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核心考点·精准研析
考点一 四种命题的关系及其真假判断
1.下面的命题中是真命题的是 ( ) A.y=sin2x的最小正周期为2π
B.若方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根同号,则>0 C.如果M?N,那么M∪N=M D.在△ABC中,若
·
>0,则∠B为锐角
2.(2019·长春模拟)命题“若x2<1,则-1
3.(2020·天水模拟)下列说法中,正确的是 ( )
A.命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题为“若a>b,则2a≤2b-1” B.命题“存在x0∈R,使得
+x0+1<0”的否定是:“任意x∈R,都有x2+x+1>0”
C.若命题“非p”与命题“p或q”都是真命题,那么命题q一定是真命题 D.命题“若a2+b2=0,则ab=0”的逆命题是真命题
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4.(2018·北京高考)能说明“若a>b,则<”为假命题的一组a,b的值依次为________. 【解析】1.选B.y=sin2x=
,T=
=π,故A为假命题;当M?N时,M∪N=N,·>0时,向量
与
的夹角为锐角,∠B
故C为假命题;在三角形ABC中,当应为钝角,故D为假命题.
2.选D.命题的形式是“若p,则q”,由逆否命题的知识,可知其逆否命题为“若q,则p”的形式,所以“若x2<1,则-1 3.选C.命题“若a>b,则2a>2b-1”的否命题应为“若a≤b,则2a≤2b-1”,故A错;命题“存在x0∈R,使得 +x0+1<0”的否定是:“任意x∈R,都有x2+x+1≥0”, 故B错;若命题“非p”是真命题,则p是假命题,又因为命题“p或q”是真命题,那么命题q一定是真命题,C对;命题“若a2+b2=0,则ab=0”的逆命题是“若ab=0,则a2+b2=0”显然是假命题,故D错. 4.①若a>b>0,则<成立; ②若a>0>b,则,>0,<0,所以<不成立; ③若0>a>b,则<<0成立. 综上,只需选取符合“a>0>b”的一组a,b,就能说明原命题是假命题. 例如,a=1,b=-1;a=2,b=-1等. 答案:1,-1(答案不唯一) - 2 - 1.命题真假的两种判断方法 (1)联系已有的数学公式、定理、结论进行直接判断. (2)四种命题的真假成对出现.即原命题与逆否命题的真假性相同,逆命题与否命题的真假性相同.当一个命题直接判断不易进行时,可转化为判断其等价命题的真假. 2.写一个命题的其他三种命题时的注意点 (1)对于不是“若p,则q”形式的命题,需先改写. (2)若命题有大前提,写其他三种命题时需保留大前提. 3.判断一个命题为真命题,要给出推理证明;判断一个命题是假命题,只需举出反例. 考点二 充分条件、必要条件及充要条件的判断 【典例】1.(2019·浙江高考)若a>0,b>0,则“a+b≤4”是“ab≤4”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 2.(2019·天津高考)设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的 ( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 3.“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【解题导思】 - 3 - 序号 1 2 3 联想解题 由a+b的范围求ab的范围,联想到基本不等式 由不等式的解集,想到用集合法判断 原命题不好判断,想到其逆否命题 ,则当a+b≤4时,有2 ≤a+b≤4, 【解析】1.选A.当a>0,b>0时,a+b≥2解得ab≤4,充分性成立; 当a=1,b=4时,满足ab≤4,但此时a+b=5>4,必要性不成立, 综上所述,“a+b≤4”是“ab≤4”的充分不必要条件. 2.选B.由x2-5x<0可得解集为A={x|0 3.选B.“若a≠1或b≠2,则a+b≠3”的逆否命题“若a+b=3,则a=1且b=2”显然是假命题,所以原命题是假命题,充分性不成立.又因为原命题的否命题“若a=1且b=2,则a+b=3”是真命题,所以原命题的逆命题“若a+b≠3,则a≠1或b≠2”是真命题,所以必要性成立;故“a≠1或b≠2”是“a+b≠3”的必要不充分条件. 充分条件、必要条件的三种判断方法 (1)定义法:根据p?q,q?p进行判断,适用于定义、定理判断性问题. (2)集合法:根据p,q成立的对象的集合之间的包含关系进行判断,适用于命题中涉及字母的范围的推断问题. (3)等价转化法:根据一个命题与其逆否命题的等价性,把判断的命题转化为其逆否命题进行判断,适用于条件和结论带有否定性词语的命题. - 4 -
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