[创新设计]2021届高考数学（北师大版）一轮训练：第4篇 第3讲 平面向量的数量积

第3讲 平面向量的数量积

基础巩固题组 (建议用时：40分钟)

一、选择题

1．(2013·榆林模拟)向量a＝(1,2)，b＝(0,2)，则a·b＝ A．2 C．4

B．(0,4) D．(1,4)

( )．

解析 a·b＝(1,2)·(0,2)＝1×0＋2×2＝4. 答案 C

→在AB→方向2．(2014·宜春模拟)在边长为2的菱形ABCD中，∠BAD＝120°，则AC上的投影为 1

A. 4C．1

1

B．

2D．2

1→在AB→方向上的投影为|AC→|cos 60°

解析 如图所示，AC＝2×2＝1.

( )．

答案 C

3．(2013·山东省实验中学诊断)已知向量a＝(3，1)，b＝(0,1)，c＝(k，3)．若a＋2b与c垂直，则k＝ A．－3 C．－1

( )．

B．－2 D．1

解析 由题意知(a＋2b)·c＝0，即a·c＋2b·c＝0.

所以3k＋3＋23＝0，解得k＝－3. 答案 A

4．(2014·浙江五校联盟)若非零向量a，b满足|a|＝|b|，且(2a＋b)·b＝0，则向量a，b的夹角为 2π

A.3 π

C.3

π

B．6 5πD．6

( )．

解析 由(2a＋b)·b＝0，得2a·b＋|b|2＝0.

1∴2|b|2·cos〈a，b〉＋|b|2＝0，∴cos〈a，b〉＝－2， 2π又〈a，b〉∈[0，π]，∴〈a，b〉＝3. 答案 A

→＝(1,2)，BD→＝(－4,2)，则该四边形的面

5．(2013·福建卷)在四边形ABCD中，AC积为 A.5 C．5

( )．

B．25 D．10

→·→＝1×(－4)＋2×2＝0， 解析 ∵ACBD→⊥BD→， ∴AC

→|·→||AC|BD5·20

∴S四边形＝＝22＝5. 答案 C 二、填空题

6．(2013·新课标全国Ⅰ卷)已知两个单位向量a，b的夹角为60°，c＝ta＋(1－t) b．若b·c＝0，则t＝________.

解析 b·c＝b·[ta＋(1－t)b]＝ta·b＋(1－t) b2 ＝t|a||b|cos 60°＋(1－t)|b|2 tt

＝2＋1－t＝1－2.

t

由b·c＝0，得1－2＝0，所以t＝2.

2

答案 2

→＝(－3,1)，OB→＝(－2，

7．(2013·重庆卷)在OA为边，OB为对角线的矩形中，OAk)，则实数k＝________.

→＝(－3,1)，OB→＝(－2，k)，所以AB→＝OB→－OA→＝(－2，解析 在矩形中，OA

→⊥OA→，所以AB→·→＝0，即－3＋k－1＝0，

k)－(－3,1)＝(1，k－1)，因为ABOA解得k＝4. 答案 4

→8.(2014·赣州二模)如图，在△ABC中，O为BC中点，若AB＝1，AC＝3，〈AB，→〉＝60°→|＝________. AC，则|OA

13→，AC→〉＝60°→·→＝|AB→|·→|cos 60°解析 因为〈AB，所以ABAC|AC＝1×3×2＝2，→＝1→→，所以AO→2＝1(AB→＋AC→)2＝1(AB→2＋2AB→·→＋AC→2)，即AO→又AOACAB＋AC244

()

2

113→|＝13. ＝4(1＋3＋9)＝4，所以|OA

2

132 答案

三、解答题

9．已知平面向量a＝(1，x)，b＝(2x＋3，－x)(x∈R)． (1)若a⊥b，求x的值； (2)若a∥b，求|a－b|. 解 (1)若a⊥b，

则a·b＝1×(2x＋3)＋x(－x)＝0.

整理得x2－2x－3＝0，故x＝－1或x＝3. (2)若a∥b，则有1×(－x)－x(2x＋3)＝0， 即x(2x＋4)＝0，解得x＝0或x＝－2.

当x＝0时，a＝(1,0)，b＝(3,0)，a－b＝(－2,0)，

3

∴|a－b|＝?－2?2＋02＝2.

当x＝－2时，a＝(1，－2)，b＝(－1,2)，a－b＝(2，－4)， ∴|a－b|＝25.

综上，可知|a－b|＝2或25.

10．已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61， (1)求a与b的夹角θ； (2)求|a＋b|；

→＝a，BC→＝b，求△ABC的面积． (3)若AB

解 (1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61， ∴4|a|2－4a·b－3|b|2＝61.

又|a|＝4，|b|＝3，∴64－4a·b－27＝61， ∴a·b＝－6.

a·b－61∴cos θ＝|a||b|＝＝－2. 4×32π

又0≤θ≤π，∴θ＝3.

(2)|a＋b|2＝(a＋b)2＝|a|2＋2a·b＋|b|2 ＝42＋2×(－6)＋32＝13， ∴|a＋b|＝13.

→与BC→的夹角θ＝2π，∴∠ABC＝π－2π＝π. (3)∵AB

333→|＝|a|＝4，|BC→|＝|b|＝3，

又|AB

1→→13

∴S△ABC＝2|AB||BC|sin∠ABC＝2×4×3×2＝33.

能力提升题组 (建议用时：25分钟)

一、选择题

1．(2013·汉中模拟)若两个非零向量a，b满足|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a＋b与a的夹角为

( )．

4