3?3?2?52?
得，则所求概率是3×?1－4?＋4×?1－3?＝12.
????答案 D
6.(2019·青岛联考)已知随机变量X～N(1，σ2)，若P(X>0)＝0.8，则P(X≥2)＝________.
解析 随机变量X服从正态分布N(1，σ2)，∴正态曲线关于x＝1对称，∴P(X≥2)＝P(X≤0)＝1－P(X>0)＝0.2. 答案 0.2
考点一 条件概率与事件独立性
【例1】 (1)(一题多解)从1，2，3，4，5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( ) 1
A.8
1B.4
2C.5
1D.2 2C3＋C2242C212解析 法一 P(A)＝C2＝10＝5，P(AB)＝P(B)＝C2＝10.由条件概率计算公
55
1
P（AB）101
式，得P(B|A)＝＝2＝4. P（A）
5
法二 事件A包括的基本事件：(1，3)，(1，5)，(3，5)，(2，4)共4个. 事件AB发生的结果只有(2，4)一种情形，即n(AB)＝1. n(AB)1
故由古典概型概率P(B|A)＝n(A)＝4. 答案 B
(2)(2019·天津和平区质检)某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的23
概率分别为3和5.现安排甲组研发新产品A，乙组研发新产品B.设甲、乙两组的研发相互独立.
①求至少有一种新产品研发成功的概率；
②若新产品A研发成功，预计企业可获利润120万元；若新产品B研发成功，预
计企业可获利润100万元.求该企业可获利润的分布列.
解 记E＝{甲组研发新产品成功}，F＝{乙组研发新产品成功}，由题设知P(E)
－－－－－－
2132
＝3，P(E)＝3，P(F)＝5，P(F)＝5，且事件E与F，E与F，E与F，E与F都相互
独立.
－
－
－
①记H＝{至少有一种新产品研发成功}，则H＝E F， 122
于是P(H)＝P(E)P(F)＝3×5＝15，
－
－
－
213
故所求的概率为P(H)＝1－P(H)＝1－15＝15.
－
②设企业可获利润为X(万元)，则X的可能取值为0，100，120，220，因为P(X
－
1221331
＝0)＝P(EF)＝3 ×5＝15，P(X＝100)＝P(EF)＝3×5＝15＝5，
－
224
P(X＝120)＝P(EF)＝3×5＝15，
2362
P(X＝220)＝P(EF)＝3×5＝15＝5.
－－
故所求的分布列为
X P 0 215 100 15 120 415 220 25 规律方法 1.求条件概率的两种方法
P(AB)
(1)利用定义，分别求P(A)和P(AB)，得P(B|A)＝P(A)，这是求条件概率的通法. (2)借助古典概型概率公式，先求事件A包含的基本事件数n(A)，再求事件A与事n(AB)件B的交事件中包含的基本事件数n(AB)，得P(B|A)＝n(A). 2.求相互独立事件同时发生的概率的主要方法 (1)利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解.
(2)正面计算较繁(如求用“至少”表述的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算.
【训练1】 (1)(2019·珠海一模)夏秋两季，生活在长江口外浅海域的中华鱼回游到长江，历经三千多公里的溯流博击，回到金沙江一带产卵繁殖，产后待幼鱼长大
到15厘米左右，又携带它们旅居外海.一个环保组织曾在金沙江中放生一批中华鱼鱼苗，该批鱼苗中的雌性个体能长成熟的概率为0.15，雌性个体长成熟又能成功溯流产卵繁殖的概率为0.05，若该批鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域已长成熟，则其能成功溯流产卵繁殖的概率为( ) A.0.05
B.0.007 5
1C.3
1D.6 1
(2)(2018·濮阳二模)如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是2，且是相互独立的，则灯亮的概率为( )
3A.16
3B.4
13C.16
1D.4 解析 (1)设事件A为鱼苗中的一个雌性个体在长江口外浅海域长成熟，事件B为该雌性个体成功溯流产卵繁殖，由题意可知P(A)＝0.15，P(AB)＝0.05，∴P(B|A)＝
P(AB)0.051
＝＝. P(A)0.153
(2)灯泡不亮包括两种情况：①四个开关都开，②下边的2个都开，上边的2个中有一个开，
1111111111113
∴灯泡不亮的概率是2×2×2×2＋2×2×2×2＋2×2×2×2＝16， ∵灯亮和灯不亮是两个对立事件， 313
∴灯亮的概率是1－16＝16. 答案 (1)C (2)C 考点二 全概率公式
【例2】 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占30%，二厂生产的占50%，三厂生产的占20%，已知这三个厂的产品次品率分别为2%，1%，1%，问从这批产品中任取一件是次品的概率是多少？ 解 设事件A为“任取一件为次品”，
事件Bi为“任取一件为i厂的产品”，i＝1，2，3. B1∪B2∪B3＝S，
由全概率公式得
P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3). P(B1)＝0.3，P(B2)＝0.5，P(B3)＝0.2， P(A|B1)＝0.02，P(A|B2)＝0.01，P(A|B3)＝0.01，
故P(A)＝P(A|B1)P(B1)＋P(A|B2)P(B2)＋P(A|B3)P(B3)＝0.02×0.3＋0.01×0.5＋0.01×0.2＝0.013.
规律方法 全概率公式是计算概率的一个很有用的公式，通常把B1，B2，…，Bn看成导致A发生的一组原因.如若A是“次品”，必是n个车间生产了次品；若A是“某种疾病”，必是几种病因导致A发生；若A表示“被击中”，必有几种方式或几个人打中.
(1)何时用全概率公式：多种原因导致事件的发生.
(2)如何用全概率公式：将事件分解成两两不相容的完备事件组. (3)从本质上讲，全概率公式是加法公式与乘法公式的结合.
【训练2】 一个盒子中有6只白球、4只黑球，从中不放回地每次任取1只，连取2次，求第二次取到白球的概率.
解 A＝{第一次取到白球}，B＝{第二次取到白球}.
－
－
因为B＝AB∪AB，且AB与AB互不相容，所以
6546
P(B)＝P(AB)＋P(AB)＝P(A)P(B|A)＋P(A)P(B|A)＝10×9＋10×9＝0.6.
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考点三 独立重复试验与二项分布
【例3】 某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：克)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515].由此得到样本的频率分布直方图(如下图).
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