∴sinα=∴α=60°． （2）
，
=2+2﹣2 =2．
【点评】本题考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟记特殊角的三角函数值，熟练掌握零指数幂、二次根式等考点的运算． 22．（2016?上海）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求： （1）线段BE的长； （2）∠ECB的余切值．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，由勾股定理求出AB=3，求出∠ADE=∠A=45°，由三角函数得出AE=，即可得出BE的长； （2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，由三角函数求出EH=BH=BE?cos45°=2，得出CH=1，在Rt△CHE中，由三角函数求出cot∠ECB=【解答】解：（1）∵AD=2CD，AC=3， ∴AD=2，
∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3， ∴∠A=∠B=45°，AB=
=
=3
， =即可．
∵DE⊥AB，
∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°， ∴AE=AD?cos45°=2×
=
，
∴BE=AB﹣AE=3﹣=2， 即线段BE的长为2；
（2）过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如图所示： ∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°， ∴EH=BH=BE?cos45°=2∵BC=3， ∴CH=1，
×
=2，
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在Rt△CHE中，cot∠ECB=即∠ECB的余切值为．
=，
【点评】本题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等腰直角三角形的性质，通过作辅助线求出CH是解决问题（2）的关键． 23．（2016?镇江）公交总站（A点）与B、C两个站点的位置如图所示，已知AC=6km，∠B=30°，∠C=15°，求B站点离公交总站的距离即AB的长（结果保留根号）．
【分析】过C作CD垂直于AB，交BA延长线于点D，由∠B与∠ACB的度数，利用外角性质求出∠CAD的度数，在直角三角形ACD中，利用勾股定理求出CD与AD的长，在直角三角形BCD中，利用勾股定理求出BD的长，由BD﹣AD求出AB的长即可． 【解答】解：过点C作CD⊥AB，垂足为点D， ∵∠B=30°，∠ACB=15°， ∴∠CAD=45°，
在Rt△ACD中，∠ADC=90°，∠CAD=45°，AC=6， ∴CD=AD=3km，
在Rt△BCD中，∠CDB=90°，∠B=30°，CD=3km， ∴BD=3km，
则AB=（3﹣3）km．
【点评】此题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 24．（2016?西安校级三模）如图，已知圆O的直径AB垂直于弦CD于点E，连接CO并延长交AD于点F，且CF⊥AD． （1）请证明：E是OB的中点； （2）若AB=8，求CD的长．
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【分析】（1）要证明：E是OB的中点，只要求证OE=OB=OC，即证明∠OCE=30°即可． （2）在直角△OCE中，根据勾股定理就可以解得CE的长，进而求出CD的长． 【解答】（1）证明：连接AC，如图 ∵直径AB垂直于弦CD于点E， ∴
，
∴AC=AD，
∵过圆心O的线CF⊥AD，
∴AF=DF，即CF是AD的中垂线， ∴AC=CD，
∴AC=AD=CD．
即：△ACD是等边三角形， ∴∠FCD=30°， 在Rt△COE中，∴
，
，
∴点E为OB的中点；
（2）解：在Rt△OCE中，AB=8， ∴
，
又∵BE=OE， ∴OE=2， ∴∴
．
，
【点评】解此类题一般要把半径、弦心距、弦的一半构建在一个直角三角形里，运用勾股定理求解．
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25．（2016?嘉定区一模）已知：如图，已知点A、B、C在⊙O上，且点B是OA=5cm，cos∠OAB=时． （1）求△OAB的面积；
（2）联结AC，求弦AC的长．
的中点，当
【分析】（1）过O作OH⊥AB于H，根据cos∠OAB=，得到OH=4cm，AB=2AH=6cm，根据三角形的面积公式即可实施激励； （2）设AC交OB于M，由B是
的中点，得到
，求出AB=BC，推出OB垂直平
，求得AH=3cm，
分AC，即可得到结论． 【解答】解：（1）过O作OH⊥AB于H， ∵cos∠OAB=， ∴
，
∴AH=3cm，OH=4cm，AB=2AH=6cm， ∴S△OAB=AB?OH=12cm；
（2）设AC交OB于M，∵B是∴
，∴AB=BC，
的中点，
2
∵OA=OC，
故O，B均在线段AC的垂直平分线上， ∴OB垂直平分AC， ∴AM=AB?sin∠MBA=6×=∴AC=2AM=
cm．
，
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