新课标A版·数学·选修2-1 高中同步学习方略
∴|y1－y2|＝?y1＋y2?2－4y1y2 ＝?－4?2＋4×4＝42. 1
∴S△POQ＝2|OF||y1－y2|＝22. 答案 22
三、解答题(本大题共6小题，满分70分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
5
17．(10分)求与椭圆4x＋9y＝36有相同的焦距，且离心率为5
2
2
的椭圆的标准方程．
22
xy
解 把方程4x2＋9y2＝36写成9＋4＝1，则其焦距2c＝25，∴
c＝5.
c5
又e＝a＝5，∴a＝5. b2＝a2－c2＝52－5＝20，
x2y2y2x2
故所求椭圆的方程为25＋20＝1，或25＋20＝1.
3
18．(12分)已知直线x＋y－1＝0与椭圆x2＋by2＝4相交于两个不同点，求实数b的取值范围．
解
?x＋y－1＝0，
由?232
?x＋by＝4，
得(4b＋4)y2－8y＋1＝0.
因为直线与椭圆相交于不同的两点，
??4b＋4≠0所以?，解得b＜3，且b≠－1.
??Δ＝64－4?4b＋4?＞0
9
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3
又方程x＋by＝4表示椭圆，所以b＞0，且b≠1.
2
2
综上，实数b的取值范围是{b|0＜b＜3且b≠1}．
19．(12分)已知双曲线中心在原点，且一个焦点为(7，0)，直2
线y＝x－1与其相交于M，N两点，MN的中点的横坐标为－3，求此双曲线的方程．
x2y2
解 设双曲线方程为a2－b2＝1(a＞0，b＞0)，依题意c＝7，∴x2y2
方程可以化为a2－＝1，
7－a222xy?2－2＝1，a7－a由?
?y＝x－1，
得
(7－2a2)x2＋2a2x－8a2＋a4＝0.
－2a2设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1＋x2＝，
7－2a2x1＋x22∵2＝－3，
－a222∴＝－，解得a＝2. 237－2a
x2y2
∴双曲线的方程为2－5＝1.
20．(12分)如图线段AB过x轴正半轴上一定点M(m,0)，端点A，B到x轴距离之积为2m，以x轴为对称轴，过A，O，B三点作抛物线．
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(1)求抛物线方程；
→→(2)若OA·OB＝－1，求m的值．
解 (1)设直线AB为y＝k(x－m)，抛物线方程为y2＝2px.
??y＝k?x－m?，由?2消去x，得 ??y＝2px，
ky2－2py－2pkm＝0. ∴y1·y2＝－2pm.
又∵y1·y2＝－2m，∴p＝1， ∴抛物线方程为y2＝2x. (2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)， →→
则OA＝(x1，y1)，OB＝(x2，y2)．
22→→y1y2则OA·OB＝x1x2＋y1y2＝4＋y1y2＝m2－2m.
→→又OA·OB＝－1，
∴m2－2m＝－1，解得m＝1.
21．(12分)已知双曲线x2－y2＝4，直线l：y＝k(x－1)，试讨论实数k的取值范围，使：
(1)直线l与双曲线有两个公共点；
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(2)直线l与双曲线有且只有一个公共点； (3)直线l与双曲线没有公共点．
??y＝k?x－1?，解 由?22消去y得x2－k2(x－1)2＝4，
??x－y＝4，
即(1－k2)x2＋2k2x－4－k2＝0.(*)
当1－k2≠0时，Δ＝16－12k2＝4(4－3k2)．
2??4－3k＞0，2323(1)当?即－＜k＜，且k≠±1时，方程(*)有233?1－k≠0，?
两个不同的实数解；
2
??4－3k＝0，23?(2)当即k＝±3时，方程(*)有两个相同的实数解； 2?1－k≠0，?2??4－3k＜0，2323?(3)当即k＜－3，或k＞3时，方程(*)无实数2??1－k≠0，
解．
5而当k＝±1时，方程(*)变形为2x－5＝0，x＝2，方程(*)也只有一解．
2323
∴当－3＜k＜－1，或－1＜k＜1，或1＜k＜3时，直线与双曲线有两个公共点；
23
当k＝±1，或k＝±3时，直线与双曲线有且只有一个公共点； 2323
当k＜－3，或k＞3时，直线与双曲线没有公共点．
22．(12分)如图，在以点O为圆心，|AB|＝4为直径的半圆ADB
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