数学集训6队2012暑假初中知识1：绝对值
解读绝对值
（所有例题请不要回答，答案见文末，请做课后的学力训练）
≮知识纵横≯
绝对值是初中代数中的一个基本概念，是学习相反数、有理数运算及后续算术根的基础。绝对是又是初中代数中的一个重要概念，在解代数式化简求值、解方程（组）、解不等式（组）等问题中有着广泛的应用，全面理解、掌握绝对值这一概念，应从以下方面入手。
?a (a?0)?1．去绝对值的符号法则：a??0 (a?0)
?-a (a?0)?2．绝对值的基本性质
①非负性：|a|≥0；②|ab|=|a||b|；③
2
2
2
aa?（b≠0）； bb④|a|=|a|=a；⑤|a+b|≤|a|+|b|；⑥||a|-|b||≤|a-b|≤|a|+|b|
3．绝对值的几何意义
从数轴上看，|a|表示数a的点到远点的距离（长度，非负）；|a-b|表示数a、数b的两点间的距离。
4. 零点分段法
零点分段法的基本步骤是：求零点、分区间、定性质、去符号，即令各绝对值代数式为零，得若干个绝对值为零的点，这些点把数轴分成几个区间，崽崽各区间内化简求值即可。请读者通过例4的解决，仔细体会上述解题步骤。
≮例题求解≯
y?1，【例1】（1）已知x?5，那么x-y?x?y? 。
（2）非零整数m,n满足m?n?5?0,所有这样的整数组(m,n)共有 组。 （首届江苏省数学文化节基础闯关题）
思路点拨 （1）既可以对x,y的取值进行分类求解，又可以利用绝对值的几何意义解；（2）从把5拆分成两个正整数的和入手。
【例2】如果a、b、c是非零有理数，且a+b+c=0，那么
abcabc???的所有可abcabc能的值为（ ）。
A．0 B．±1 C．±2 D．0或-2
（山东省竞赛题）
思路点拨 根据a、b的符号所有可能情况，脱去绝对值符号，这是解本例的关键。 【例3】已知ab?2与b?1互为相反数，试求代数式
11? ?ab(a?1)(b?1)第 1 页 共 4 页
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11+?+的值。
(a?2)(b?2)(a?2002)(b?2002)（“五羊杯”竞赛题）
思路点拨 运用相反数、绝对值、非负数的概念与性质，先求出a、b的值。 【例4】化简：
（1）2x-1。 （2）x-1?x?3
思路点拨 （1）就2x-1≥0，2x-1＜0两种情形去掉绝对值符号；（2）将零点1，3（使x-1=0，3-x=0的值）在同一数轴上表示出来，就x＜1，1≤x＜3，x≥3三种情况进行讨论。
【例5】已知(x?1?x?2)(y?2?y?1)(z?3?z?1)?36，求x+2y+3z的最大值和最小值。
思路点拨 解本例的关键是利用绝对值的几何意义确定括号内每个式子的取值范围。
（“希望杯”邀请赛试题）
建模求解
【例6】设x1、x2、x3、x4、x5、x6是六个不同的正整数，取值与1,2,3,4,5,6。记
S?x1-x2?x2?x3?x3?x4?x4?x5?x5?x6?x6?x1，求S的最小值。
思路点拨 实验调整或建立相应模型求解。
（四川省竞赛题）
学力训练
≮基础夯实≯
1. 计算：
111111-????= 。 324342（重庆市竞赛题）
2．代数式x?11?x?12?x?13的最小值为 。
（北京市“迎春杯”竞赛题）
3．已知a＜b＜0＜c，化简式子：a?b?a?b?c?a?2b?c得 。
（广西竞赛题）
4．如果a、b、c、d互为不想等的有理数，且a?c?b?c?d?b?1，那么a?d= 。
5．设a是有理数，则a?a的值（ ）。
A．可以是负数 B．不可能是负数
C．必是正数 D．可以是正数也可以是负数
（广东省中考题）
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6．已知|m|=-m，化简m-1?m-2所得的结果是（ ）。
A．-1 B．1 C．2m-3 D．3-2m
2
7. 若|a+b+1|与(a-b+1)互为相反数，则a与b的大小关系是（ ）。 A. a＞b B. a＝b C. a＜b D. a≥b
abcabc??1，那么8. 如果?的值为（ ）。
abcabcA. -1 B. 1 C. ±1 D. 不确定 9. 化简：3x?2?2x?3。（提示：使用零点分段法）
10. 已知x?aa?bb?cc?abcabc，且a、b、c都不等于0，求x的所有可能值。
（第2届“华罗庚杯”香港中学竞赛题）
≮能力拓展≯
11. 互不相等的有理数a、b、c在数轴上的对应点分别为A、B、C，如果a?b?c?a?
b-c，那么，在点A、B、C中居中的是点 。
（“华杯赛”试题）
12. 已知a、b、c满足(a+b)(b+c)(c+a)=0且abc＜0，则代数式 。
（四川省竞赛题）
13. 当x?2?x?3的值最小时，x?2?x?3?x?1的值最大是 ，最小是 。
（“希望杯”邀请赛试题）
abc??的值为 abca?b?a?b?0且a≠b，则ab的值是 14. 已知正整数a、b满足b?2?b?2?0， 。
（2011年四川省竞赛题）
15. 设a、b、c是不为零的有理数，那么x?abc??的值有（ ）。 abc（“希望杯”邀请赛试题）
A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种
16. 当满足（ ）时，|1.5x-0.5|?|2.5x?0.5|?|3.5x?0.5|?|4.5x?0.5|?|5.5x
-0.5|?|6.5x-0.5|的值取得最小。
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A.
11111111?x? B. ?x? C. ?x? D. ?x?
97751191311（“五羊杯”竞赛题）
17. 如果0＜p＜15，那么代数式x?p?x?15?x?p?15在p≤x≤15的最小值是（ ）。
A. 30 B. 0 C. 15 D. 一个与p有关的代数式 18. 若x＜-2，则y?1?1?x等于（ ）。 A. 2+x B. -2-x C. X D.-x
（四川省竞赛题）
19. 有理数a、b、c均不为0，且a+b+c=0设x?x-99x+2002的值。
20. 若a、b、c为整数，且|a-b|+|c-a|=1，求c-a?a-b?b-c的值。
19
99
19
ab?c?bc?a?ca?b，试求代数式
≮综合创新≯
c-d?16，且a-b-c?d?25，求b-a- 21. 已知a、b、c、d是有理数，a-b?9，d-c的值。
（“希望杯”邀请赛试题） 22. 在数轴上把坐标为1,2,3,?,2003的点称为标点，一只青蛙从点1出发，经过2006次跳动，且回到出发点，那么该青蛙所跳过的全部路径最大长度是多少？请说明理由。
（山东省竞赛题）
例题求解参考答案
例1 （1）x=±5，y=±1，原式=x-y?x-(?y)??2?2 （2）16组 例2 A 例3
2003 提示：由ab-2?b-1?0得a=2，b=1。 20041??4?2x(x?1)2x?1(x?)???2例4 （1）原式=? （2）原式=?2(1?x?3)
?2x?4(x?3)?1?2x(x?1)??2?第 4 页 共 4 页
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