(1)若a是从1，2，3三个数中任取的一个数，b是从0，1，2三个数中任取的一个数，求已知方程有两个不相等实根的概率；
(2)若a是从区间[0，3]内任取的一个数，b是从区间[0，2]内任取的一个数，求已知方程有实数根的概率.
解 设事件A为“方程9x＋6ax－b＋4＝0有两个不相等的实数根”；事件B为“方程9x＋6ax－b＋4＝0有实数根”.
(1)由题意知，基本事件共9个，即(1，0)，(1，1)，(1，2)，(2，0)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，其中第一个数表示a的取值，第二个数表示b的取值. 由Δ＝36a－36(－b＋4)＝36a＋36b－36×4＞0，得a＋b＞4. 事件A要求a，b满足条件a＋b＞4，包含6个基本事件，
62
即(1，2)，(2，1)，(2，2)，(3，0)，(3，1)，(3，2)，则事件A发生的概率为P(A)＝＝.
93(2)a，b的取值所构成的区域如图所示，其中0≤a≤3，0≤b≤2.
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
构成事件B的区域为{(a，b)|0≤a≤3，0≤b≤2，a＋b≥4}(如图中阴影部分)， 12
2×3－×π×2
4π
则所求的概率为P(B)＝＝1－.
2×36考点三 统计与概率的综合问题
方法技巧 对于将抽样方法、频率分布等统计知识与古典概型相结合的题目，要明确频率和概率的关系，把握基本事件的构成.
9.(2017·全国Ⅲ)某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温(单位：℃)有关.如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25)，需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得到下面的频数分布表： 最高气温 天数 以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率. (1)估计六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率；
(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位：元)，当六月份这种酸奶一天的进货量为450
[10，15) 2 [15，20) 16 [20，25) 36 [25，30) 25 [30，35) 7 [35，40) 4 2
2
瓶时，写出Y的所有可能值，并估计Y大于零的概率.
解 (1)这种酸奶一天的需求量不超过300瓶，当且仅当最高气温低于25，由表格数据知，2＋16＋36
最高气温低于25的频率为＝0.6，所以这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率
90的估计值为0.6.
(2)当这种酸奶一天的进货量为450瓶时，
若最高气温不低于25，则Y＝6×450－4×450＝900；
若最高气温位于区间[20，25)，则Y＝6×300＋2(450－300)－4×450＝300； 若最高气温低于20，则Y＝6×200＋2(450－200)－4×450＝－100， 所以Y的所有可能值为900，300，－100.
Y大于零当且仅当最高气温不低于20，
36＋25＋7＋4
由表格数据知，最高气温不低于20的频率为＝0.8.
90因此Y大于零的概率的估计值为0.8.
10.为了整顿道路交通秩序，某地考虑将对行人闯红灯进行处罚.为了更好地了解市民的态度，在普通行人中随机选取了200人进行调查，当不处罚时，有80人会闯红灯，处罚时，得到如下数据：
处罚金额x(单位：元) 会闯红灯的人数y
若用表中数据所得频率代替概率.
(1)当罚金定为10元时，行人闯红灯的概率会比不进行处罚降低多少？
(2)将选取的200人中会闯红灯的市民分为两类：A类市民在罚金不超过10元时就会改正行为；B类是其他市民.现对A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度调查，则前两位均为B类市民的概率是多少？
解 (1)设“当罚金定为10元时，闯红灯的市民改正行为”为事件A， 401则P(A)＝＝. 2005
1
所以当罚金定为10元时，比不进行处罚，行人闯红灯的概率会降低.
5
(2)由题可知，A类市民和B类市民各有40人，故分别从A类市民和B类市民中各抽出2人，设从A类市民中抽出的2人分别为A1，A2，从B类市民中抽出的2人分别为B1，B2，设“A类与B类市民按分层抽样的方法抽取4人依次进行深度调查”为事件M，
则事件M中首先抽出A1的事件有(A1，A2，B1，B2)，(A1，A2，B2，B1)，(A1，B1，A2，B2)，(A1，
5 50 10 40 15 20 20 10 B1，B2，A2)，(A1，B2，A2，B1)，(A1，B2，B1，A2)，共6种.
