第十一章 11.3.2多边形的内角和
知识点1：多边形的内角和
(1)多边形的内角和:n边形内角和等于(n-2)×180°.
(2)多边形的内角和的推导方法有很多,但都是将多边形问题转化为三角形问题来解决的,即利用多边形对角线或对角线的一部分,可以把多边形分割成若干个小三角形,再通过三角形的内角和推导出多边形的内角和. 这种转化是化归思想的体现,也是解决多边形问题的基本思想.下面提供三种方法:
(1) (2)
(3)
方法一:教材中所提供的方法如图 (1)所示,以多边形的某一个顶点为端点,与其他顶点相连接构成多边形的对角线,把多边形分割成(n-2)个小三角形.
方法二:如图 (2)所示,在n边形中,取某边上一点(非顶点)为端点,与其他顶点相连,把多边形分割成(n-1)个小三角形.
方法三:如图 (3)所示,在n边形的内部任取一点,与多边形的各顶点相连,把多边形分割成n个小三角形.
关键提醒:多边形的内角和与边数有关,边数每增加一条,则内角和就增加180°. 知识点2：多边形的外角和
(1)多边形的外角和:任意多边形的外角和都等于360°.
(2)多边形外角和定理的证明:多边形每个内角与它相邻的外角都是邻补角,所以n边形的内角和加外角和为n· 180°,外角和等于n· 180°-(n-2)180°=360°.
归纳整理:1. 多边形外角和都等于360°,与边数多少无关. 2. 外角和定理的作用:
(1)已知各相等外角度数求多边形边数; (2)已知多边形边数求各相等的外角度数.
(3)通常与正多边形的知识连用求其内角度数或者外角的度数. 正n边形其外角和为360°,所以正n边形外角度数都相等且为
,与外角相邻的内角的度数为180°-
.
考点1：多边形内角和的计算
【例1】两个正多边形的边数之比为1∶2,内角和之比为3∶8,求这两个多边形的边数、内角和. 解:设这两个正多边形的边数分别为n和2n条.
根据多边形的内角和公式,得两多边形的内角和分别为(n-2)·180°和(2n-2)·180°. 由于两内角和度数之比为3∶8,因此解得n=5.
(n-2)·180°=540°,(2n-2)·180°=1440°.
因此这两个多边形分别是五边形和十边形,内角和分别为540°和1440°. 点拨:由于正多边形的每一个内角都相等,从而可建立方程. 考点2：多边形内角和的应用
【例2】小华想:2010年世博会在上海举行,设计一个内角和是2010°的多边形图案多有意义,她的想法能实现吗?说说理由.
解:小华的想法不能实现.因为多边形的内角和为(n-2)·180°,一定是180°的整数倍,而2010不能被180整除,所以不可能有内角和为2010°的多边形,因此她的想法是不能实现的.
点拨:观察多边形的内角和公式(n-2)·180°,发现多边形的内角和一定是180°的整数倍. 考点3：多边形外角和的应用
【例2】正多边形的一个外角等于30°,则这个多边形的边数为( ).
=
,
A. 6 B. 9 C. 12 D. 15 答案:C.
点拨:根据多边形的外角和为360°,正多边形的每一外角都相等,用360÷30即可求出边数﹒
六、词语点将（据意写词）。 1．看望；访问。 （ ） 2．互相商量解决彼此间相关的问题。 （ ） 3．竭力保持庄重。 （ ） 4．洗澡，洗浴，比喻受润泽。 （ ） 5．弯弯曲曲地延伸的样子。 （ ） 七、对号入座（选词填空）。 冷静 寂静 幽静 恬静 安静 １．蒙娜丽莎脸上流露出（ ）的微笑。 2．贝多芬在一条（ ）的小路上散步。 3．同学们（ ）地坐在教室里。 4．四周一片（ ），听不到一点声响。 5．越是在紧张时刻，越要保持头脑的（ ）。 八、句子工厂。 1．世界上有多少人能亲睹她的风采呢？（陈述句） ___________________________________________________________________________ 2．达·芬奇的“蒙娜丽莎”是全人类文化宝库中一颗璀璨的明珠。（缩写句子） ___________________________________________________________________________
3．我在她面前只停留了短短的几分钟。她已经成了我灵魂的一部分。（用关联词连成一句话） ___________________________________________________________________________ _____________________________________________________________________________ 4．她的光辉照耀着每一个有幸看到她的人。 “把”字句：_________________________________________________________________ “被”字句：_________________________________________________________________ 九、要点梳理（课文回放）。 作者用细腻的笔触、传神的语言介绍了《蒙娜丽莎》画像，具体介绍了__________，__________，特别详细描写了蒙娜丽莎的__________和__________，以及她__________、__________和__________；最后用精炼而饱含激情的语言告诉大家，蒙娜丽莎给人带来了心灵的震撼，留下了永不磨灭的印象。 综合能力日日新 十、理解感悟。 （一） 蒙娜丽莎那微抿的双唇，微挑（ ）的嘴角，好像有话要跟你说。在那极富个性的嘴角和眼神里，悄然流露出恬静、淡雅的微笑。那微笑，有时让人觉得舒畅温柔，有时让人觉得略含哀伤，有时让人觉得十分亲切，有时又让人觉得有几分矜（ ）持。蒙娜丽莎那“神秘的微笑”是那样耐人寻味，难以捉摸。达·芬奇凭着他的天才想象为和他那神奇的画笔，使蒙娜丽莎转瞬即逝的面部表情，成了永恒的美的象征。
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