2013年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）-理科数学

2013年普通高等学校招生全国统一考试

数学(理)(北京卷)

本试卷共5页,150分,考试时长120分钟,考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项. 1.(2013北京,理1)已知集合A={-1,0,1},B={x|-1≤x<1},则A∩B=( ). A.{0} B.{-1,0} C.{0,1} 答案:B

D.{-1,0,1}

2.(2013北京,理2)在复平面内,复数(2-i)2对应的点位于( ). A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 答案:D

D.第四象限

3.(2013北京,理3)“φ=π”是“曲线y=sin(2x+φ)过坐标原点”的( ). A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件 答案:A

4.(2013北京,理4)执行如图所示的程序框图,输出的S值为( ).

A.1 答案:C

2B. 313C. 21 D.

610

9875.(2013北京,理5)函数f(x)的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线y=ex关于y轴对称,则f(x)=( ). A.ex+1 B.ex-1 C.e-x+1 答案:D

D.e-x-1

??2??26.(2013北京,理6)若双曲线A.y=±2x

1C.y=±x 2

?

??2??2=1的离心率为 3,则其渐近线方程为( ).

B.y=± 2x D.y=±x

2

2答案:B

7.(2013北京,理7)直线l过抛物线C:x2=4y的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于( ). A. 43

B.2 C. 83

D.

16 2 3

1

答案:C

2??-??+1>0,

8.(2013北京,理8)设关于x,y的不等式组 ??+??<0,表示的平面区域内存在点P(x0,y0),满足x0-2y0=2,求

??-??>0

得m的取值范围是( ).

432

C. -∞,-

3A. -∞,

135

D. -∞,-

3B. -∞,

第二部分(非选择题 共110分)

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.

9.(2013北京,理9)在极坐标系中,点 2, 到直线ρsinθ=2的距离等于 . 答案:1

10.(2013北京,理10)若等比数列{an}满足a2+a4=20,a3+a5=40,则公比q= ;前n项和Sn= .

答案:2 2n+1-2

11.(2013北京,理11)如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D,若PA=3,PD∶DB=9∶16,则PD= ,AB= .

π69答案:

5

4

12.(2013北京,理12)将序号分别为1,2,3,4,5的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是 . 答案:96

13.(2013北京,理13)向量a,b,c在正方形网格中的位置如图所示,若c=λa+μb(λ,μ∈R),则= .

????

答案:4

14.(2013北京,理14)如图,在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为BC的中点,点P在线段D1E上,点P到直线CC1的距离的最小值为 .

2 5答案: 5

三、解答题共6小题,共50分.解答应写出文字说明,演算步骤. 15.(2013北京,理15)(本小题共13分)在△ABC中,a=3,b=2 6,∠B=2∠A, (1)求cos A的值; (2)求c的值. 解:(1).cos A=.

63??sin??

(2) c==5.

sin??2

16.(2013北京,理16)(本小题共13分)下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.

(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;

(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分布列与数学期望;

(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明) 解:设Ai表示事件“此人于3月i日到达该市”(i=1,2,…,13).

根据题意,P(Ai)=,且Ai∩Aj=?(i≠j).

(1)设B为事件“此人到达当日空气重度污染”,则B=A5∪A8. 所以P(B)=P(A5∪A8)=P(A5)+P(A8)=. (2)由题意可知,X的所有可能取值为0,1,2,且

P(X=1)=P(A3∪A6∪A7∪A11)=P(A3)+P(A6)+P(A7)+P(A11)=, P(X=2)=P(A1∪A2∪A12∪A13)=P(A1)+P(A2)+P(A12)+P(A13)=, P(X=0)=1-P(X=1)-P(X=2)=. 所以X的分布列为:

X 0 1 2 544 P 131313

故X的期望EX=0×+1×+2×513

413

413513

413413

213113

=

12. 13

(3)从3月5日开始连续三天的空气质量指数方差最大.

17.(2013北京,理17)(本小题共14分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1C1C是边长为4的正方形.平面ABC⊥平面AA1C1C,AB=3,BC=5, (1)求证:AA1⊥平面ABC;

(2)求二面角A1-BC1-B1的余弦值;

解:(1)因为AA1C1C为正方形,所以AA1⊥AC.

因为平面ABC⊥平面AA1C1C,且AA1垂直于这两个平面的交线AC,所以AA1⊥平面ABC. (2)由(1)知AA1⊥AC,AA1⊥AB.

由题知AB=3,BC=5,AC=4,所以AB⊥AC.

如图,以A为原点建立空间直角坐标系A-xyz,则B(0,3,0),A1(0,0,4),B1(0,3,4),C1(4,0,4).

(3)证明:在线段BC1上存在点D,使得AD⊥A1B,并求

????

的值. ????1

3

设平面A1BC1的法向量为n=(x,y,z),

则 ??· A1B=0,??· A即 3??-4??=0,1C1=0,4??=0.

令z=3,则x=0,y=4,所以n=(0,4,3).

同理可得,平面B1BC1的法向量为m=(3,4,0). 所以cos=

??·??

|??||??|

=

1625

. 由题知二面角A1-BC1-B1为锐角,

所以二面角A16

1-BC1-B1的余弦值为25. (3)设D(x,y,z)是直线BC1上一点,且 ???? =λ ????1, 所以(x,y-3,z)=λ(4,-3,4). 解得x=4λ,y=3-3λ,z=4λ.

所以 ????=(4λ,3-3λ,4λ).

由 ????· ??1B=0,即9-25λ=0,解得λ=925

. 因为9

25∈[0,1],所以在线段

BC1上存在点D,使得AD⊥A1B.

此时,????????1=λ=9

25

.

18.(2013北京,理18)(本小题共13分)设L为曲线C:y=ln??

??在点(1,0)处的切线. (1)求L的方程;

(2)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方. 解:(1)设f(x)=

ln??-ln??

??,则f'(x)=

1??2. 所以f'(1)=1.

所以L的方程为y=x-1.

(2)令g(x)=x-1-f(x),则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于g(x)>0(?x>0,x≠1). g(x)满足g(1)=0,且g'(x)=1-f'(x)=

??2-1+ln??

??2. 当01时,x2-1>0,ln x>0,所以g'(x)>0,故g(x)单调递增. 所以,g(x)>g(1)=0(?x>0,x≠1).

所以除切点之外,曲线C在直线L的下方.

19.(2013北京,理19)(本小题共14分)已知A,B,C是椭圆W:??24+y2=1上的三个点,O是坐标原点.(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积; (2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由. 解:(1)椭圆W:??24

+y2=1的右顶点B的坐标为(2,0).

因为四边形OABC为菱形,所以AC与OB相互垂直平分. 所以可设A(1,m),代入椭圆方程得1

+m2=1,即m=± 34

2. 所以菱形

OABC的面积是12|OB|·|AC|=1

2×2×2|m|= 3.

(2)假设四边形OABC为菱形.

因为点B不是W的顶点,且直线AC不过原点,所以可设AC的方程为y=kx+m(k≠0,m≠0). 由 ??2+4??2=4,消y并整理得(1+4k2)x2??=????+??+8kmx+4m2-4=0.

设A(x1,y1),C(x2,y2), 则

??1+??22=-4??????1+4??2,1+??2??+????

2=k·12????2+m=. 所以AC的中点为M -,??

1+4??241+4??21+4??2 .

4

因为M为AC和OB的交点,所以直线OB的斜率为-. 因为k· -1

≠-1,所以4??14??AC与OB不垂直.

所以OABC不是菱形,与假设矛盾.

所以当点B不是W的顶点时,四边形OABC不可能是菱形.

20.(2013北京,理20)(本小题共13分)已知{an}是由非负整数组成的无穷数列,该数列前n项的最大值记为An,第n项之后各项an+1,an+2,…的最小值记为Bn,dn=An-Bn.

(1)若{an}为2,1,4,3,2,1,4,3,…,是一个周期为4的数列(即对任意n∈N*,an+4=an),写出d1,d2,d3,d4的值; (2)设d是非负整数,证明:dn=-d(n=1,2,3,…)的充分必要条件为{an}是公差为d的等差数列; (3)证明:若a1=2,dn=1(n=1,2,3,…),则{an}的项只能是1或者2,且有无穷多项为1. 解:(1)d1=d2=1,d3=d4=3.

(2)(充分性)因为{an}是公差为d的等差数列,且d≥0,

所以a1≤a2≤…≤an≤….

因此An=an,Bn=an+1,dn=an-an+1=-d(n=1,2,3,…). (必要性)因为dn=-d≤0(n=1,2,3,…), 所以An=Bn+dn≤Bn.

又因为an≤An,an+1≥Bn,所以an≤an+1. 于是,An=an,Bn=an+1,

因此an+1-an=Bn-An=-dn=d, 即{an}是公差为d的等差数列. (3)因为a1=2,d1=1,

所以A1=a1=2,B1=A1-d1=1. 故对任意n≥1,an≥B1=1.

假设{an}(n≥2)中存在大于2的项. 设m为满足am>2的最小正整数, 则m≥2,并且对任意1≤k

又因为a1=2,所以Am-1=2,且Am=am>2.

于是,Bm=Am-dm>2-1=1,Bm-1=min{am,Bm}≥2.

故dm-1=Am-1-Bm-1≤2-2=0,与dm-1=1矛盾.

所以对于任意n≥1,有an≤2,即非负整数列{an}的各项只能为1或2. 因为对任意n≥1,an≤2=a1, 所以An=2.

故Bn=An-dn=2-1=1.

因此对于任意正整数n,存在m满足m>n,且am=1,即数列{an}有无穷多项为1.

5