专题63 事件的关系与概率运算
【热点聚焦与扩展】
纵观近几年的高考试题，概率是高考热点之一，以实际问题为背景，考查概率的计算以及分析、推理能力.难度控制在中等以下．
本专题在分析研究近几年高考题及各地模拟题的基础上，举例说明. 1、事件的分类与概率：
（1）必然事件：一定会发生的事件，用?表示，必然事件发生的概率为100% （2）不可能事件：一定不会发生的事件，用?表示，不可能事件发生的概率为0%
（3）随机事件：可能发生也可能不发生的事件，用字母A,B,C进行表示，随机事件的概率P??0,1? 2、事件的交并运算：
（1）交事件：若事件C发生当且仅当事件A与事件B同时发生，则称事件C为事件A与事件B的交事件，记为
AIB，简记为AB
多个事件的交事件：A1IA2ILIAn：事件A1,A2,L,An同时发生
（2）并事件：若事件C发生当且仅当事件A与事件B中至少一个发生（即A发生或B发生），则称事件C为事件A与事件B的并事件，记为AUB
多个事件的并事件：A1UA2ULUAn：事件A1,A2,L,An中至少一个发生 3、互斥事件与概率的加法公式：
（1）互斥事件：若事件A与事件B的交事件AIB为不可能事件，则称A,B互斥，即事件A与事件B不可能同时发生.例如：投掷一枚均匀的骰子，设事件“出现1点”为事件A，“出现3点”为事件B，则两者不可能同时发生，所以A与B互斥
（2）若一项试验有n个基本事件：A1,A2,L,An，则每做一次实验只能产生其中一个基本事件，所以A1,A2,L,An之间均不可能同时发生，从而A1,A2,L,An两两互斥
（3）概率的加法公式（用于计算并事件）：若A,B互斥，则有
P?AUB??P?A??P?B?
例如在上面的例子中，事件AUB为“出现1点或出现3点”由均匀的骰子可得P?A??P?B??加法公式可得：P?AUB??P?A??P?B??1，所以根据61 3（4）对立事件：若事件A与事件B的交事件AIB为不可能事件，并事件AUB为必然事件，则称事件B为事
件A的对立事件，记为B?A，也是我们常说的事件的“对立面”，对立事件概率公式：P?A??1?PA，关于对立事件有几点说明：
① 公式的证明：因为A,A对立，所以AIA??，即A,A互斥，而AUA??，所以
??P????PAUA?P?A??PA，因为P????1，从而P?A??1?PA
② 此公式也提供了求概率的一种思路：即如果直接求事件A的概率所讨论的情况较多时，可以考虑先求其对立事件的概率，再利用公式求解
③ 对立事件的相互性：事件B为事件A的对立事件，同时事件A也为事件B的对立事件
④ 对立与互斥的关系：对立关系要比互斥关系的“标准”更高一层.由对立事件的定义可知：A,B对立，则A,B一定互斥；反过来，如果A,B互斥，则不一定A,B对立（因为可能AUB不是必然事件） 4、独立事件与概率的乘法公式：
（1）独立事件：如果事件A（或B）发生与否不影响事件B（或A）发生的概率，则称事件A与事件B相互独立.例如投掷两枚骰子，设“第一个骰子的点数是1”为事件A，“第二个骰子的点数是2”为事件B，因为两个骰子的点数不会相互影响，所以A,B独立
（2）若A,B独立，则A与B，B与A，A与B也相互独立
（3）概率的乘法公式：若事件A,B独立，则A,B同时发生的概率P?AB??P?A??P?B? ，比如在上面那个例子中，P?A????????11,P?B??，设“第一个骰子点数为1，且第二个骰子点数为2”为事件C，则661. P?C??P?AB??P?A??P?B??36（4）独立重复试验：一项试验，只有两个结果.设其中一个结果为事件A（则另一个结果为A），已知事件A发生的概率为p，将该试验重复进行n次（每次试验结果互不影响），则在n次中事件A恰好发生k次的概率为
kkP?Cnp?1?p?n?k
① 公式的说明：以“连续投掷3次硬币，每次正面向上的概率为的硬币可知P?Ai??1”为例，设Ai为“第i次正面向上”，由均匀31，设B为“恰好2次正面向上”，则有：P?B??PA1A2A3?PA1A2A3?PA1A2A3 2???????1??1?而PA1A2A3?PA1A2A3?PA1A2A3?????
?2??2???????2?1??1?2?1??1??P?B??3??????C3?????2??2??2??2?223?2
② Cn的意义：是指在n次试验中事件A在哪k次发生的情况总数，例如在上面的例子中“3次投掷硬币，两次正面向上”，其中C3代表了符合条件的不同情况总数共3种 5、条件概率及其乘法公式： （1）条件概率：
（2）乘法公式：设事件A,B，则A,B同时发生的概率P?AB??P?A??P?B|A? （3）计算条件概率的两种方法：（以计算P?B|A?为例）
① 计算出事件A发生的概率P?A?和A,B同时发生的概率P?AB?，再利用P?B|A??2kP?AB?P?A?即可计算
② 按照条件概率的意义：即B在A条件下的概率为事件A发生后，事件B发生的概率.所以以事件A发生后的事实为基础，直接计算事件B发生的概率 6、两种乘法公式的联系：
独立事件的交事件概率：P?AB??P?A??P?B? 含条件概率的交事件概率：P?AB??P?A??P?B|A?
通过公式不难看出，交事件的概率计算与乘法相关，且事件A,B通常存在顺承的关系，即一个事件发生在另一事件之后.所以通过公式可得出这样的结论：交事件概率可通过乘法进行计算，如果两个事件相互独立，则直接作概率的乘法，如果两个事件相互影响，则根据题意分出事件发生的先后，用先发生事件的概率乘以事件发生后第二个事件的概率（即条件概率）
【经典例题】
例1.【2018年全国卷Ⅲ文】若某群体中的成员只用现金支付的概率为0.45，既用现金支付也用非现金支付的概率为0.15，则不用现金支付的概率为 A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 【答案】B
【解析】分析：由公式计算可得
详解：设设事件A为只用现金支付，事件B为只用非现金支付， 则因为所以故选B.
例2.【2016年高考北京理数】袋中装有偶数个球，其中红球、黑球各占一半.甲、乙、丙是三个空盒.每次从袋中任意取出两个球，将其中一个球放入甲盒，如果这个球是红球，就将另一个球放入乙盒，否则就放入丙盒.重复上述过程，直到袋中所有球都被放入盒中，则（）
A.乙盒中黑球不多于丙盒中黑球 B.乙盒中红球与丙盒中黑球一样多 C.乙盒中红球不多于丙盒中红球 D.乙盒中黑球与丙盒中红球一样多 【答案】C
例3.【2016高考天津文数】甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是为（ ） （A）
11，甲获胜的概率是，则甲不输的概率235 6（B）
2 5（C）
1 6 （D）
1 3【答案】A
【解析】甲不输概率为
115??.选A. 236【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.运用概率加法的前提是事件互斥，不输包含赢与和，两种互斥，可用概率加法.对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件.
例4. 从1,2,3,4,5这5个数中任取两数，其中：①恰有一个是偶数和恰有一个是奇数；②至少有一个是奇数和两个都是奇数；③至少有一个是奇数和两个都是偶数；④至少有一个是奇数和至少有一个是偶数.上述事件中，是对立事件的是（ ）
A. ① B. ②④ C. ③ D. ①③ 【答案】C
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