(3)数列的最值可以利用数列的单调性或求函数最值的思想求解.
1
2a,0≤a≤,??2=?1
2a-1,<a<1,??2
nnnn (1)(2016·哈尔滨模拟)若数列{an}满足an+1
a1=
3
,则数列的第2 015项为 . 5
(2)设an=-3n+15n-18,则数列{an}中的最大项的值是 . 2
答案 (1) (2)0
5
31
解析 (1)由已知可得,a2=2×-1=,
55
2
a3=2×=, a4=2×=, a5=2×-1=,
∴{an}为周期数列且T=4, 2
∴a2 015=a503×4+3=a3=. 5
45
3525
45
1525
?5?23
(2)∵an=-3?n-?+,由二次函数性质,得当n=2或3时,an最大,最大值为0.
?2?4
12.解决数列问题的函数思想
10n典例 (1)数列{an}的通项公式是an=(n+1)·(),则此数列的最大项是第 项.
11(2)若an=n+kn+4且对于n∈N,都有an+1>an成立,则实数k的取值范围是 . 思想方法指导 (1)可以将数列看成定义域为正整数集上的函数;(2)数列的最值可以根据单调性进行分析. 解析 (1)∵an+1-an
10n+110n=(n+2)()-(n+1)()
111110n9-n=()×, 1111
当n<9时,an+1-an>0,即an+1>an;
2
*
当n=9时,an+1-an=0,即an+1=an; 当n>9时,an+1-an<0,即an+1 ∴该数列中有最大项,且最大项为第9、10项. (2)由an+1>an知该数列是一个递增数列, 又因为通项公式an=n+kn+4, 所以(n+1)+k(n+1)+4>n+kn+4, 即k>-1-2n,又n∈N, 所以k>-3. 答案 (1)9或10 (2)(-3,+∞) * 2 2 2 2468 1.数列,-,,-,…的第10项是 . 357920答案 - 21 解析 所给数列呈现分数形式,且正负相间,求通项公式时,我们可以把每一部分进行分解:符号、分母、分子.很容易归纳出数列{an}的通项公式an=(-1) n+1 2n20·,故a10=-. 2n+121 2.(2016·苏州模拟)已知函数y=f(x)的定义域为R.当x<0,f(x)>1,且对任意的实数x, y∈R,等式f(x)f(y)=f(x+y)恒成立.若数列{an}满足a1=f(0),且f(an+1)= f-2-an(n∈N),则a2 015的值为 . 答案 4 029 1x解析 根据题意,不妨设f(x)=(),则a1=f(0)=1,∵f(an+1)= 2f1 ,∴an+1= -2-an* 1 an+2,∴数列{an}是以1为首项,2为公差的等差数列,∴an=2n-1, ∴a2 015=4 029. ??2an3.(2016·无锡月考)已知数列{an}满足a1=1,an+1=? ??an+ n为正奇数, n为正偶数, 则其前6项之 和为 . 答案 33 解析 a2=2a1=2,a3=a2+1=3,a4=2a3=6,a5=a4+1=7,a6=2a5=14,所以前6项和S6 =1+2+3+6+7+14=33. 4.若数列{an}满足a1=2,a2=3,an=答案 3 an-1* (n≥3且n∈N),则a2 018= . an-2 a23a31 解析 由已知a3==,a4==, a12a22a41a52 a5==,a6==, a33a43a6a7 a7==2,a8==3, a5a6 ∴数列{an}具有周期性,T=6, ∴a2 018=a336×6+2=a2=3. 1* 5.数列{an}满足an+an+1=(n∈N),a2=2,Sn是数列{an}的前n项和,则S21= . 27答案 2 1 解析 ∵an+an+1=,a2=2, 23??-,n为奇数, ∴an=?2 ??2,n为偶数. 7?3?∴S21=11×?-?+10×2=. 2?2? 6.已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n-1,则a3= . 答案 10 解析 a3=S3-S2=2×3-1-(2×2-1)=10. 7.数列{an}中,已知a1=1,a2=2,an+1=an+an+2(n∈N),则a7= . 答案 1 解析 由已知an+1=an+an+2,a1=1,a2=2, 能够计算出a3=1,a4=-1,a5=-2,a6=-1,a7=1. 8.已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-n,则an= . 答案 2-1 解析 当n=1时,S1=a1=2a1-1,得a1=1,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2an-n-2an-1+(n-1), 即an=2an-1+1,∴an+1=2(an-1+1), n* 2 2 2 ∴数列{an+1}是首项为a1+1=2,公比为2的等比数列, ∴an+1=2·2 n-1 =2,∴an=2-1. * nn9.(2016·无锡期末)对于数列{an},定义数列{bn}满足bn=an+1-an(n∈N),且bn+1-bn= 1(n∈N),a3=1,a4=-1,则a1= . 答案 8 解析 因为b3=a4-a3=-1-1=-2,所以b2=a3-a2=b3-1=-3,所以b1=a2-a1=b2-1=-4,三式相加可得a4-a1=-9,所以a1=a4+9=8. 10.在一个数列中,如果?n∈N,都有anan+1an+2=k(k为常数),那么这个数列叫做等积数列, * * k叫做这个数列的公积.已知数列{an}是等积数列,且a1=1,a2=2,公积为8,则a1+a2+a3 +…+a12= . 答案 28 解析 依题意得数列{an}是周期为3的数列,且a1=1,a2=2,a3=4,因此a1+a2+a3+…+ a12=4(a1+a2+a3)=4×(1+2+4)=28. 11.已知数列{an}的前n项和Sn=n+1,数列{bn}满足bn= 2 2 ,且前n项和为Tn,设cn=an+1 T2n+1-Tn. (1)求数列{bn}的通项公式; (2)判断数列{cn}的增减性. 解 (1)∵a1=2,an=Sn-Sn-1=2n-1(n≥2). 2??3∴b=?1 ??nnn=n, n+ (2)∵cn=bn+1+bn+2+…+b2n+1 = 111++…+, n+1n+22n+1 111∴cn+1-cn=+- 2n+22n+3n+1= 11 -=2n+32n+2 -1 n+ <0, ∴{cn}是递减数列. 121* 12.已知Sn为正项数列{an}的前n项和,且满足Sn=an+an(n∈N). 22(1)求a1,a2,a3,a4的值;
相关推荐: