[创新设计]2021届高考数学（北师大版）一轮训练：第4篇 第3讲 平面向量的数量积

π

A.6 2π

C.3

π

B．3 5πD．6

解析 由|a＋b|＝|a－b|，得a2＋2a·b＋b2＝a2－2a·b＋b2，即a·b＝0，所以(a＋b)·a＝a2＋a·b＝|a|2.

故向量a＋b与a的夹角θ的余弦值为 ?a＋b?·a|a|21πcos θ＝＝2|a||a|＝2.所以θ＝3. |a＋b||a|答案 B

→2－AB→2＝2AM→·→，那么动点M的轨迹必

2．(2014·昆明调研)在△ABC中，设ACBC通过△ABC的 A．垂心 C．外心

( )．

B．内心 D．重心

→2－AB→2＝(AC→＋AB→)·→－AB→)＝2AO→·→＝解析 假设BC的中点是O.则AC(ACBC→·→，即(AO→－AM→)·→＝MO→·→＝0，所以MO→⊥BC→，所以动点M在线段2AMBCBCBCBC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的外心，选 C. 答案 C 二、填空题

3．(2013·浙江卷)设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R.若e1，π|x|

e2的夹角为6，则|b|的最大值等于________．

π3

解析 因为e1·e2＝cos 6＝2，所以b2＝x2＋y2＋2xye1·e2＝x2＋y2＋3xy.所以x2x2

b2＝x2＋y2＋3xy＝1y?3?11

，设t＝x，则1＋t2＋3t＝?t＋?2＋4≥4，2??3y?y?2

1＋?x?＋x??

1x2|x|

所以0＜≤4，即的最大值为4，所以2b|b|的最大值为2. 1＋t2＋3t答案 2 三、解答题

5

4．设两向量e1，e2满足|e1|＝2，|e2|＝1，e1，e2的夹角为60°，若向量2te1＋7e2

与向量e1＋te2的夹角为钝角，求实数t的取值范围．

解 由已知得e21＝4，e2

2＝1，e1·e2＝2×1×cos 60°＝1. ∴(2te1＋7e2)·(e1＋te2)＝2te21＋(2t2＋7)e1·e2＋7te22＝2t2＋15t＋7.

欲使夹角为钝角，需2t2＋15t＋7＜0，得－7＜t＜－12. 设2te7e＜0)，∴??2t＝λ，

1＋2＝λ(e1＋te2)(λ?7＝tλ，

∴2t2＝7.∴t＝－14

2，此时λ＝－14.

即t＝－14

2时，向量2te1＋7e2与e1＋te2的夹角为π. ∴当两向量夹角为钝角时， t的取值范围是 ???

－7，－14?2??∪??141??－2，－2??.

6