二次根式的概念 公开课获奖教案

16．1 二次根式

第1课时 二次根式的概念

(10)（a－b）2(ab≥0)．

要判断一个根式是不是二次根解析：

式，一是看根指数是不是2，二是看被开方数是不是非负数．

解：因为11，（－7）2，1，30

3－x(x≤3)，

11－＝56

1．能用二次根式表示实际问题中的数量及数量关系，体会研究二次根式的必要性；(难点)

2．能根据算术平方根的意义了解二次根式的概念及性质，会求二次根式中被开方数中字母的取值范围．(重点)

（a－1）2，

（a－b）2(ab≥0)中的根指数都是2，且被3开方数为非负数，所以都是二次根式.13的 2，－5，－x(x≥0)，－x2－5根指数不是

的被开方数小于0，所以不是二次根式．

方法总结：判断一个式子是不是二次根式，要看所给的式子是否具备以下条件：(1)带二次根号“ ”；(2)被开方数是非负数．

探究点二：二次根式有意义的条件 【类型一】 根据二次根式有意义求字母的取值范围 求使下列式子有意义的x的取值

范围．

(1)

3－xx＋51

；(2)；(3).

xx－24－3x

一、情境导入

问题1：你能用带有根号的式子填空吗？

(1)面积为3的正方形的边长为________，面积为S的正方形的边长为________．

(2)一个长方形围栏，长是宽的2倍，面积为130m2，则它的宽为________m.

(3)一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t(单位：s)与落下的高度h(单位：m)满足关系h＝5t2，如果用含有h的式子表示t，则t＝______．

问题2：上面得到的式子3，S，65，h分别表示什么意义？它们有什么共同5

特征？

二、合作探究

探究点一：二次根式的定义

下列各式中，哪些是二次根式，

哪些不是二次根式？

(1)11；(2)－5；(3)（－7）2； 3(4)13；(5)11－；(6)3－x(x≤3)； 56

（a－1）2；

解析：根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于0且分母不等于0，列不等式(组)求解．

4

解：(1)由题意得4－3x＞0，解得x＜.341当x＜时，有意义；

34－3x

?3－x≥0，?(2)由题意得?解得x≤3且

?x－2≠0，?

(7)－x(x≥0)；(8)

(9)－x2－5；

x≠2.当x≤3且x≠2时，

3－x

有意义； x－2

(3)由题意得???x＋5≥0，

?解得x≥－5且

?

x≠0，x≠0.当x≥－5且x≠0时，

x＋5

x

有意义． 方法总结：含二次根式的式子有意义的条件：

(1)如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是各个二次根式中的被开方数都必须是非负数；(2)如果所给式子中含有分母，则除了保证二次根式中的被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零．

【类型二】 利用二次根式的非负性求解

(1)已知a、b满足2a＋8＋|b－3

|＝0，解关于x的方程(a＋2)x＋b2＝a－1； (2)已知x、y都是实数，且y＝x－3＋3－x＋4，求yx的平方根． 解析：(1)根据二次根式的非负性和绝对值的非负性求解即可；(2)根据二次根式的非负性即可求得x的值，进而求得y的值，进而可求出yx的平方根．

解：(1)根据题意得??2a＋8＝0，

?b－3＝0，解得

??

a＝－4，

?b＝3.

则(a＋2)x＋b2＝a－1，即－2x＋3＝－5，解得x＝4；

(2)根据题意得??

?x－3≥0，?－x≥0，

解得x＝3.则

?3y＝4，故yx＝43＝64，±64＝±8，∴yx的平方根为±8.

方法总结：二次根式和绝对值都具有非负性，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0.

探究点三：和二次根式有关的规律探究性问题

先观察下列等式，再回答下列问

题．

①1＋1111112＋22＝1＋1－1＋1＝12

； ②1＋122＋132＝1＋111

2－2＋1＝16； ③

1＋132＋142＝1＋1113－3＋1＝112. (1)请你根据上面三个等式提供的信息，写出1＋1142＋5

2的结果； (2)请你按照上面各等式反映的规律，试写出用

含n的式子表示的等式(n为正整数)． 解析：(1)从三个等式中可以发现，等号右边第一个加数都是1，第二个加数是个分数，设分母为n，第三个分数的分母就是n＋1，结果是一个带分数，整数部分是1，分数部分的分子也是1，分母是前项分数的分母的积；(2)根据(1)找的规律写出表示这个规律的式子．

解：(1)1＋142＋152＝1＋11

4－4＋1

＝1120； (2)

1＋1111n2＋（n＋1）2＝1＋n－n＋1

＝11

n（n＋1）

(n为正整数)． 方法总结：解答规律探究性问题，都要通过仔细观察找出字母和数之间的关系，通过阅读找出题目隐含条件并用关系式表示出来．

三、板书设计

1．二次根式的定义 一般地，我们把形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．

2．二次根式有意义的条件

被开方数(式)为非负数；a有意义?a≥0.

通过将新知识与旧知识进行联系与对比，随后由学生熟悉的实际问题出发，用已有的知识进行探究，由此引入二次根式．在教学过程中让学生感受到研究二次根式是实际的需要，体会到数学与实际生活间的紧密联系，以此充分激发学生学习的兴趣．

17．1 勾股定理

第1课时 勾股定理

AB＝13cm，BC＝5cm，∴AC＝AB2－BC2＝12cm；

1．经历探索及验证勾股定理的过程，11

(2)S△ABC＝CB·AC＝×5×12＝

22体会数形结合的思想；(重点)

2．掌握勾股定理，并运用它解决简单30(cm2)； 的计算题；(重点) 11

(3)∵S△ABC＝AC·BC＝CD·AB，∴CD

223．了解利用拼图验证勾股定理的方

法．(难点) AC·BC60

＝＝cm.

