板块2 核心考点突破拿高分 专题3 第2讲 立体几何(大题)(教师版)备战2020年高考理科数学二轮复习提分讲义

＝

3＝， 41?2＋3h?2＋?h－2?2＋43

2

解得h＝3，

所以当AM＝3时，使平面ABE与平面MCE所成二面角的余弦值为

3. 4

跟踪演练3 如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝BC＝AA1＝2，点P为棱B1C1的中点，点Q为线段A1B上一动点.

(1)求证：当点Q为线段A1B的中点时，PQ⊥平面A1BC；

→→

(2)设BQ＝λBA1，试问：是否存在实数λ，使得平面A1PQ与平面B1PQ所成锐二面角的余弦值为30

？若存在，求出这个实数λ；若不存在，请说明理由. 10

(1)证明 连接AB1，AC1，

∵点Q为线段A1B的中点， ∴A，Q，B1三点共线， 且Q为AB1的中点， ∵点P为B1C1的中点， ∴PQ∥AC1.

在直三棱柱ABC－A1B1C1中， AC⊥BC，

∴BC⊥平面ACC1A1， 又AC1?平面ACC1A1， ∴BC⊥AC1. ∵AC＝AA1，

∴四边形ACC1A1为正方形， ∴AC1⊥A1C，

又A1C，BC?平面A1BC，A1C∩BC＝C， ∴AC1⊥平面A1BC， 而PQ∥AC1， ∴PQ⊥平面A1BC.

(2)解 由题意可知，CA，CB，CC1两两垂直，

以C为原点，分别以CA，CB，CC1所在直线为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系C－xyz， 连接B1Q，PB，设Q(x，y，z)， B(0,2,0)，A1(2,0,2)， P(0,1,2)，B1(0,2,2)， →→∵BQ＝λBA1，

∴(x，y－2，z)＝λ(2，－2,2)， x＝2λ，??

∴?y＝2－2λ，??z＝2λ，

∴Q(2λ，2－2λ，2λ).

∵点Q在线段A1B上运动，

∴平面A1PQ的法向量即为平面A1PB的法向量， 设平面A1PB的法向量为n1＝(x，y，z)， →→

BP＝(0，－1,2)，PA1＝(2，－1,0)， →??BP＝0，?n1·?－y＋2z＝0，由?得?

→???2x－y＝0，PA1＝0，?n1·

令y＝2，得n1＝(1,2,1)，

设平面B1PQ的法向量为n2＝(x，y，z)，

→→

PB1＝(0,1,0)，B1Q＝(2λ，－2λ，2λ－2).

→??PB1＝0，?n2·?y＝0，

由?得?

→?2λx－2λy＋?2λ－2?z＝0，??B1Q＝0，?n2·

令z＝1得n2＝?

?1－λ?1

?＝(1－λ，0，λ)，

?λ，0，1?λ

取n2＝(1－λ，0，λ)，

|1，2，1·1－λ，0，λ|

6·?1－λ?2＋λ2

由题意得|cos〈n1，n2〉|＝

1

()(

)

＝

6×

30＝， 102

2λ－2λ＋1

∴9λ2－9λ＋2＝0， 12

解得λ＝或λ＝，

33

1230

∴当λ＝或λ＝时，平面A1PQ与平面B1PQ所成锐二面角的余弦值为. 3310