【方法规律】(1)根据平面向量数量积的性质：若a，b为非零向量，cos θ＝
a·b(夹角公|a||b|
式)，a⊥b?a·b＝0等，可知平面向量的数量积可以用来解决有关角度、垂直问题. (2)数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.
3?→?31?→?1
【变式探究】 (1)(2016·全国Ⅲ卷)已知向量BA＝?，?，BC＝?，?，则∠ABC＝( )
?22??22?A.30° C.60°
B.45° D.120°
2
2
2
(2)(2016·全国Ⅰ卷)设向量a＝(m，1)，b＝(1，2)，且|a＋b|＝|a|＋|b|，则m＝________. →→
解析 (1)|BA|＝1，|BC|＝1， →
3
cos∠ABC＝＝.
→→2|BA|·|BC|
supBA6(→)·BC→→
由〈BA，BC〉∈[0°，180°]，得∠ABC＝30°. (2)由|a＋b|＝|a|＋|b|，得a⊥b， 所以m×1＋1×2＝0，得m＝－2. 答案 (1)A (2)－2
【感悟提升】(1)根据平面向量数量积的定义，可以求向量的模、夹角，解决垂直、夹角问题；两向量夹角θ为锐角的充要条件是cos θ＞0且两向量不共线；
(2)求向量模的最值(范围)的方法：①代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；②几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图形求解．
1
【举一反三】(1)已知单位向量e1与e2的夹角为α，且cosα＝，向量a＝3e1－2e2与b＝3e1
3－e2的夹角为β，则cosβ＝________.
→→→
(2)在△ABC中，若A＝120°，AB·AC＝－1，则|BC|的最小值是( ) A.2 C.6
22
答案 (1) (2)C
3
B．2 D．6
2
2
2
→→
(2)∵AB·AC＝－1，
→→
∴|AB|·|AC|·cos120°＝－1， →→
即|AB|·|AC|＝2，
→2→→2→2→→→2∴|BC|＝|AC－AB|＝AC－2AB·AC＋AB →→→→
≥2|AB|·|AC|－2AB·AC＝6， →
∴|BC|min＝6.
高频考点三 平面向量与三角函数
例3、在平面直角坐标系xOy中，已知向量m＝?(1)若m⊥n，求tanx的值；
π
(2)若m与n的夹角为，求x的值．
3解 (1)因为m＝?
2??2
，－?，n＝(sinx，cosx)，m⊥n.
2??2
22
sinx－cosx＝0， 22
2??2?π?，－?，n＝(sinx，cosx)，x∈?0，2?.
??2??2
所以m·n＝0，即所以sinx＝cosx，所以tanx＝1.
π1
(2)因为|m|＝|n|＝1，所以m·n＝cos＝，
32即
221?π?1sinx－cosx＝，所以sin?x－?＝，
4?2222?
ππππ
因为0 2444ππ5π 所以x－＝，即x＝. 4612 【感悟提升】平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立得到三角函数的关系式，然后求解． (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等． →→ 【变式探究】已知O为坐标原点，向量OA＝(3sinα，cosα)，OB＝(2sinα，5sinα－4cosα)， α∈? →→?3π，2π?，且OA⊥OB，则tanα的值为( ) ? ?2? 4 B．－ 53D. 4 4A．－ 34C. 5答案 A 高频考点四 向量在平面几何中的应用 →→ 例4、已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足OP＝OA→→ ＋λ(AB＋AC)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的( ) A．内心 C．重心 答案 C →→→→→→→→ 解析 由原等式，得OP－OA＝λ(AB＋AC)，即AP＝λ(AB＋AC)，根据平行四边形法则，知AB＋→ B．外心 D．垂心 AC是△ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量AD的2倍，所以点P的轨迹必过△ABC的重 心． 【感悟提升】解决向量与平面几何综合问题，可先利用基向量或坐标系建立向量与平面图形的联系，然后通过向量运算研究几何元素之间的关系． →→ 【变式探究】(1)在平行四边形ABCD中，AD＝1，∠BAD＝60°，E为CD的中点．若AC·BE＝1，则AB＝________. → →→→→→ (2)平面四边形ABCD中，AB＋CD＝0，(AB－AD)·AC＝0，则四边形ABCD是( ) A．矩形 C．正方形 1 答案 (1) (2)D 2 →→→→→1→ 解析 (1)在平行四边形ABCD中，取AB的中点F，则BE＝FD，∴BE＝FD＝AD－AB， 2 B．梯形 D．菱形 →→→→→→→→→→(2)AB＋CD＝0?AB＝－CD＝DC?平面四边形ABCD是平行四边形，(AB－AD)·AC＝DB·AC＝→→ 0?DB⊥AC，所以平行四边形ABCD是菱形． 高频考点五、 向量在解析几何中的应用 →→→ 例5、(1)已知向量OA＝(k,12)，OB＝(4,5)，OC＝(10，k)，且A、B、C三点共线，当k<0时，若k为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________． →→22 (2)设O为坐标原点，C为圆(x－2)＋y＝3的圆心，且圆上有一点M(x，y)满足OM·CM＝0，则＝______. 答案 (1)2x＋y－3＝0 (2)±3 →→→ 解析 (1)∵AB＝OB－OA＝(4－k，－7)， →→→→→BC＝OC－OB＝(6，k－5)，且AB∥BC， ∴(4－k)(k－5)＋6×7＝0， 解得k＝－2或k＝11. 由k<0可知k＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y＋1＝－2(x－2)，即2x＋yyx
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