AB13

方法总结：解答此类问题，一般是先利

用勾股定理求出第三边，然后利用两种方法

表示出同一个直角三角形的面积，然后根据

一、情境导入 面积相等得出一个方程，再解这个方程即

可．

【类型二】 分类讨论思想在勾股定理中的应用 在△ABC中，AB＝15，AC＝13，

如图所示的图形像一棵枝叶茂盛、姿态BC边上的高AD＝12，试求△ABC的周长． 优美的树，这就是著名的毕达哥拉斯树，它解析：本题应分△ABC为锐角三角形和由若干个图形组成，而每个图形的基本元素钝角三角形两种情况进行讨论． 是三个正方形和一个直角三角形．各组图形解：此题应分两种情况说明： 大小不一，但形状一致，结构奇巧．你能说(1)当△ABC为锐角三角形时，如图①说其中的奥秘吗？ 所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝

二、合作探究 152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝探究点一：勾股定理 AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝5＋9【类型一】 直接运用勾股定理 ＝14，∴△ABC的周长为15＋13＋14＝42；

如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，

AB＝13cm，BC＝5cm，CD⊥AB于D，求：

(1)AC的长；

(2)S△ABC； (3)CD的长．

解析：(1)由于在△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝13cm，BC＝5cm，根据勾股定理即可求出AC的长；(2)直接利用三角形的面积公式即可求出S△ABC；(3)根据面积公式得到CD·AB＝BC·AC即可求出CD.

解：(1)∵在△ABC中，∠ACB＝90°，

(2)当△ABC为钝角三角形时，如图②所示．在Rt△ABD中，BD＝AB2－AD2＝152－122＝9.在Rt△ACD中，CD＝AC2－AD2＝132－122＝5，∴BC＝9－5＝4，∴△ABC的周长为15＋13＋4＝32.∴当△ABC为锐角三角形时，△ABC的周长为42；当△ABC为钝角三角形时，△ABC的周长为32.

方法总结：解题时要考虑全面，对于存在的可能情况，可作出相应的图形，判断是

否符合题意．

【类型三】 勾股定理的证明 探索与研究： 方法1：如图

：

对任意的符合条件的直角三角形ABC绕其顶点A旋转90°得直角三角形AED，所以∠BAE＝90°，且四边形ACFD是一个正方形，它的面积和四边形ABFE的面积相等，而四边形ABFE的面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和．根据图示写出证明勾股定理的过程；

方法2：如图：

该图形是由任意的符合条件的两个全等的Rt△BEA和Rt△ACD拼成的，你能根据图示再写出一种证明勾股定理的方法吗？

解析：方法1：根据四边形ABFE面积等于Rt△BAE和Rt△BFE的面积之和进行解答；方法2：根据△ABC和Rt△ACD的面积之和等于Rt△ABD和△BCD的面积之和解答．

解：方法1：S正方形ACFD＝S四边形ABFE＝S△BAE＋Sb2＝11

△BFE，即2c2＋2(b＋a)(b－a)，整理

得2b2＝c2＋b2－a2，∴a2＋b2＝c2；

方法2：此图也可以看成Rt△BEA绕其直角顶点E顺时针旋转90°，再向下平移得到．∵S四边形ABCD＝S△ABC＋S△ACD，S四边形ABCD＝S△ABD＋S△BCD，∴S△ABC＋S△ACD＝S△ABD＋S即12b2＋12ab＝12c2＋1

△BCD，2a(b－a)，整理得

b2＋ab＝c2＋a(b－a)，b2＋ab＝c2＋ab－a2，

∴a2＋b2＝c2.

方法总结：证明勾股定理时，用几个全等的直角三角形拼成一个规则的图形，然后利用大图形的面积等于几个小图形的面积

和化简整理证明勾股定理．

探究点二：勾股定理与图形的面积

如图是一株美丽的勾股树，其中

所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若正方形A、B、C、D的面积分别为2，5，1，2.则最大的正方形E的面积是________．

解析：根据勾股定理的几何意义，可得正方形A、B的面积和为S1，正方形C、D的面积和为S2，S1＋S2＝S3，即S3＝2＋5＋1＋2＝10.故答案为10.

方法总结：能够发现正方形A、B、C、D的边长正好是两个直角三角形的四条直角边，根据勾股定理最终能够证明正方形A、B、C、D的面积和即是最大正方形的面积．

三、板书设计 1．勾股定理

如果直角三角形的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么a2＋b2＝c2.

2．勾股定理的证明

“赵爽弦图”、“刘徽青朱出入图”、“詹姆斯·加菲尔德拼图”、“毕达哥拉斯图”．

3．勾股定理与图形的面积

课堂教学中，要注意调动学生的积极性．让学生满怀激情地投入到学习中，提高课堂效率．勾股定理的验证既是本节课的重点，也是本节课的难点，为了突破这一难点，设计一些拼图活动，并自制精巧的课件让学生从形上感知，再层层设问，从面积(数)入手，师生共同探究突破本节课的难点．