必修五第三章不等式章末小结

青云学府高二数学导学案 主备人：王斌

必修五第三章不等式章末小结

一、学习目标

1．会用不等式（组）表示不等关系；

2．熟悉不等式的性质，能应用不等式的性质求解“范围问题”，会用作差法比较大小； 3．会解一元二次不等式，熟悉一元二次不等式、一元二次方程和二次函数的关系； 4．会作二元一次不等式（组）表示的平面区域，会解简单的线性规划问题； 5．明确均值不等式及其成立条件，会灵活应用均值不等式证明或求解最值。 二、重点，难点

不等式性质的应用，一元二次不等式的解法，用二元一次不等式（组）表示平面区域，求线性目标函数在线性约束条件下的最优解，基本不等式的应用。利用不等式加法法则及乘法法则解题，求目标函数的最优解，基本不等式的应用。 三、掌握的知识点 1.知识梳理

（一）不等式与不等关系 1、不等式的主要性质： (1)对称性： (2)传递性： (3)加法法则： (4)乘法法则： (5)倒数法则： (6)乘方法则： (7)开方法则：

2、应用不等式的性质比较两个实数的大小；作差法 3、应用不等式性质证明 （二）一元二次不等式及其解法

一元二次不等式ax?bx?c?0或ax?bx?c?0?a?0?的解集：

2222设相应的一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?的两根为x1、x2且x1?x2，??b?4ac，则不

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自觉心是进步之母，自贱心是堕落之源，故自觉心不可无，自贱心不可有。

等式的解的各种情况如下表： 二次函数 ??0 ??0 ??0 y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c y?ax2?bx?c （a?0）的图象 一元二次方程 有两相异实根 有两相等实根 无实根 ax2?bx?c?0?a?0?的根ax2?bx?c?0(a?0)的解集ax2?bx?c?0(a?0)的解集x1,x2(x1?x2) x1?x2??b 2a（三）线性规划

1、用二元一次不等式（组）表示平面区域

二元一次不等式Ax+By+C＞0在平面直角坐标系中表示直线Ax+By+C=0某一侧所有点组成的平面区域.（虚线表示区域不包括边界直线） 2、二元一次不等式表示哪个平面区域的判断方法

由于对在直线Ax+By+C=0同一侧的所有点(x,y)，把它的坐标（x,y)代入Ax+By+C，所得到实数的符号都相同，所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从Ax0+By0+C的正负即可判断Ax+By+C＞0表示直线哪一侧的平面区域.（特殊地，当C≠0时，常把原点作为此特殊点） 3、线性规划的有关概念：

①线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件．

②线性目标函数：

关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目

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走得最慢的人，只要他不丧失目标，也比漫无目的地徘徊的人走得快。

标函数．

③线性规划问题：

一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题． ④可行解、可行域和最优解：

满足线性约束条件的解（x,y）叫可行解． 由所有可行解组成的集合叫做可行域．

使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解． 4、求线性目标函数在线性约束条件下的最优解的步骤：

（1）寻找线性约束条件，线性目标函数；

（2）由二元一次不等式表示的平面区域做出可行域； （3）在可行域内求目标函数的最优解

a?b 2a?b?ab(当且仅当a?b时取\?\号). 1、如果a,b是正数，那么2（四）基本不等式ab?7、把握解含参数的不等式的注意事项

解含参数的不等式时，首先应注意考查是否需要进行分类讨论.如果遇到下述情况则一般需要讨论：

①不等式两端乘除一个含参数的式子时，则需讨论这个式子的正、负、零性.

②在求解过程中，需要使用指数函数、对数函数的单调性时，则需对它们的底数进行讨论. ③在解含有字母的一元二次不等式时，需要考虑相应的二次函数的开口方向，对应的一元二次方程根的状况（有时要分析△），比较两个根的大小。 【典型例题】

【例1】解不等式：x2－（a+a2）x+a3<0。

【例2】解不等式：ax2+4x+4>0。(结果要求用解集表示)

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自觉心是进步之母，自贱心是堕落之源，故自觉心不可无，自贱心不可有。

【例3】某商场计划出售A、B两种商品，商场根据实际情况和市场需求，得到有关数据如下表：（商品单位：件）

资金（百元） 单位进价 单位工资支出 单位利润 A商品 30 5 6 B商品 20 10 8 日资金供应量 3000 1100 问如何确定两种货物的月供应量，可以使得总利润达到最大？最大利润为多少？

【例4】设a，b∈R，求证：a2+b2≥ab+a+b－1。

【例5】某地区上年度电价为每千瓦时0.8元，年用电量为a千瓦时，本年度计划将电价降到每千瓦时0.55元至0.75元之间，而用户期望电价为每千瓦0.4元。经测算，下调电价后新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比（比例系数为k），该地区电力成本价为每千瓦0.3元，设k＝0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20%？

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