2.1.3 空间中直线与平面之间的位置关系
2.1.4 平面与平面之间的位置关系
【选题明细表】 知识点、方法 线面关系的判断 面面关系的判断 线线、线面关系的应用 面面关系的应用 题号 1,5,7 4,8 3,4,6,9 2,8,10,11,12
1.(2018·四川泸州模拟)设a,b是空间中不同的直线,α,β是不同的平面,则下列说法正确的是( D )
(A)a∥b,b?α,则a∥α
(B)a?α,b?β,α∥β,则a∥b
(C)a?α,b?α,a∥β,b∥β,则α∥β (D)α∥β,a?α,则a∥β 解析:A,B,C错;
在D中,α∥β,a?α,则a与β无公共点,所以a∥β,故D正确.故选D.
2.(2018·广东珠海高一月考)如图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,E,F分别为棱AB,CC1的中点,在平面ADD1A1内且与平面D1EF平行的直线( D )
(A)不存在 (B)有1条 (C)有2条 (D)有无数条
解析:由题设知平面ADD1A1与平面D1EF有公共点D1,由平面的基本性质中的公理知必有过该点的公共直线l,在平面ADD1A1内与l平行的直线有无数条,且它们都不在平面D1EF内,则它们都与平面D1EF平行,故 选D.
3.已知a,b是异面直线,直线c平行于直线a,那么c与b( C ) (A)一定是异面直线 (B)一定是相交直线 (C)不可能是平行直线 (D)不可能是相交直线
解析:由已知得,直线c与b可能为异面直线也可能为相交直线,但不可能为平行直线,若b∥c,则a∥b,与已知a,b为异面直线相矛盾.故选C.
4.给出下列几个说法:①过一点有且只有一条直线与已知直线平行;②过一点有且只有一条
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直线与已知直线垂直;③过平面外一点有且只有一条直线与该平面平行;④过平面外一点有且只有一个平面与该平面平行.其中正确说法的个数为( B ) (A)0 (B)1 (C)2 (D)3
解析:(1)当点在已知直线上时,不存在过该点的直线与已知直线平行,故①错;(2)由于垂直包括相交垂直和异面垂直,因而过一点与已知直线垂直的直线有无数条,故②错;(3)过棱柱的上底面内的一点在上底面内任意作一条直线都与棱柱的下底面平行,所以过平面外一点与已知平面平行的直线有无数条,故③错;(4)过平面外一点与已知平面平行的平面有且只有一个,故④对.
5.梯形ABCD中,AB∥CD,AB?平面α,CD?平面α,则直线CD与平面α内的直线的位置关系只能是( B )
(A)平行 (B)平行或异面 (C)平行或相交 (D)异面或相交
解析:如图所示,CD与平面α不能有交点,若有,则一定在直线AB上,从而矛盾.故选B.
6.(2018·湖北武昌调研)已知直线l和平面α,无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l( C ) (A)相交 (B)平行 (C)垂直 (D)异面
解析:当直线l与平面α平行时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l?平面α时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直;当直线l与平面α相交时,在平面α内至少有一条直线与直线l垂直,所以无论直线l与平面α具有怎样的位置关系,在平面α内总存在一条直线与直线l垂直.故选C.
7.如图的直观图,用符号语言表述为(1) , (2) .
答案:(1)a∩b=P,a∥平面M,b∩平面M=A
(2)平面M∩平面N=l,a∩平面N=A,a∥平面M
8.(2018·云南玉溪模拟)设m,n是两条不同的直线,α,β,γ是三个不同的平面,给出下列四个命题:
①若α∥β,α∥γ,则β∥γ;②若α⊥β,m∥α,则m⊥β; ③若m⊥α,m∥β,则α⊥β;④若m⊥α,m⊥n,则n∥α 其中正确命题的序号是( A ) (A)①③ (B)①④ (C)②③ (D)②④
解析:对于①,若α∥β,α∥γ,易得到β∥γ;故①正确; 对于②,若α⊥β,m∥α,m与β的关系不确定;故②错误;
对于③,若m⊥α,m∥β,可以在β内找到一条直线n与m平行,所以n⊥α,故α⊥β;故③正
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确;
对于④,若m⊥α,m⊥n,则n与α可能平行或者n在α内;故④错误.故选A.
9.(2018·南昌调研)若α,β是两个相交平面,则在下列命题中,真命题的序号为 .(写出所有真命题的序号)
①若直线m⊥α,则在平面β内,一定不存在与直线m平行的直线;②若直线m⊥α,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直;③若直线m?α,则在平面β内,不一定存在与直线m垂直的直线;④若直线m?α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线.
解析:对于①,若直线m⊥α,如果α,β互相垂直,则在平面β内,存在与直线m平行的直线,故①错误;对于②,若直线m⊥α,则直线m垂直于平面α内的所有直线,则在平面β内,一定存在无数条直线与直线m垂直,故②正确;对于③④,若直线m?α,则在平面β内,一定存在与直线m垂直的直线,故③错误,④正确. 答案:②④
10.(2018·贵州贵阳期末)已知下列说法: ①若两个平面α∥β,a?α,b?β,则a∥b;
②若两个平面α∥β,a?α,b?β,则a与b是异面直线; ③若两个平面α∥β,a?α,b?β,则a与b一定不相交; ④若两个平面α∥β,a?α,b?β,则a与b平行或异面; ⑤若两个平面α∩β=b,a?α,则a与β一定相交.
其中正确的序号是 .(将你认为正确的序号都填上) 解析:①错.a与b也可能异面. ②错.a与b也可能平行. ③对.因为α∥β, 所以α与β无公共点. 又因为a?α,b?β, 所以a与b无公共点.
④对.由③知a与b无公共点,那么a∥b或a与b异面. ⑤错.a与β也可能平行. 答案:③④
11.如图,平面α,β,γ满足α∥β,α∩γ=a,β∩γ=b,判断a与b,a与β的关系并证明你的结论.
解:a∥b,a∥β,理由:
由α∩γ=a知a?α且a?γ, 由β∩γ=b知b?β且b?γ, 因为α∥β,a?α,b?β, 所以a,b无公共点. 又因为a?γ,
且b?γ,所以a∥b.
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因为α∥β,
所以α与β无公共点, 又a?α,
所以a与β无公共点, 所以a∥β.
12.如图所示,已知平面α∩β=l,点A∈α,点B∈α,点C∈β,且A?l,B?l,C?l,直线AB与l不平行,那么平面ABC与平面β的交线与l有什么关系?证明你的结论.
解:平面ABC与β的交线与l相交.
证明:因为AB与l不平行,且AB?α,l?α,
所以AB与l一定相交,设AB∩l=P,则P∈AB,P∈l. 又因为AB?平面ABC,l?β,所以P∈平面ABC,P∈β. 所以点P是平面ABC与β的一个公共点,
而点C也是平面ABC与β的一个公共点,且P,C是不同的两点,所以直线PC就是平面ABC与β的交线.
即平面ABC∩β=PC,而PC∩l=P, 所以平面ABC与β的交线与l相交.
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