2018年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学试题及答案

曲线C22的极坐标方程为??2?cos??3?0. （1）求C2的直角坐标方程；

（2）若C1与C2有且仅有三个公共点，求C1的方程. 23．[选修4–5：不等式选讲]（10分）

已知

f(x)?|x?1|?|ax?1|.

（1）当a?1时，求不等式f(x)?1的解集；

（2）若x?(0,1)时不等式f(x)?x成立，求a的取值范围

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2018年普通高等学校招生全国统一考试

理科数学答案

参考答案：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 C

B

A

B

D

A

B

D

C

A

13.6 14.?63 15.16 16.?332 17.（12分）

解：（1）在△ABD中，由正弦定理得

BDABsin?A?sin?ADB. 由题设知，

52sin45??sin?ADB，所以sin?ADB?25. 由题设知，?ADB?90?，所以cos?ADB?1?225?235. （2）由题设及（1）知，cos?BDC?sin?ADB?25. 在△BCD中，由余弦定理得

BC2?BD2?DC2?2?BD?DC?cos?BDC

12 B

A

11 ?25?8?2?5?22?2 5?25.

所以BC?5. 18.（12分）

解：（1）由已知可得，BF⊥PF，BF⊥EF，所以BF⊥平面PEF. 又BF?平面ABFD，所以平面PEF⊥平面ABFD.

（2）作PH⊥EF，垂足为H.由（1）得，PH⊥平面ABFD.

uuuruuur以H为坐标原点，HF的方向为y轴正方向，|BF|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系H?xyz.

由（1）可得，DE⊥PE.又DP=2，DE=1，所以PE=3.又PF=1，EF=2，故PE⊥PF.

可得PH?33,EH?. 22uuurr3333uuu3),D(?1,?,0),DP?(1,,),HP?(0,0,)为平面ABFD的法向量. 则H(0,0,0),P(0,0,222223uuuruuurHP?DP3ruuur|?4?设DP与平面ABFD所成角为?，则sin??|uuu.

4|HP|?|DP|3所以DP与平面ABFD所成角的正弦值为19.（12分）

解：（1）由已知得F(1,0)，l的方程为x=1.

3. 4由已知可得，点A的坐标为(1,22)或(1,?). 22所以AM的方程为y??22x?2或y?x?2. 22（2）当l与x轴重合时，?OMA??OMB?0?.

当l与x轴垂直时，OM为AB的垂直平分线，所以?OMA??OMB.

当l与x轴不重合也不垂直时，设l的方程为y?k(x?1)(k?0)，A(x1,y1),B(x2,y2)， 则x1?2,x2?2，直线MA，MB的斜率之和为kMA?kMB?y1y?2. x1?2x2?2由y1?kx1?k,y2?kx2?k得

kMA?kMB?2kx1x2?3k(x1?x2)?4k.

(x1?2)(x2?2)x2?y2?1得 将y?k(x?1)代入2(2k2?1)x2?4k2x?2k2?2?0.

4k22k2?2,x1x2?2所以，x1?x2?. 22k?12k?14k3?4k?12k3?8k3?4k?0. 则2kx1x2?3k(x1?x2)?4k?2k2?1从而kMA?kMB?0，故MA，MB的倾斜角互补，所以?OMA??OMB. 综上，?OMA??OMB. 20.（12分）

解：（1）20件产品中恰有2件不合格品的概率为f(p)?C20p(1?p).因此

18217217f?(p)?C220[2p(1?p)?18p(1?p)]?2C20p(1?p)(1?10p).

2218令f?(p)?0，得p?0.1.当p?(0,0.1)时，f?(p)?0；当p?(0.1,1)时，f?(p)?0. 所以f(p)的最大值点为p0?0.1. （2）由（1）知，p?0.1.

（i）令Y表示余下的180件产品中的不合格品件数，依题意知Y:B(180,0.1)，X?20?2?25Y，即

X?40?25Y.

所以EX?E(40?25Y)?40?25EY?490.

（ii）如果对余下的产品作检验，则这一箱产品所需要的检验费为400元. 由于EX21.（12分）

?400，故应该对余下的产品作检验.

1ax2?ax?1解:（1）f(x)的定义域为(0,??)，f?(x)??2?1???. 2xxx（i）若a?2，则f?(x)?0，当且仅当a?2，x?1时f?(x)?0，所以f(x)在(0,??)单调递减.

a?a2?4a?a2?4（ii）若a?2，令f?(x)?0得，x?或x?.

22a?a2?4a?a2?4)U(,??)时，f?(x)?0； 当x?(0,22a?a2?4a?a2?4a?a2?4a?a2?4,)时，f?(x)?0.所以f(x)在(0,),(,??)单调当x?(2222a?a2?4a?a2?4,)单调递增. 递减，在(22（2）由（1）知，f(x)存在两个极值点当且仅当a?2.

由于f(x)的两个极值点x1,x2满足x?ax?1?0，所以x1x2?1，不妨设x1?x2，则x2?1.由于

2f(x1)?f(x2)lnx1?lnx2lnx1?lnx2?2lnx21， ???1?a??2?a??2?a1x1?x2x1x2x1?x2x1?x2?x2x2所以

f(x1)?f(x2)1?a?2等价于?x2?2lnx2?0.

x1?x2x2设函数g(x)?1?x?2lnx，由（1）知，g(x)在(0,??)单调递减，又g(1)?0，从而当x?(1,??)时，xg(x)?0.

所以

f(x1)?f(x2)1?x2?2lnx2?0，即?a?2. x2x1?x222．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）