§1.5.3定积分的概念教案
一、教学目标
⒈通过求曲边梯形的面积和变速直线运动的路程，了解定积分的背景；
⒉借助于几何直观定积分的基本思想，了解定积分的概念，能用定积分法求简单的定积分．
3．理解掌握定积分的几何意义；
二、教学重难点
重点：定积分的概念、定积分法求简单的定积分、定积分的几何意义 难点：定积分的概念、定积分的几何意义
三、教学过程：
（一）、预习导学
1． 回忆前面曲边图形面积，变速运动的路程，变力做功等问题的解决方法，解决步骤：
分割→以直代曲→求和→取极限（逼近 2．对这四个步骤再以分析、理解、归纳，找出共同点 ． （二）、问题引领，知识探究 1．定积分的概念 一般地，设函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点
a?x0?x1?x2??xi?1?xi??xn?b
将区间[a,b]等分成n个小区间，每个小区间长度为?x（?x?b?a），在每个小区间nn?xi?1,xi?上取一点?i?i?1,2,,n?，作和式：Sn??f(?i)?x??i?1i?1nb?af(?i) n如果?x无限接近于0（亦即n???）时，上述和式Sn无限趋近于常数S，那么称该常数
S为函数f(x)在区间[a,b]上的定积分。记为：S??baf(x)dx
其中f(x)成为被积函数，x叫做积分变量，[a,b]为积分区间，b积分上限，a积分下限。 说明：（1）定积分
?baf(x)dx是一个常数，即Sn无限趋近的常数S（n???时）称为
?baf(x)dx，而不是Sn．
（2）用定义求定积分的一般方法是：①分割：n等分区间?a,b?；②近似代替：取点
nbb?ab?af(?i)；④取极限：?f(x)dx?lim?f??i? ?i??xi?1,xi?；③求和：?an??nni?1i?1n 1
（3）曲边图形面积：S?b?baf?x?dx；变速运动路程S??v(t)dt；
t1t2变力做功 W??F(r)dr
a2．定积分的几何意义
说明：一般情况下，定积分
?baf(x)dx的几何意义是介于x轴、函数f(x)的图形以及直线
x?a,x?b之间各部分面积的代数和，在x轴上方的面积取正号，在x轴下方的面积去负
号．（可以先不给学生讲）．
分析：一般的，设被积函数y?f(x)，若y?f(x)在[a,b]上可取负值。 考察和式f?x1??x?f?x2??x?不妨设f(xi),f(xi?1),于是和式即为
?f(xi)?x??f?xn??x
,f(xn)?0
f?x1??x?f?x2??x?ba?f(xi?1)?x?{[?f(xi)?x]??[?f?xn??x]}
??f(x)dx?阴影A的面积—阴影B的面积（即x轴上方面积减x轴下方的面积）
2．定积分的性质
根据定积分的定义，不难得出定积分的如下性质：
性质1 性质2 性质3
?1dx?b?a
ab?bbabkf(x)dx?k?f(x)dx （其中k是不为0的常数） （定积分的线性性质）
ab?aa[f1(x)?f2(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx （定积分的线性性质）
aabbcb性质4
?f(x)dx??f(x)dx??f(x)dxac(其中a?c?b)
（定积分对积分区间的可加性）
说明：①推广： ②推广:
?ba[f1(x)?f2(x)?c1a?fm(x)]dx??f1(x)dx??f2(x)dx?aabb??fm(x)
ab?baf(x)dx??f(x)dx??f(x)dx?c1c2??f(x)dx
ckb2
③性质解释：
y性质4 性质1 y=1MOaPyACBOabxNbx
四．典例分析 例1．计算定积分
S曲边梯形AMNB?S曲边梯形AMPC?S曲边梯形CPNB?21(x?1)dx
分析：所求定积分即为如图阴影部分面积，面积为即：
5。 2y ?21(x?1)dx?5 2思考：若改为计算定积分
?2?2(x?1)dx呢？
改变了积分上、下限，被积函数在[?2,2]上出现了负值如何解决呢？（后面解决的问题） 五、目标检测 计算下列定积分 1．2．
o 1 2 x ?50(2x?4)dx ?(2x?4)dx?9?4?5
05?1?1111xdx ?xdx??1?1??1?1?1
?122六、教学反思：
3
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