2019-2020创新设计一轮复习 第十章 第7节

(1)根据频率分布直方图，求质量超过505克的产品数量；

(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505克的产品数量，求X的分布列；

(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505克的产品数量，求Y的分布列.

解 (1)质量超过505克的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3， 所以质量超过505克的产品数量为40×0.3＝12(件).

(2)重量超过505的产品数量为12件，则重量未超过505克的产品数量为28件，X的取值为0，1，2， X服从超几何分布.

21C2863C112C2828

P(X＝0)＝C2＝130，P(X＝1)＝C2＝65，

40402

C1211

P(X＝2)＝C2＝130，

40

∴X的分布列为

X P 0 63130 1 2865 2 11130 12

(3)根据样本估计总体的思想，取一件产品，该产品的质量超过505克的概率为403＝10.

从流水线上任取2件产品互不影响，该问题可看成2次独立重复试验，质量超过3??

505克的件数Y的可能取值为0，1，2，且Y～B?2，10?，

??3?k?P(Y＝k)＝C2?1－10?

??

2－k

?3??10?， ??

k

49?7??10?＝所以P(Y＝0)＝C0， 2·??1003721

P(Y＝1)＝C12··＝， 1010509?3?

??P(Y＝2)＝C2·＝. 210??100∴Y的分布列为

Y P 0 49 1001 21 502 9 1002

2

规律方法 利用独立重复试验概率公式可以简化求概率的过程，但需要注意检查

kn－k

该概率模型是否满足公式P(X＝k)＝Ck的三个条件：(1)在一次试验中np(1－p)

某事件A发生的概率是一个常数p；(2)n次试验不仅是在完全相同的情况下进行的重复试验，而且各次试验的结果是相互独立的；(3)该公式表示n次试验中事件A恰好发生了k次的概率.

【训练3】 为研究家用轿车在高速公路上的车速情况，交通部门随机选取100名家用轿车驾驶员进行调查，得到其在高速公路上行驶时的平均车速情况为：在55名男性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有40人，不超过100 km/h的有15人；在45名女性驾驶员中，平均车速超过100 km/h的有20人，不超过100 km/h的有25人.

(1)在被调查的驾驶员中，从平均车速不超过100 km/h的人中随机抽取2人，求这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员的概率；

(2)以上述样本数据估计总体，从高速公路上行驶的家用轿车中随机抽取3辆，记这3辆车平均车速超过100 km/h且为男性驾驶员的车辆为X，求X的分布列. 解 (1)平均车速不超过100 km/h的驾驶员有40人，从中随机抽取2人的方法总数为C2记“这2人恰好有1名男性驾驶员和1名女性驾驶员”为事件A，则事40，

1件A所包含的基本事件数为C115C25， 11

C15C2515×2525

所以所求的概率P(A)＝C2＝＝.

20×395240

(2)根据样本估计总体的思想，从总体中任取1辆车，平均车速超过100 km/h且为402男性驾驶员的概率为100＝5， 2??

故X～B?3，5?.

??

270?2??3??5??5?＝所以P(X＝0)＝C3，

????125541?2??3?????P(X＝1)＝C355＝125，

????

2?2??5?P(X＝2)＝C3??3?2?P(X＝3)＝C3?5???

2

20

3

?3?36?5?＝， ??1258?3?

?5?＝. ??125

0

3

所以X的分布列为

X P 考点四 正态分布

【例4】 (1)(2019·郑州模拟)已知随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，且P(ξ<4)＝0.8，则P(0<ξ<4)＝( ) A.0.6

B.0.4

C.0.3

D.0.2

0 27125 1 54125 2 36125 3 8125 (2)(2019·茂名一模)设X～N(1，1)，其正态分布密度曲线如图所示，那么向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是( ) (注：若X～N(μ，σ2)，则P(μ－σ

A.7 539

B.6 038

C.7 028

D.6 587

解析 (1)因为随机变量ξ服从正态分布N(2，σ2)，μ＝2，得对称轴为x＝2，P(ξ<4)＝0.8，∴P(ξ≥4)＝P(ξ≤0)＝0.2，∴P(0<ξ<4)＝0.6.

(2)∵X～N(1，1)，∴μ＝1，σ＝1. ∵P(μ－σ

∴P(0

∴向正方形ABCD中随机投掷10 000个点，则落入阴影部分的点的个数的估计值是10 000×0.658 7＝6 587. 答案 (1)A (2)D

规律方法 (1)利用3σ原则求概率问题时，要注意把给出的区间或范围与正态变量的μ，σ进行对比联系，确定它们属于(μ－σ，μ＋σ)，(μ－2σ，μ＋2σ)，(μ－3σ，μ＋3σ)中的哪一个.

(2)利用正态分布密度曲线的对称性研究相关概率问题，涉及的知识主要是正态曲线关于直线x＝μ对称，及曲线与x轴之间的面积为1.注意下面两个结论的活用： ①P(X＜a)＝1－P(X≥a)；②P(X＜μ－σ)＝P(X≥μ＋σ).

【训练4】 (2019·淄博一模)设每天从甲地去乙地的旅客人数为随机变量X，且X～N(800，502).则一天中从甲地去乙地的旅客人数不超过900的概率为( ) (参考数据：若X～N(μ，σ2)，有P(μ－σ

1－0.954 4解析 ∵X～N(800，50)，∴P(700≤X≤900)＝0.954 4，∴P(X>900)＝

2

2

＝0.022 8，∴P(X≤900)＝1－0.022 8＝0.977 2. 答案 A

[思维升华]