2．相似三角形的性质
1．相似三角形的性质定理
相似三角形对应高的比、对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比． 相似三角形周长的比等于相似比． 相似三角形面积的比等于相似比的平方．
2．两个相似三角形的外接圆的直径比、周长比、面积比与相似比的关系
相似三角形外接圆的直径比、周长比等于相似比，外接圆的面积比等于相似比的平方． 相似三角形中的“对应线段”不仅仅指对应边、对应中线、角平分线和高，应包括一切“对应点”连接的线段；同时也可推演到对应的内切圆、外接圆的半径．
利用相似三角形性质计算 如图，已知△ABC中，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，若S△ABC＝36 cm，S△AEF＝4 cm，求sin A的值．
2
2
由题目条件证明△AEC∽△AFB，得AE∶AF＝AC∶AB，由此推知△AEF∽△ACB，进而求出线段EC与AC的比值．
∵CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F， ∴∠AEC＝∠AFB＝90°. 又∵∠A＝∠A，∴△AEC∽△AFB. ∴＝. 又∵∠A＝∠A，∴△AEF∽△ACB. ∴??＝ACAEACAFAB?AE?2S△AEF＝4. ??S△ACB36
AE21∴＝＝. AC63
设AE＝k，则AC＝3k， ∴EC＝22k.
1
EC22
∴sin A＝＝.
AC3
利用相似三角形的性质进行有关的计算往往与相似三角形对应边的比及对应角相等有关，解决此类问题，要善于联想，变换比例式，从而达到目的．
1．如图，D，E分别是AC，AB上的点，∠ADE＝∠B，AG⊥BC于点G，AF⊥DE于点F.若
AD＝3，AB＝5，求：
(1)的值；
(2)△ADE与△ABC的周长之比； (3)△ADE与△ABC的面积之比． 解：(1)在△ADE与△ABC中， 因为∠ADE＝∠B，∠BAD为公共角， 所以△ADE∽△ABC，所以＝AGAFAGAB5
＝. AFAD3
(2)△ADE与△ABC的周长之比等于它们的相似比， 即AD∶AB＝3∶5.
?AD?29
(3)△ADE与△ABC的面积之比等于它们相似比的平方，即??＝. ?AB?25
2.如图，在?ABCD中，AE∶EB＝2∶3. (1)求△AEF与△CDF周长的比； (2)若S△AEF＝8，求S△CDF.
解：(1)∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB∥CD且AB＝CD.
AE2∵＝， EB3
∴
AE2AE2
＝，即＝. AE＋EB2＋3AB5
AE2∴＝. CD5
又由AB∥CD知△AEF∽△CDF，
2
∴△AEF的周长∶△CDF的周长＝2∶5. (2)S△AEF∶S△CDF＝4∶25， 又S△AEF＝8， ∴S△CDF＝50.
利用相似三角形的性质解决实际问题 如图，一天早上，小张正向着教学楼AB走去，他发现教学楼后面有一水塔DC，可过了一会抬头一看：“怎么看不到水塔了？”心里很是纳闷．经过了解，教学楼、水塔的高分别是20 m和30 m，它们之间的距离为30 m，小张身高为1.6 m．小张要想看到水塔，他与教学楼之间的距离至少应有多少米？
此题的解法很多，其关键是添加适当的辅助线，构造相似三角形，利用相似三角形的知识解题．
如图，设小张与教学楼的距离至少应有x m，才能看到水塔．
连接FD，由题意知，点A在FD上，过F作FG⊥CD于点G，交AB于点H， 则四边形FEBH，四边形BCGH都是矩形． ∵AB∥CD，∴△AFH∽△DFG. ∴AH∶DG＝FH∶FG.
即(20－1.6)∶(30－1.6)＝x∶(x＋30)，解得x＝55.2(m)． 故小张与教学楼的距离至少应有55.2 m才能看到水塔．
此类问题是利用数学模型解实际问题，关键在于认真分析题意，将实际问题转化成数学问题，构造相似三角形求解．
3．如图，小明欲测量一座古塔的高度，他站在该塔的影子上前后移动，直到他本身影子的顶端正好与塔的影子的顶端重叠，此时他距离该塔18 m，已知小明的身高是1.6 m，他的影长是2 m.
(1)图中△ABC与△ADE是否相似？为什么？
3
(2)求古塔的高度． 解：(1)△ABC∽△ADE.
∵BC⊥AE，DE⊥AE，∴∠ACB＝∠AED＝90°. ∵∠A＝∠A，∴△ABC∽△ADE. (2)由(1)得△ABC∽△ADE，∴＝
ACBC. AEDE∵AC＝2 m，AE＝2＋18＝20 m，BC＝1.6 m. 21.6
∴＝，∴DE＝16 m. 20DE答：古塔的高度为16 m.
4．有一块三角形铁片ABC，已知最长边BC＝12 cm，高AD＝8 cm，要把它加工成一个矩形铁片，使矩形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上，且矩形的长是宽的2倍．则加工成的铁片的面积为多少？
解：本题有图(1)和图(2)两种情况．
如图(1)，矩形的长EF在BC上，G、H分别在AC、AB上，高AD交GH于K，设矩形的宽为x cm，则长为2x cm.由HG∥BC，得△AHG∽△ABC.得AK∶AD＝HG∶BC，所以(8－x)∶824
＝2x∶12，即x＝(cm)．
7
1 15222
则S矩形EFGH＝2x＝(cm)．
49
如图(2)，矩形的宽MN在BC上，类似地可求得S矩形MNPQ＝18(cm)． 1 15222
即加工成的铁片的面积为 cm或18 cm.
49
课时跟踪检测(四)
一、选择题
1．如图，△ABC中，DE∥BC，若AE∶EC＝1∶2，且AD＝4 cm，则DB等于( )
2
4
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