同理首先抽出A2，B1，B2的事件也各有6种， 故事件M共有4×6＝24(种).
设“抽取的4人中前两位均为B类市民”为事件N，则事件N有(B1，B2，A1，A2)，(B1，B2，
A2，A1)，(B2，B1，A1，A2)，(B2，B1，A2，A1)，共4种，所以P(N)＝＝.
1
所以抽取的4人中前两位均为B类市民的概率是.
6
11.(2017·北京)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20，30)，[30，40)，…[80，90]，并整理得到如下频率分布直方图.
4
2416
(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；
(2)已知样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40，50)内的人数； (3)已知样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等.试估计总体中男生和女生人数的比例.
解 (1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6， 所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，
所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4. (2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9， 分数在区间[40，50)内的人数为100－100×0.9－5＝5， 所以总体中分数在区间[40，50)内的人数估计为400×
5
＝20. 100
(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60， 1
所以样本中分数不小于70的男生人数为60×＝30，
2所以样本中的男生人数为30×2＝60， 女生人数为100－60＝40，
所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，
所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.
12.某烹饪学院为了弘扬中国传统的饮食文化，举办了一场由在校学生参加的厨艺大赛，组委会为了解本次大赛参赛学生的成绩情况，从参赛学生中随机抽取了n名学生的成绩(满分100分)作为样本，将所得分数经过分析整理后画出了频率分布直方图和茎叶图，其中茎叶图受到污
染，请据此解答下列问题：
(1)求频率分布直方图中a，b的值，并估计此次参加厨艺大赛学生的平均成绩；
(2)规定大赛成绩在[80，90)的学生为厨霸，在[90，100]的学生为厨神，现从被称为厨霸、厨神的学生中随机抽取2人去参加校际之间举办的厨艺大赛，求所抽取2人中至少有1人是厨神的概率.
5
解 (1)由题意可知，样本容量n＝＝40，
0.012 5×103
所以a＝＝0.007 5.
40×10
所以10b＝1－(0.125＋0.150＋0.450＋0.075)＝0.200， 所以b＝0.020 0，
平均成绩为0.125×55＋0.2×65＋0.45×75＋0.15×85＋0.075×95＝73.5.
(2)由题意可知，厨霸有0.015 0×10×40＝6(人)，分别记为a1，a2，a3，a4，a5，a6，厨神有0.007 5×10×40＝3(人)，分别记为b1，b2，b3，共9人，
从中任意抽取2人共有36种情况：(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，a4)，(a1，a5)，(a1，a6)，(a1，
b1)，(a1，b2)，(a1，b3)，(a2，a3)，(a2，a4)，(a2，a5)，(a2，a6)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a2，b3)，(a3，a4)，(a3，a5)，(a3，a6)，(a3，b1)，(a3，b2)，(a3，b3)，(a4，a5)，(a4，a6)，(a4，b1)，(a4，b2)，(a4，b3)，(a5，a6)，(a5，b1)，(a5，b2)，(a5，b3)，(a6，b1)，(a6，b2)，(a6，b3)，(b1，b2)，(b1，b3)，(b2，b3)，
其中至少有1人是厨神的情况有21种， 217
所以至少有1人是厨神的概率为＝.
3612
例 (12分)广场舞在全国各地都非常地流行，但是人们对广场舞也有不同的看法，有些人认为广场舞“很好”，能促进人们锻炼身体，有些人认为广场舞“不好”，影响其他人的休息，实践课上老师选派几位同学组成研究性小组，从某社区[25，55]岁的人群中随机抽取n人进行了一次调查，得到如下统计表：
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