?7 9393时，x2?6x?5?? 20202 20x?120x?193?0 当k?? 解此方程此方程无解. 经检验：x1??1，x2?7是原分式方程的根. 会产生增根？ 【思路点拨】先把原方程化为整式方程，使分母为0的根是增根，代入整式方程求出m的值. 【答案与解析】 方程两边都乘以 整理，得 ，得 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 【总结升华】分式方程的增根，一定是使最简公分母为零的根. 举一反三： 【变式】当m为何值时，方程 会产生增根( ) A. 2 B. －1 C. 3 D.－3 【答案】分式方程 ，去分母得 ，将增根 代入，得m＝3. 所以，当m＝3时，原分式方程会产生增根.故选C. 类型三、一元二次方程、分式方程的应用 5．要在规定的日期内加工一批机器零件，如果甲单独做，刚好在规定日期内完成，乙单独做则要超过3天.现在甲、乙两人合作2天后，再由乙单独做，正好按期完成.问规定日期是多少天？ 【思路点拨】设规定日期是x天，则甲的工作效率为【答案与解析】 设规定日期为x天 根据题意，得 ，乙的工作效率为 ，工作总量为1. 解得 经检验是原方程的根 答：规定日期是6天. 【总结升华】 工程问题涉及的量有三个，即每天的工作量、工作的天数、工作的总量．它们之间的基本关系是：工作总量=每天的工作量×工作的天数． 举一反三： 【变式】据林业专家分析，树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的一些悬浮颗粒物，具有滞 尘净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少4毫克，若一年滞尘1000毫克所需的银杏树叶的片数与一年滞尘550毫克所需的国槐树叶的片数相同，求一片国槐树叶一年的平均滞尘量． 【答案】设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为x毫克， 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 由题意得 1000550， ?2x?40x解得：x=22， 经检验：x=22是原分式方程的解，且符合题意． 答：一片国槐树叶一年的平均滞尘量为22毫克． 6．某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队工程费共8700元，乙、丙两队合做10天完成，厂家需付乙、丙两队工程费共9500元，甲、丙两队合做5天完成全部工程的 ，厂家需付 甲、丙两队工程费共5500元． ⑴求甲、乙、丙各队单独完成全部工程各需多少天？ ⑵若工期要求不超过15天完成全部工程，问由哪个队单独完成此项工程花钱最少？请说明理由． 【思路点拨】 第一问是工程问题，工程问题中有三个量：工作总量，工作效率，工作时间， 这三个量之间的关系是：工作总量=工作效率×工作时间 第二问只要求出每天应各付甲、乙、丙各队多少钱，并由第一问求出甲、乙、丙各队单独完成这项工作所需的天数，即可求出在规定时间内单独完成此项工程哪个队花钱最少. 【答案与解析】 ⑴设甲队单独做需天完成，乙队单独做需天完成，丙队单独做需天完成，依题意，得 ①×＋②×＋③×，得＋＋＝．④ ④－①× ④－②× ，得，得 ＝＝ ，即z ＝ 30， ，即x ＝ 10， ④－③×，得＝，即y ＝ 15． 经检验，x ＝ 10，y ＝ 15，z ＝ 30是原方程组的解． ⑵设甲队做一天厂家需付元，乙队做一天厂家需付元，丙队做一天厂家需付元， 根据题意，得 资料来源于网络 仅供免费交流使用 精品文档 用心整理 由⑴可知完成此工程不超过工期只有两个队：甲队和乙队． 此工程由甲队单独完成需花钱元； 此工程由乙队单独完成需花钱元. 所以，由甲队单独完成此工程花钱最少． 【总结升华】 这是一道联系实际生活的工程应用题，涉及工期和工钱两种未知量．对于工期，一般情况下把整个工作量看成1，设出甲、乙、丙各队单独完成这项工程所需时间分别为天，天，天， 可列出分式方程组．在求解时，把整式方程组来解． ， ， 分别看成一个整体，就可把分式方程组转化为 北师大版数学中考总复习 重难点突破 知识点梳理及重点题型巩固练习 中考总复习：一元二次方程、分式方程的解法及应用—巩固练习（提高） 【巩固练习】 一、选择题 1. 已知方程x?bx?a?0有一个根是?a(a?0)，则下列代数式的值恒为常数的是（ ） A．ab B． 2a C．a?b D．a?b b2 2 2．（2015?泰安模拟）方程x+ax+1=0和x﹣x﹣a=0有一个公共根，则a的值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．若方程x?3x?1?0的两根为x1、x2，则 211?的值为( ). x1x211 D．? 332m4．如果关于x的方程?1?有增根，则m的值等于（x?3x?3A．3 B．－3 C． A. B. C. D. 3 ） 5．如图，在宽为20米、长为30米的矩形地面上修建两条同样宽的道路，余下部分作为耕地．若耕地面积需要551米，则修建的路宽应为（ ） A．1米 B．1.5米 C．2米 D．2.5米 2 资料来源于网络 仅供免费交流使用
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