【答案】解:（1）, 而,
∴
∴ {}是首项为（2）由（1）可知
,
．
,公差为1的等差数列
,
于是故有
=
则∴
++
,
,
=6
（3）证明:由（1）可知则
【解析】
试题分析：（Ⅰ）由条件可得到
，由此证得结论
（Ⅱ）由（Ⅰ）（Ⅲ）由（Ⅰ）可知
==
，用裂项法求出的值．
，求出Tn的解析式，可得Tn的解析式，用错位相减法求出
Tn的解析式，从而可得要证的不等式成立． 考点：数列与不等式的综合。
点评：本题主要考查了等差数列与等比数列公式的应用，用裂项法、错位相减法对数列求和。
20.已知函数
，
若的最小值为，求m的值；
当时，若对任意，
或
；（2）
都有
.
恒成立，求实数a的取值范围．
【答案】（1）【解析】 【分析】
（1）利用函数的公式化简后换元，转化为二次函数问题求解最小值，可得的值； （2）根据
恒成立，转化为函数
的最值问题求解；
．
222
【详解】解：（1）函数f（x）=-sinx+mcosx-1=cosx+mcosx-2=（cosx+）-2-
当cosx=解得：m=±那么cosx=x∈[∴
时，则2+
，
显然不成立． ]．
≤cosx≤1．
令cosx=t． ∴①当
≤t≤1． ＞
时，即m＞1，f（x）转化为g（t）min=（
2
）-2-
=-4
解得：m=4.5，满足题意； ②当1＜
时，即m＜-2，f（x）转化为g（t）min=（1
2）-2-
=-4
解得：m=-3，满足题意；
故得f（x）的最小值为-4，m的值4.5或-3； （2）当m=2时，f（x）=（cosx+1）-3， 令cosx=t． ∴
≤t≤1．
2
2
∴f（x）转化为h（t）=（t+1）-3， 其对称轴t=-1， ∴t∈[
，1]上是递增函数．
h（t）∈[，1]．
]都有|f（x1）-f（x2）|
恒成立，
对任意x1，x2∈[-|f（x1）-f（x2）|max=可得：a≥2．
故得实数a的取值范围是[2，+∞）．
【点睛】本题考查三角函数的有界性，二次函数的最值，考查转化思想以及计算能力，属于中档题．
21.如图，某污水处理厂要在一个矩形污水处理池
的池底水平铺设污水净化管道
H是直角顶
点来处理污水，管道越长，污水净化效果越好设计要求管道的接口H是AB的中点，E，F分别落在线段BC，
AD上已知米，米，记．
试将污水净化管道的长度L表示为的函数，并写出定义域； 若
，求此时管道长度L；
当取何值时，污水净化效果最好？并求出此时管道的长度． 【答案】(1)
果最好，此时管道的长度为【解析】 【分析】
根据直角三角形表示
，
，
，
．(2)
米
，即得结果，
用同角三角函数关系，将函数转化为一元函数，根据单调性得结果. 【详解】解：
，
，
的米 (3)
或
根据同角三角函数关系求得
．
时，污水净化效
，即得结果，利
由于所以当
，，所以时，
．所以
， 米．
，设
，
，
．
，则，
．
所以由于所以当答：当
．由于在
，即或
，所以上单调递减， 或
时，L取得最大值
米
时，污水净化效果最好，此时管道的长度为米
【点睛】本题考查函数应用以及同角三角函数关系，考查基本分析求解能力，属中档题.
22.已知常数，数列的前n项和为，，．
1求数列的通项公式；
2若【答案】(1)【解析】 【分析】
，且是单调递增数列，求实数a取值范围； (2)
（1）根据和项与通项关系得，再根据等差数列定义以及通项公式得结果，（2）先根据单调性
得不等式，再分奇偶讨论，利用变量分离法将不等式恒成立问题转化为对应数列最值问题，最后根据最值可得结果. 【详解】（1）
，
是以为首项，为公差的等差数列，
的．
；
（2）
若n为奇数，则考察即若n考察即
偶数，则
，
，
；综上所述，
；
，
，
； 恒成立，
恒成立，
，即
【点睛】本题考查和项与通项关系、等差数列定义以及数列单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.
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