指数函数、对数函数、幂函数综合
【学习目标】
1．理解有理指数幂的含义，掌握幂的运算．
2．理解指数函数的概念和意义，理解指数函数的单调性与特殊点． 3．理解对数的概念及其运算性质．
4．重点理解指数函数、对数函数、幂函数的性质，熟练掌握指数、对数运算法则，明确算理，能对常见的指数型函数、对数型函数进行变形处理．
5．会求以指数函数、对数函数、幂函数为载体的复合函数的定义域、单调性及值域等性质．
6．知道指数函数y?ax与对数函数y?logax互为反函数（a＞0，a≠1）． 【知识框图】
【要点梳理】
要点一：指数及指数幂的运算 1．根式的概念
a的n次方根的定义：一般地，如果xn?a，那么x叫做a的n次方根，其中n?1,n?N*
当n为奇数时，正数的n次方根为正数，负数的n次方根是负数，表示为na；当n为偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为?na．
负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0．
式子na叫做根式，n叫做根指数，a叫做被开方数． 2．n次方根的性质：
（1）当n为奇数时，nan?a；当n为偶数时，nan?a???a,a?0,
??a,a?0;（2）
?a?nn?a
mn3．分数指数幂的意义：
a?amnnm?a?0,m,n?N,n?1?；a??1amn?a?0,m,n?N,n?1?
要点诠释：
0的正分数指数幂等于0，负分数指数幂没有意义． 4．有理数指数幂的运算性质：
?a?0,b?0,r,s?Q?
（1）aa?arsr?srr （2）(ar)s?ars （3）?ab??ab
r要点二：指数函数及其性质 1．指数函数概念
一般地，函数y?ax?a?0,且a?1?叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R． 2．指数函数函数性质： 函数 名称 定义 指数函数 函数y?ax(a?0且a?1)叫做指数函数 a?1 y y?ax (0,1) O x 0?a?1 y?axy图象 y?1y?1(0,1) 1 0 OR 1 0 x定义域 值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况 在R上是增函数 (0,??) 图象过定点(0,1)，即当x?0时，y?1． 非奇非偶 在R上是减函数 ax?1(x?0)ax?1(x?0) ax?1(x?0)ax?1(x?0)ax?1(x?0) ax?1(x?0)a变化对图象的影响 在第一象限内，从逆时针方向看图象，a逐渐增大；在第二象限内，从逆时针方向看图象，a逐渐减小．
要点三：对数与对数运算 1．对数的定义
（1）若a?N(a?0,且a?1)，则x叫做以a为底N的对数，记作x?logaN，其中a叫做底数，
xN叫做真数．
（2）负数和零没有对数．
（3）对数式与指数式的互化：x?logaN?ax?N(a?0,a?1,N?0)． 2．几个重要的对数恒等式
loga1?0，logaa?1，logaab?b．
3．常用对数与自然对数
常用对数：lgN，即log10N；自然对数：lnN，即logeN（其中e?2.71828…）． 4．对数的运算性质
如果a?0,a?1,M?0,N?0，那么 ①加法：logaM?logaN?loga(MN) ②减法：logaM?logaN?logaM N③数乘：nlogaM?logaMn(n?R) ④alogaN?N
n⑤logabM?nlogaM(b?0,n?R) b⑥换底公式：logaN?logbN(b?0,且b?1)
logba要点四：对数函数及其性质 1．对数函数定义
一般地，函数y?logax?a?0,且a?1?叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域?0,???． 2．对数函数性质： 函数 名称 定义 对数函数 函数y?logax(a?0且a?1)叫做对数函数 a?1 0?a?1 yx?1 y?logaxyx?1 图象 O1 0 (1,0)xO1 0 y?logax (1,0) x 定义域 (0,??)
值域 过定点 奇偶性 单调性 函数值的 变化情况 在(0,??)上是增函数 R 图象过定点(1,0)，即当x?1时，y?0． 非奇非偶 在(0,??)上是减函数 logax?0(x?1)logax?0(x?1)logax?0(0?x?1) logax?0(x?1)logax?0(x?1)logax?0(0?x?1) a变化对图象的影响 在第一象限内，从顺时针方向看图象，a逐渐增大；在第四象限内，从顺时针方向看图象，a逐渐减小．
要点五：反函数 1．反函数的概念
设函数y?f(x)的定义域为A，值域为C，从式子y?f(x)中解出x，得式子x??(y)．如果对于
y在C中的任何一个值，通过式子x??(y)，x在A中都有唯一确定的值和它对应，那么式子x??(y)表
示x是y的函数，函数x??(y)叫做函数y?f(x)的反函数，记作x?f?1(y)，习惯上改写成
y?f?1(x)．
2．反函数的性质
（1）原函数y?f(x)与反函数y?f?1(x)的图象关于直线y?x对称．
（2）函数y?f(x)的定义域、值域分别是其反函数y?f?1(x)的值域、定义域． （3）若P(a,b)在原函数y?f(x)的图象上，则P'(b,a)在反函数y?f?1(x)的图象上． （4）一般地，函数y?f(x)要有反函数则它必须为单调函数． 要点六：幂函数
1．幂函数概念
形如y?x(??R)的函数，叫做幂函数，其中?为常数． 2．幂函数的性质
（1）图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于y轴对称）；是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．
（2）过定点：所有的幂函数在(0,??)都有定义，并且图象都
?
通过点(1,1)．
（3）单调性：如果??0，则幂函数的图象过原点，并且在[0,??)上为增函数．如果??0，则幂函数的图象在(0,??)上为减函数，在第一象限内，图象无限接近x轴与y轴．
（4）奇偶性：当?为奇数时，幂函数为奇函数，当?为偶数时，幂函数为偶函数．当??qpq（其中pqpp,q互质，p和q?Z），若p为奇数q为奇数时，则y?x是奇函数，若p为奇数q为偶数时，则y?x是偶函数，若p为偶数q为奇数时，则y?x是非奇非偶函数．
qp（5）图象特征：幂函数y?x?,x?(0,??)，当??1时，若0?x?1，其图象在直线y?x下方，若x?1，其图象在直线y?x上方，当??1时，若0?x?1，其图象在直线y?x上方，若x?1，其图象在直线y?x下方．
【典型例题】
类型一：指数、对数运算 例1．计算 （1） log271?log212?log242； （2）lg32?lg35?3lg2lg5； 482lg0.72?1?22（3）lg5?lg8?lg5lg20?lg2；（4）7lg20???3?2?【答案】（1）?
【思路点拨】运算时尽量把根式转化为分数指数幂，而小数也要化为分数为好．
1；（2）1；（3）3；（4）14． 21?7??11?1?2?12??log?log2??【解析】（1）原式=log2?； ?2?2??43?27?6??2??22（2）原式=?lg2?lg5?lg2?lg2lg5?lg5?3lg2lg5
?? =lg10???lg5?lg2??3lg2lg5??3lg2lg5
2?? =1-3lg2lg5+3lg2lg5=1
（3）原式=2lg5?2lg2?lg5?1?lg2??lg2
2=2?lg5?lg2??lg5?lg2(lg2?lg5) =2+lg5?lg2=3；
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