（江苏专用）2018版高考数学大一轮复习 第六章 数列 6.1 数列的概念与简单表示法教师用书 文 苏教版

6.1 数列的概念与简单表示法

1.数列的定义

按照一定次序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的分类

分类原则 按项数分类 无穷数列 递增数列 递减数列 按项与项间的 常数列 大小关系分类 从第2项起，有些项大于它的前一项，有些摆动数列 项小于它的前一项的数列

3.数列的表示法

数列有三种表示法，它们分别是列表法、图象法和解析法. 4.数列的通项公式

如果数列{an}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.

【知识拓展】

1.若数列{an}的前n项和为Sn，通项公式为an，

??S1， n＝1，则an＝?

?Sn－Sn－1， n≥2.?

类型 有穷数列 满足条件 项数有限 项数无限 an＋1 > an an＋1 < an an＋1＝an 其中n∈N *

?an≥an－1，?

??an≥an＋1.

2.在数列{an}中，若an最大，则?

??an≤an－1，

若an最小，则?

?an≤an＋1.?

3.数列与函数的关系

数列是一种特殊的函数，即数列是一个定义在非零自然数集或其子集上的函数，当自变量依次从小到大取值时所对应的一列函数值，就是数列.

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)所有数列的第n项都能使用公式表达.( × )

(2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个.( √ ) (3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列.( × )

(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列.( × )

(5)如果数列{an}的前n项和为Sn，则对?n∈N，都有an＋1＝Sn＋1－Sn.( √ )

*

1.(教材改编)下列有四种说法，其中正确的说法是 .(填序号) ①数列a，a，a，…是无穷数列；

②数列0，－1，－2，－3，…不一定是递减数列；

③数列{f(n)}可以看作是一个定义域为正整数N或它的有限子集{1,2，…，n}的函数值； ④已知数列{an}，则数列{an＋1－an}也是一个数列. 答案 ①②④

解析 题中①④显然正确；对于②，数列只给出前四项，后面的项是不确定的，所以不一定是递减数列；对于③，数列可以看作是一个定义域为正整数N或它的有限子集{1,2，…，n}的函数，当自变量从小到大依次取值时对应的一列函数值，所以③不正确. 2.(教材改编)数列1,2，7，10，13，…中的第26项为 . 答案 219

解析 ∵a1＝1＝1，a2＝2＝4，

*

*

a3＝7，a4＝10，a5＝13，

∴an＝3n－2，

∴a26＝3×26－2＝76＝219.

3.(教材改编)在数列{an}中，a1＝1，an＝1＋2答案 3解析 a2＝1＋

－

2

－

nan－1

(n≥2)，则a5＝ .

a1

3

＝2， －2－

1＝， 22＝. 3

a3＝1＋

1

－

a2

＝1＋

a4＝1＋＝3，a5＝1＋

a3

a4

11

4.(教材改编)已知数列{an}中，a1＝，an＋1＝1－(n≥2)，则a16＝ .

2an1

答案 2

1111

解析 由题意知a2＝1－＝－1，a3＝1－＝2，a4＝1－＝，∴此数列是以3为周期的周

a1a2a321

期数列，a16＝a3×5＋1＝a1＝.

2

5.已知数列{an}的前n项和Sn＝n＋1，则an＝ .

??2，n＝1，答案 ?

?2n－1，n≥2?

2

解析 当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝n2＋1－[(n－1)2＋1]＝2n－1，

??2，n＝1，故an＝?

?2n－1，n≥2.?

题型一 由数列的前几项求数列的通项公式

例1 (1)(2016·南京模拟)数列1,3,6,10，…的通项公式是 . 379

(2)数列{an}的前4项是，1，，，则这个数列的通项公式是an＝ .

21017答案 (1)an＝nn＋

22n＋1 (2)2 n＋1

解析 (1)观察数列1,3,6,10，…可以发现

第n项为1＋2＋3＋4＋…＋n＝∴an＝

1＝1， 3＝1＋2， 6＝1＋2＋3， 10＝1＋2＋3＋4， …

nn＋

2

. nn＋

2

. 2×1＋12×2＋12×3＋12×4＋12n＋1

(2)数列{an}的前4项可变形为2，2，2，2，故an＝2. 1＋12＋13＋14＋1n＋1思维升华 由前几项归纳数列通项的常用方法及具体策略

(1)常用方法：观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法.

(2)具体策略：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同，对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系；⑥对于符号交替出现的情况，可用(－1)或(－1)

根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.

(1)－1,7，－13,19，…； (2)0.8,0.88,0.888，…；

115132961

(3)，，－，，－，，…. 248163264

解 (1)数列中各项的符号可通过(－1)表示，从第2项起，每一项的绝对值总比它的前一项的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)(6n－5). 1?8?1?8?1?8?(2)数列变为?1－?，?1－2?，?1－3?，…，

10?9?10?9?10?9?1?8?故an＝?1－n?.

10?9?

(3)各项的分母分别为2222，…，易看出第2,3,4项的绝对值的分子分别比分母小3. 2－3

因此把第1项变为－，

2

2－32－32－32－3

原数列化为－1，2，－3，4，…，

22222－3

故an＝(－1)n. 2

nn1

2

3

4

1,2,3,4

kk＋1

，k∈N处理.

*

nn